随机过程内容补充

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1、随机过程内容补充：一. 随机过程的概念自然界事物的变化过程可以广泛的分成两类：一类是变化过程具 有确定的形式，可以用确定的函数描绘，如加热时水温的变化，电容 器通过电阻放电时其两端的电压变化。确定性过程；另一类没有 确定的变换形式，对同一事物的变化过程独立的重复的进行多次观测 所得的结果是不同的。如掷骰子。随机过程。二. 随机过程的分布函数及分类从图可见：表征随机变量不同时刻的关系随机过程，而表征 随机变量在样本空间( x , x , ,x )的变量关系多维随机变量。1 2 n兀(f)NwWMVWf1.L/欣)L/丕 /4- 0j_i /i/对 /4i1A随机过程在任一时刻的状态就是随机变量，

2、因此可以用描述随机变量的统计方法来描述随机过程，有：设X(t)是一随机过程，对每一个固定的t e T, X(t )是一个随机变11量，它的分布函数一般与t有关，记为：1F (x , t ) = P X (t ) x x :随机变量分布的区间1 1 1 1 1 1F (x ,t )称为随机过程X(t)的一维分布函数，如果存在二元函数1 1 1f (x , t )使1 1 1F (x , t ) = J* f(x , t )dx 成立，1 1 1 一8 1 1 1 1称f (x ,t )为随机过程X(t)的一维概率密度。1 1 1 一维分布函数或概率密度描绘了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，但是

3、不能反映随机过程在不同时刻的状态之间的联系。为描绘随机过程在任意两个时刻t和t状态之间的联系，可以引12入 二 维 随 机 变 量 (X(t ),X(t ) 的 分 布 函 数 ， 记 为 ：12F (x , x ; t , t ) = px (t ) x , X (t ) u , v 丿。2 Axh2Ayh此时的抽样函数S (x, y )：S (x, y)= 芳 男 P (x - m A x, y 一 n A y)m= N1 n=-N 2D (x, y) P(x, y) S (x, y)其中，D(x,y)=迟男5 (x-mAx,y -nAy)m - N1 n - N 2则采样函数：S(x,

4、y) = D (x, y) * P(x, y)T获得的采样后的图像 F (x, y) = F (x, y)S(x, y) = F (x, y)b (x, y) * P(x, y)PIIT在频域有：F(F (x, y)= F(F (x, y)*f(D (x, y) F(x, y)习PIT式中：F(P(x,y)为P(x,y)的频谱；Ffo (x, y)二 F (u, v)二sin (N +比兀uAxsin(兀u Ax)sin (N + )2 兀v Ay_22sin(兀v Ay)当N、N t g时12F (u,v)趋向于5函数无穷阵列的频谱。如图:DT121 u依据二维采样定理f严h (等于情况就是

5、边界)，设图像尺 v12Ay H寸为X、Y,则有:XN =2u X 1等 H ，通常再扩大810个点或者更多的点，这时误差 N =2v Y2 Ayh就可小到不计。P (x, y)的影响：由二维卷积定义：F (x,y)*P(x,y) = 了 F (a,p)P(x-a,y-p)dadp，使 IIg用有限宽度的取样脉冲得到的取样值，将等价于图像先经过一个脉冲响应为P(x, y)的系统，然后对其输出用5脉冲取样所得的取样值。这时取样脉冲使图像在脉冲宽度范围内起到平滑(低通滤波)作用，使量化过程：事先设置一组判决电平和一组重建电平，将模拟量取样值同这些电平比较，若取样幅度落在某个相邻的二判决电平之间，则

6、规定它取这个量化的值，并称之为重建电平。64模拟样本量化判决电平1 000000111111111110000001000000重建电平显然，只能取有限个量化级(即有限多个量化电平)，从而引入 了量化误差。下面讨论怎样设置判决电平和重建电平才能使量化误差 最小。令f为取样值的模拟量幅度，f是量化的值。设f为一随机过程 的样本，概率为p(f)，f取值是有界的，即：a f alu又设一组判决电平取值为d (j二0,1,2,J)，且d二0 ；设一组重建j0电平(量化器输出电平)为r (j二0,1,J -1)f 量化器 r-dJ由量化引入的误差：-2 = E(f - f )2 = Jau (f - f

7、 )2p(f )df =(f -r )2p(f)dfa d j讨论：1.分层数 J 较大时， d d 间 p( f) 可视为常数jj +1b 2p(f)l - r)C - r )3j=0j+1jjj由竺1 = 0得 drj2分层数 J 较少时，p(f)在dd间不能视为常数。j+1壬二0 d rj二二 0 d dj解出1)( f ) df!d j+1/ xd .Jd j+1 p ( / ) df dj其中， r 可看作质心，分子为期望，分母为分布函数。j对于给定的概率密度p(f)，在设定的初始条件j = 0),利用这一组 方程，递推解出d、r的最佳值。jj3.在aa之间，p(f) = 1lud

8、j=2(厂丿+rj - jrj = |( dj + 1 + dj)均匀量化的情况。结论：a. 量化质量用b 2衡量b. 图像采样后重建的 b 2 ，由采样而引起的方差和量化引起的方差 两部分合成。c. 从图像角度，图像场景的缓变部分（低频丰富），应精细量化（J大些），粗放采样（Ax、Ay大些），缓变区不致出现假轮廓 （Ax、Ay过小，对应频带宽，从而也引入噪声）；细节丰富（高 频丰富）的场景，取样点应密一些，量化级可少些。如图示：2.5 数字图像的表示一幅取样量化得到的数字图像，可用矩阵表示：11 121N21 222N止jkM1M 2MNfjk是图像的象元（象素、象点）的灰度由于象元值的非负

9、性、有界性，图像的能量也是有界的，可表示为：E二兹N f 2 上限值jk即图像的能量为F阵中各元素的平方和。j=1 k =1在遇到诸如表示图像的能量、图像中各点的平滑性等时，用矢量表示就比用矩阵方便，这时可按列或按行的顺序排列象元，得到MN x 1 的矢量，例如按列排有：f = f l，f 2,，f，fN I式中：fi 二f ,f ,f 丨i = 1,2,，N1i 2 iMi上述矩阵与矢量之间存在下面关系：MN x1iM xN ii=1MN x MN x 1= N F Vi M xN iN把i列（f i）放到矢量f的第i段中。式中：00MxMMxM0000MxM显然 FV 二 fi， Nfi

10、= 0,O,f i, 0,0】ii类似地，可以从矢量表示为矩阵：F = NtJVtiii=1利用上述两个表达式，可以很方便地把二维图像转换成一维矢量 表示，反之亦可。图像的矢量表达可以用来方便地列出对图像的某些物理限制，如 图像的有限能量，可用矢量内积表示：E = frf =乞f 2 也可以表 ii=1示为矢量外积的迹：E = t 丄因f 2rii=1利用矢量表示，可较方便地写出图像的平滑性约束，是用图像中任一点的值与它若干个邻点的平均值之差来表示。2.6 数字图像的统计特征对于许多问题，有必要把数字图像做为随机过程来处理。例如对 于胶片的颗粒噪声或连续传输的数字电视图像，我们不能确切规定图

11、像的性质，但可按其平均性质和概率密度来加以研究。一用矩阵表示的数字图像的统计特征1均值 (随机过程所有样本函数在空间某点的函数值的平均)EF = Ef 是一矩阵， j = 1,2,Mk = 1,2,Njk2相关函数(随机过程自身在两个不同点位置的依从关系)对实图像：/ = / *R (j , k ； j , k )二 E f f *1 1 2 2j1k1 j2k23协方差(随机过程自身在两个不同点关于平均值的自相关K(j ,k ; j ,k) = E- E(f J f - E(f)】L 1122 P1j1k1 1 Rk 2j 2k 2 1 卜=e5 - E(f )f * - E(f * )丿

12、j1k1j1k1j2k2j2k2可由协方差求得：4方差(随机过程自身在某点对于平均值的离散程度)& 迂 E jE(fjk)2 = K(j,k; j,k)二用矢量表示的数字图像的统计特征1.均值耳二 Ef 仝 N EFVfiii=12.相关矩阵定义矢量f的相关矩阵(MNxMN阶)为:R = Ef 祇 = E迓NFV II 迓VtF*tNti i 11mmj：=1m=1=迓另 N E WvtF*t Ivtii mmi =1 m =1=艺艺 N R N Ti i,m m式中 EFvV F*T = E.f *mT = Ri mi ,m*m = / m对于实图像有F* = F，所以有则上式可表示为：Ef

13、ifmT L R， R为F阵中m列与i列矢量 i,mi ,m之间的相关矩阵，为M xM阵。于是可用N x N个子阵R表示R :i ,mf,1 ,112R1 R,2 ,212R1 R,N ,N1, 2R1 R2RN,13协方差阵RN,2RN,NMN xMN仿求R时用分段矢量f if m，可得到M xM阶的分块协方差子阵K ，而由NxN个子阵构成K，即:i ,mfKKK1,11,21,NKKK2,12,22,NKKKN,1N,2N,NK =MN xMN4 .图像集F的方差矩阵VF定义：V中阵元为矩阵f 中相应阵元的方差。Fjk由于矩阵K代表图像集F中第i列和第m列生成的协方差子阵，所以i,mK (

14、/二1,2,N)为分块方差子阵，且两子阵阵元的关系为：i , jVF(j，k)二 K ,k(j，力k 二 12 ,N; j 二 12 ,M图像的概率密度模型图像集f二f 可用联合概率密度完整地加以描述。jkP ( F ) = P (几,f/，fMN或以矢量表示：p(f)二pq,打，fQ) Q二M X N为联合密度的阶如果全部象素值三是统计独立的，则联合概率密度因子分解为一阶边缘密度之积，如下:p(f)二p(f )p(f )p(f )12Qp(f ):一阶边缘概率密度函数。i最一般的联合概率密度是高斯分布:K-i f -q式中：K、分别为f的协方差阵和均值，k |是K的行列式。这个f ff1 f模型可用来描述图像酉变换系数的密度函数，但不适于描述图像的亮 度，因后者只取正值，而高斯变量是双极性的。可使用瑞利分布来描述光强度的分布，或者使用对数正态分布来 描述象元的单边正值的随机性质。