高三数学第6讲正弦定理和余弦定理讲义

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1、第 6 讲 正弦定理和余弦定理-P基础知识整合-|。知识梳理1 .正弦定理号=画勺=国 =2火，s i n A 1 s m B 1 s m C 5其中2 7?为 A BC外接圆的直径.变式：”画2/?s i n A,/?=0 4 2/?s i n B,c=O5 2 7?s i n C.a b c =0 6|s i i V l ：|0 7|s i n 8:1 0 81 s i n C2 .余弦定理a2=1 0 91庐+1 2 -2(c c o s A;b2=1 1。|/+/-2 c c o s 3；c2=1 1 1 层+及-2 a Z?c o s C变式：c o s A =|_ 1 2|2 b

2、c;cosB 二 四-2 4c ；c o s C=|j 4|s i n 2 A =s i n2B+s i n2C -2 s i n Bs i n Cc o s A.3.在 A BC中，已知a,b和A时，三角形解的情况图形关系式解的个数A为锐角4Ba bsinA同无解a=bsinA1 1 6|解4 BbsinA ab119|一解A BaWb颐 1无解(1)5=/前(表示边。上的高).(2)5=bcsinA-|21 IzacsinB|22|7a/?sinC.(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).知识拓展1.三角形内角和定理在ABC 中，A +_ B+C=7T；2.三角形中的三角函数

3、关系(l)sin(A+B)=sinC;(2)cos(A+5)=-cosC;A+B c A+8 c(3)sin-2-二 cos,;(4)cos-=sing.3.三角形中的射影定理在ABC 中，a=fecosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=bcosA+acosB.;双基自测1.已知 aABC 中，a=,b=y2,8=45。，则 A 等于()A.150 B.90C.60 D.30答 案 D解 析 由正弦定理，得高=磊，得 sinA、.又 ab,：.A=坐，此时 csiM=机 X 乎=3,则c=m=2小.选择条件：可 得 念1，。=乩与条件c=小人矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：

4、,sinA=ysin3,C=,B=n-(A+C),sinA=小 sin(A+C)=小 sin(A+我),即 sinA=/3 sin A-+，cosA,/.sinA=-y3cosA,Z.tanA=-y3,2兀 八 一兀.A=2-,B=C=.若 选 ，=.a=y3 b=yf3 c,.yf3 c2=y3,.c=1.若 选 ，c s i n A =3,则 用 =3,C=2 y3.若 选 ，b =C与 条 件,=小 人 矛 盾，则问题中的三角形不存在.触类旁通解三角形问题的技巧(1)解 三 角 形 时，如 果 式 子 中 含 有 角 的 余 弦 或 边 的 二 次 式，要考虑用余弦定理;如 果 式 子

5、中 含 有 角 的 正 弦 或 边 的 一 次 式 时，则 考 虑 用 正 弦 定 理；以上特征都不明显 时，则要考虑两个定理都有可能用到.应 用 正 弦 定 理 求 角 时 容 易 出 现 增 解 或 漏 解 的 错 误，要根据条件和三角形的限 制 条 件 合 理 取 舍；求 角 时 易 忽 略 角 的 范 围 而 导 致 错 误，因 此 需 要 根 据 大 边 对 大 角，大角对大边 的 规 则，画图进行判断.(2)三 角 形 解 的 个 数 的 判 断：已 知 两 角 和 一 边，该 三 角 形 是 确 定 的，其解是唯一 的；已 知 两 边 和 一 边 的 对 角，该 三 角 形 具

6、有 不 唯 一 性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角规则进行判断.即 时 训 练1.已知在 A BC中，小，b=yT 5,Z A =30,贝(J c =()A.2小 B.y5C.2小 或 小 D.均不正确答 案C解析 二 s i n B=.s i n 30。=理.,.a,.,.8=60。或Ei s i n A s i n B,a 邓 2 人1 2 0。.若8=60。，贝lj C=9 0。，.c =7 a2 +b2 =2 小.若 8=1 2 0。,贝lj C =30。，.a=c=y5.2.(2 0 2 0 全国卷I )A 4 8 C的 内 角A,B,C的 对 边 分 别 为a,b,c,已

7、知a s i M1 b-Z?s i n 5=4c s i n C,c o s A =一不 贝,=()A.6B.5C.4 D.3答 案 A解析 asinA-Z?sinB=4csinC,由正弦定理，得/一 02=402,即/=4b2+c2-a2 b2+c2-(4c2+b2)-3c2 1 b+b.由余弦定理,得 cosA=酝=诙 =2bc=-4,c=6-故选A.考向二利用正、余弦定理判断三角形形状例 2(1)设ABC的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若/+一/=a b,且 2cosAsinB=sinC,则ABC 的形状为()A.等边三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定答 案 A

8、a2+b2-c1 1 n解析,.,a2+tr-c1=ab,.,.cosC=五 石 =,又 0。兀，：.C=,又由 2cosAsinB=sinC,得 sin(8 A)=0,：.A=B,故ABC 为等边三角形.(2)在ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,若R cosA,贝 444台。为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形答 案 AQ sinC解析 根据正弦定理，得 =cosA,gp sinCsinBcosA,*.A+B+C=TI,/.sinC=sin(A+B)sinBcosA,整理得 sinAcosB0,ji：.cosB0,Z.sinA=1,又 A（0,兀）

9、，jr.A=5,故AABC为直角三角形.R。+c4.在ABC中，cos弓=才（见 6c 分别为角A,B,。的对边），则AABC的形状为（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答 案 Bc B a +c a+c a解析 因为COS5 =N,所 以 2cos2y-1 =一1-1,所 以 cosB=-,所以a2+c2-b2 a,r、病 =-,所以/=/+序，所以ABC为直角三角形.多角度探究突破考 向 三 正、余弦定理的综合应用角 度 1 三角形面积问题例 3(2 0 2 0.北京高考)在 AB C 中，a+b=,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求：。

10、的值；(2)s i n C和 A BC的面积.条件：c=7,c o s A =-y;条件：c o s AcosR-1-8注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.解 选择条件：（D；c =7,c o s A=-；,a+b=1 1,由余弦定理cr=b2+c2-2 bccosA,得o2=（l l -a）2+72-2（l l 一a）X7 X（一;），:.a=S.（2）：c o s A=;，A （0,兀），s i n A =yj 1 -c o s2A =一 2、a c 8 7.c A/3由正弦/E理，嗝=菽，.还=菽，-sinC=2 ,7.AB C 的面积5=1 a t e i n C=1x8

11、 X（l l -8）X=6V 3.1 9选择条件：（l）.c o s A =g,c o s B=A,（0,兀）,.s i n A =1 -c o s 2 A =邛 ,s i n B=yj 1 -c o s2B=Q b a ll-c i由正弦定理，得 病=京，即 至=，近，(2)s i n C=s i n(A +B)=s i Mc o s B+s i n Bc o s A短乂 蚯 乂 亚8 1 6+1 6 8-4S=；s i n C=；X 6X(l l -6)乂*=触类旁通.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S=/s i n C=g a c s i n 8=4?c s i n A,一般是

12、已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.即时训练5.在锐角 A B C中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,若s i n/l =毕，a=3,SABC=2 y2,则 b 的值为()A.6B.4C.2D.2或3答 案D解析 因为 S A BC=2/=；Z?c s i n A,s i n/l =且 A 6(0,。所以/?c =6,c o s A =1,又因为 a=3,由余弦定理，得 9=b2+c2-2 hccosA=Z?2+c2-4,所以b2+c2=1 3,可得 Z?=2 或 b =3.6.(2 0 2 0.全国卷I 的内角A,B,C的

13、对边分别为a,b,c.已知3=1 50 .(1)若a =，5c,b=2小,求 A BC的面积；(2)若 s i r i 4+小s i n C=乎，求 C.解(1)由余弦定理可得廿=2 8=/+/_ 2 o c c o s l 50 =7c2,c =2,a=2 3,二 Z k A BC 的面积 S=a c s i n B=(2)-/z 4+C=30 ,sinA+yf3sinC=sin(30-C)+小 sinC=cosC 一 半 sinC+VsinCi/2=1cosc+sinC =sin(C+30)=北./0oC30,.,.30C+30o60J/.C+30=45,/.C=15.角度2三角形中的范围

14、问题例 4(2020.浙江高考)在锐角3 c 中，角A,B,C 的对边分别为见仇c,且 2/7sinA=小 a.求角3;(2)求cosA+cosB+cosC的取值范围.巧解(1)，2则必=仍，结合正弦定理可得Zsin&inA=小 siM,/.sinB=2-T T ABC为锐角三角形，.8=?触类寿通J(2)由(1)得。=手一4,cosA+cosB+cosC=c=cosA+g-；cosA+蛆,1 4 1=2 S1IL+/cosA+2:o v 兀 一 Av,由V0 2兀 ，兀 2兀 L 1/j A+y,贝 ij s即 cosA+cosB+cosC则osA+c o s 侍-A）I2 Lsir LA=

15、s in +6）+2-可 献山（4+小惇，sin,+（|+；与|_的取值范围是（史;，|.解三角形问题中，求解某个量（式子）的取值范围是命题的热点,其主要解决思路是:要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大.即时训练7.（2020.陕西第三次教学质量检测）在aABC中，a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边，+b+c）-（a+b-c）=3 ab.求角c 的值；若c=2,且AB

16、C为锐角三角形，求 的 取 值 范 围.解（1）由题意知（a+Z?+c）（a+/?-c）=3a/?,：.d1+b1-ci=ab,由余弦定理可知，a2+b2-c1 1c o s C =_Tab-=2 71又 C (0,兀)，.*.C=y由正弦定理可知,siM-sinB一 .兀 一 3 即sm3吗.s i M心明血：.a+h=-(sinA+sinB)=2 d5sin?l+2cosA=4sin(A+又ABC为锐角三角形,710A=争,08=0。=4 ,所以 BD2=OB2+OD2-2OB ODcosNBOD=25,解得BD=5.(2)解法一：在A3。中，ZA B D =a,a 为锐角，则/AD8=2

17、a,-、，AB AD _ .AB 3因为 二 1,所以;7-=,T，sin2a sinaJ 1 八 2sinacosa sina,所以 AB=6cosa.因为 A2=A B2+BD2-2AB BDcosa,即 9=36cos2a+25-60cos2a,所以 cosa=，h贝 I AB=6cosa=26,sina=3,所以 S/BD=2B BDsina=5y2.解法二：在ABO中，因为NAOB=2NA8O,所以 sin/ADB=sin2Z ABD=2sinZ ABD cosZ ABD,AB2+BD1-AD2所以 AB=2ADcosABD=2AD-因为 30=5,40=3,所以 A3=2#,所以

18、cosN ABD=坐,贝 lj sinZ ABD=所以 SABD=AB BDsm Z ABD=572.解法三：在A3。中，设NABO=a,a 为锐角,则/ADB=2a,Z BAD=7 1 3a,因为：二 丁 ,即，TJsm3a sma 1sin3a-sin。又 sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina=2sinacos2a+sina-2sin3a=3sina-4sin3a,1S所以 sin2a=Q,贝 ljsina=g、nilV6.22贝 IJ cosa=,sin2a=y,所以 S&ABD=AD BDsn2a=5/2.平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面

19、积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想.即时训练8.（2021.新高考八省联考）在四边形ABC。中，AB II CD,AD=CD=BD=1.若AB=|,求 BC；(2)若 A8=2B C,求 cos/BDC.3解(1)在A3。中，AD=BD=l,AB=y,由余弦定理，可得AB2+BD2-AD2cos Z ABD=2ABBD3-4=因为 CD II AB,所以 NBOC=A ABD,在BC。中

20、，已知。=8 0=1,由余弦定理可得BC2=BD1+CD2-2BDCDcos Z BDC=1,故 BC=坐.(2)设=贝 lA8=2x,AE+BD-AD1 4X2在ABO 中，cos/_ ABD=2AB,BD=4x=二BD2+CD2-BC2 2-x2在 8CD 中，cosZ BDC=2BD CD=-2-由 C。/AB 可知，/BDC=ZABD,2-x2所以 cos/BZ)C=cos/A B D,即一一=x,整理可得/+2x-2=0,因为x 0,解得=仍-1,因 止 匕，cos Z BDC=cos Z ABD=x=f3-1.自主培优（十一）利用基本不等式破解三角形中的最值问题(2020全国卷 I

21、I)AABC 中,sin2A-sin2B-sin2c=sinBsinC.求A；(2)若 B C=3,求ABC周长的最大值.解(1)：sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC,由正弦定理可得BC2-AC2-AB2=AC-AB,.AC2+AB2-8(=-ACAB,AC2+AB2-BC2 1COsA=2ACAB=-2-2兀 A (0,7t),=(2)解法一：由余弦定理，得 BC2=AC2+AB2-2AC ABcosA=AC2+AB2+AC-AB=9,即(AC+A8)2 ACAB=9.：AC-AB5一 (当且仅当AC=AB时取等号)，：.9=(AC+AB)2-AC-AB、fAC+3,(AC

22、+AB)2 _J2=AC+AB)2,.AC+ABW2小(当且仅当AC=A 3时取等号)，AABC 的周长 L=AC+A8+BC43+2小,A AABC周长的最大值为3+25.解法二：由正弦定理，得 倦=倦=熬=，=2小,sinT：.AB=2f3sinC,AC=2f3sinB.2兀 八兀 c/A=y,=-8.：,A B+A C=2小 s 喏-f i l +2 *s i n B=3c o s 8+V s i n B=2#s i n(8+1当B=*时，A B+AC取得最大值2小，.A 8C周长的最大值为3+2 5.答题启示利用基本不等式破解三角形中的最值问题时，当所求最值的代数式中的变量比较多时，通

23、常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值.、对点训练(2 0 2 0凄安三模)A 8C的内角A,B,。所对的边分别为a,h,c,已知c o s 2 A+c o s 2 B+2 s i n A s i n B=1 +c o s 2 C.(1)求角C;(2)设。为边AB的中点，5 c的面积为2,求。2的最小值.解 由已知可得 1 -2 s i n2A +1 -2 s i n2B+2 s i n A s i n B=1 +1 -2 s i n2C,得 ab=a2+b2 -c2,a2+b2-c2 1 兀所以 c o s C=2 ab=2j 所以 C=

24、1.由 S A Bc=absinC,即2 =3 万里，得ab=因为。为AB的中点，所 以 金=3(+丽)，所 以 方 =1(CA 2 +赤 +2直 函，贝lj C D2=；(匕 2 +a2+2 a A e o s C)=(Z?2+a2+ab)+ab)=2小,当且仅当 a=8 时取等号,所 以 的 最 小 值 为 2小.一课时作业一一、单项选择题1.（2020.南昌模拟）在ABC中，已知C$=4,AABC的面积为2小，则 c=（）A.2#B.小C.2啦 D.2小答 案 D解析 由S=gabsinC=2aX坐=2小，解得。=2,由余弦定理，得?=屋+b1-2 abcosC=1 2,故 c=2 g.

25、2.ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若从=公，c=2 a,则cosC)A啦a.4退B.4C-1D.34答 案 Br-a1+b2-c2解析 由题意得，b2=ac=2 a2,所 以b=y2 a,所 以 cosC=THa2+2a2-4a22ax 啦 a-李，故选B.3.（2020.广西南宁模拟）在ABC中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,ac=3,且 a=3加inA,则ABC的面积等于（）A.；32B.3c.iD.a答 案 A解析=3切inA,.,.由正弦定理，得 siihA=3sinBsirt4,.sinB=；.,:ac=3,ABC 的面积 S=gacsinB=；X3X；=

26、；.故选 A.4.在ABC中，角A,B,C 所对的边的长分别为a,b,c,若asinA+加inB csinC,则ABC的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定答 案 Ccr+b1-c2解析 根据正弦定理可得标+及/由余弦定理，得 cosC=奇 0,故 C 是钝角.c-b sinA5.已知ABC的内角A,B,C 的对边分别为a,乩 c,且 一；=c-a smC+sinn则 8=()it兀A-6B-4C匹D-J 3 4答 案 Cc-b sinA c-b(i解 析 因为三=菽 荔 而 所 以 三=，即(I)(c +b)=a()，1rr所以屋+,2 一 力 2 =a c,所

27、以cosB=,又 8 (0,兀)，所以8=1.6.A8C 中，63=2,6 c=3,8=6 0,则 cosC=(A坐B.土当C.一坐 D.当)答 案 Dmu A C A B.万 A Bs i n B 2 X s i n 60。g.解 析 由正弦TE理，（可s i n B=sinU!。：AC=3=3，又A B A C,：.0 C =6+,则用“三斜求积”公式求得aAB C的面积为（）答 案A解析 因为屋s i n C=2 s i n A,所以屋c =2 a,所以a c =2,因为（a +c）2 =6+,所 以/+/+2。0 =6+82,所 以/+,2 _。2 =6 _ 2。=6 4=2,从而 A

28、 BC的面积为Sy s c=2 2-俳=坐 故选A.二、多项选择题9 .（2 0 2 0江苏南京师范大学附属中学期末）在 A B C中，由已知条件解三角形，其中有唯一解的有（）A.Z?=2 0,A =45,C=80 B.a =30,c =2 8,B=60 C.o=14,b=16,A=45 D.a=12,c=15,A=120。答 案 AB解析 A 中，已知两角一边，三角形是确定的，只有唯一解；B 中，已知两n A边及夹角，用余弦定理解得第三边，有唯一解；c 中，由正弦定理得sinB=-1=1 6s;45：=华 a,即 8 A,所以8 可能为锐角，也可能为钝角，有两解；D 中，a 0,则ABC一定

29、是锐角三角形答 案 AC解析 由q 的a 彳=b俞=/菽c，利用f正a弦无T B理-可sin传A信=s添inB蕊=sin/C，o即nta M=tanB=tanC,A=B=C,ABC是等边三角形，A 正确；由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB与sin2A=sin2B,2A=2B 或 2A+28=兀，/ABC 是等腰或直角三角形，B 不正确;由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinB,即 sin（B+Q=sinB,sinAa2+b2-c2=sinB，则A=8,AABC是等腰三角形,C 正确；由余弦定理可得cosC=/一 0,角。为锐角，角A,8 不一定是锐角，D 不正

30、确.故选AC.1 1.在ABC中，角A,B,C 所对的边分别为。，c,且（。+与：（a+c）：0 +c）=9：10：1 1,则下列结论正确的是（）A.sinA:sinB:sinC=4:5:6B.ABC是钝角三角形C.ABC的最大内角是最小内角的2 倍D.若c =6,则 A BC外接圆半径为平答 案A C DQ+=9元，+c=1 0 x,Z?4-C=1 1 X（其中%0）,解得。=4x,/?=5,c =6x,所以 s i n A :s i n B:s i n C=。:b：c =4:5：a2+Z?2-c26,所以A正确；由上可知，。最大，所以三角形中。最大，又c o s C二一元（4%）2 +（5

31、x）2 _（6x）2 1=Z入4X入JX=OF 0所以C为锐角，所以B错误；由上可知，最小，所/+从 _ a2（6x）2 +（5%）2 _（4的2 3以二角形中A最小，又c o s A=五 =2 X 6r X 5r =4,所以c o s 2 A =2COSM-1=1,所以c o s 2 A =c o s C.由三角形中C最大且C为锐角可得，2 A（0,兀），c e（o,2），所以2 A =C,所以C正确；由正弦定理，得2火=菽，又s i n C=W-c o s 2 C =吟,所 以2/?=击，解得/?=平，所以D正确.故选A CD.81 2.（2 0 2 0.烟台模拟）在 A B C中，。在线

32、段A3上，且A O =5,BD=3,若CB=2 CD,c o s Z CDB=则（）3A.s i n /CDB=正B./X A BC的面积为8C.A BC的周长为8+44D.Z v l BC为钝角三角形答 案B C D解析 由 cos/CDB=-当 可 得 sin/CDB=7 =故A错误；设y1 5 9+X2-4 X2CD=x,CB=2 x,在C3。中，由余弦定理，可 得-二 一 近 一，整理可得，5/一 2小 x 15=0,解得x=小,即 8 =小，CB=2y/5,所以 SABC=SABCD+SA C=TX3X小 X号+3X5X小 X=8,故 B 正确；由余弦定理，可知cosBBC2+BD2

33、-CD2 BC2+AB2-AC2 20+9-5 20+64-AC2=2 B C B D2 B C A B 即2 X 3 X 2 g 2X8X2小解得 AC=2小，故周长A3+AC+8C=8+2小+2小=8+4小，故 C 正确；由余弦定理，20+20-64 3可得cos/AC3=2X 2小X2小=弓 故2 人圆为钝角，D 正确.故选BCD.R三、填空题2b13.（2020.北京海淀模拟）在ABC中，A=y,a=,则.答 案 1解析 由题意知siny=43sinC,.sinC=g,又0Cg,.C=不 从而8=不；b=c,故I =1 .14.AABC 的内角 A,B,C 的对边分别为。，b,c,若

34、2/?cos8=acosC+ccosA,贝|J3=.兀答 案 3解析 解法一：由2/?cosB=acosC+ccosA及正弦定理，得 2sinBcosB=sin4cosc+sinCcos?1.2sinBcosB=sin（A+C）.又 A+3+C=7t,.A+C=7i B.2sinBcosB=sin（兀 一 B）=sinB.1 兀又 s i n BW O,cosB=.二 B=g解法二：，.,在 A BC 中，t z c o s C+c c o s A =h,条件等式变为2 Z?c o s B=b,c o s B=兀又 Ov Bv兀,：.B=y1 5.（2 0 2 0海南一模）顶角为36。的等腰三

35、角形称为“黄金三角形”，黄金三角形看起来标准又美观.如图所示，A B C是黄金三角形，AB=A C,作/AB C的平分线交A C于点D,易知A B C D也是黄金三角形.若B C =1,贝I J AB=；借助黄金三角形可计算s i n 2 34。=.答 案 争一与1解析 由题可得/A=N D B C=3 6。，N C=N B D C =72。,所以 A BCAD jgCS/B C D,得 前=而,S.AD=BD=BC=.AB=AC=x,贝l CO=x l,所以x 1 5+17=r,解得 x =（负值舍去）.因为 s i n 2 34=s i n（1 80 +54）=-s i n 54 =i x

36、 1 zX2+X2-1 小+1-COS36。.在 A BC中，根据余弦定理可得COS360=序=七 一,所以s i n 2 34小+1=1 6.（2 0 2 0全国卷I ）如图，在三棱锥尸-AB C的平面展开图中，AC=,AB=AD=事,A B I A C,ABA.AD,/CA E=30,贝 Ij c o s/FCB=.1-4案答解 析-：AB1AC,AB=小,A C=1,由勾股定理得 BC=yjAB2+AC2=2,同理得 BD=y6,:.BF=BD=*在4ACE 中，AC=1,AE=AD=/_CAE=30。，由余弦定理,得 CE2=AC2+AE2-2ACAECOS30=1+3 2X1*小义-

37、=1,：.CF=CE=1.在ABCF 中，BC=2,BF=y6,CF=I,由余弦定理，得 cos/FC 3=CF?+BC2-B 产 1 +4-6 J2CFBC=2X1X2=-4四、解答题17.(2020全国卷II)ZA8C的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2小 八 4 5coszl 2+力+cosA=不求A；若。-c =a,证明：ABC是直角三角形.解 因为cos2仔+A)+cosA=,5所以 sinA+cosA=w，即 1 -cos2A+cosA=1,解得 cosA=7 C又 0VA71,所以 A=Q.7tb1+C1-CT 1(2)证明：因为A=Q,所以cosA=-赤 一=,即

38、+C2-4=be.又 b-c =+(,将代入，得+/一3 3-C)2 =/?C,即 2序+2。2-5反=0,而C,解得 b=2c,所以。=小心所以。2=/+/,即ABC是直角三角形.18.(2020.烟台一模)已知XABC的内角A,3,C 所对的边分别为a,仇c,2acosA=小 3cosc+ccosB).(1)求角A;(2)若 8=2/，3C 边上的高为3,求 c.解(1)因为 2acosA=小(氏05。+ccosB),由正弦定理，得 2sinAcosA=#(sinBcosC+sinCcosB),即 2sinAcosA=小sin(B+C),又 8+C =7 t-A,所以 sin(B+C)=s

39、in(n:-A)=siih4,所以 2siii4cosA=y3sinA.l3 兀因为 OVAVTI,sinAWO,所以 cosA=,所以 A=j(2)因为 SABC=/?csiih4=a-hsc,将 b=2#,BC=3,sirt4=；代入，得。=当.由余弦定理,W a1=b2+c2-2/?ccosA,于是(当今=(2小户+c2-2 X 2 s X坐 c,即 c2-9c+18=0,解得 c=3 或 c=6.19.(2020.淄博二模)下面给出有关ABC的四个论断：Sysc=奇；/+ac=a2+c2-,=2 或人=小.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若,则(用

40、 序 号 表 示)，并给出证明过程.注：如果选择不同方案分别解答，按第一个解答计分.解 方案一：若，则.证明：由得。=。2+。2-火得COS8 =T，即8=60;/3 1 /3由得acsinB=，且 8=6 0,得 ac=2;由或3,不妨取2=2,联 立ac=2,得a=2,c=.由得,力2=/+/_。=4+1 2=3,得b=小,成立.方案二：若，则.证明：由得ac=/+c2 一2,得COS3 =,即3=60。；由Sy8C=半，得：acsin8=坐，且 8=6 0,得。=2;由/?=小,且2=。2+M-Q C ,得+/一 ac=3,a=2,从而（。+c）2=3+6=9今 +c=3,（一（?）2=

41、3-2 =-(:中，DC=2,由余弦定理，可得DC2=4=AC2+AD2-A C A D A C A D,即 ACADW4.SADC=AC-ADsinADACX 4X堂=小,当且仅当A C =A。时取“=”.若选：(1 )2 BCc o s Z A C B =2 A C-3 A B,由正弦定理，得2 s i n Z BA Ccos A C B =2 s i n Z A B C -小s i n /.A CB,：.2 s i n Z BA CcosZ A CB=2 s i n(Z A CB+Z B A Q -小s i n Z A C B,2 s i n Z BA Ccos/_A CB=2 s i

42、n Z A CBcos Z B A C+2 c o s Z A CBs i n Z BA C-/3s i nA A CB,即 2 s i n Z A CBcosZ BA C=小s i n Z A CB.事/s i n/A CB 0,.,.c o s /5 4C=7 1,N B A C W(0,兀)，/.Z BA C=g.7 C 7 1X A B A D,Z 5A )=2，Z.D A C=y(2)在 A O C中，D C=2,由余弦定理，可得D C2=4=A C2+A D2-AC-AC-AD,即 A C A DI A.SADC=A C-A Dsin Z D A C W 号 义 4 乂坐=小,当且仅当A C =AO时取“=