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1、1.极值原理考虑热传导方程：Ut-a2=f(x,t)(1*)T己Lcidtdx2则(巧可写为：Lu=(4.1)从物理上看，如果物体内部没有“热源”，则在整个热传导过程中，温度总是趋于平衡，温度最高处热量向其它地方扩散，温度最低处的温度趋于上升，因此物体的最高温度和最低温度总是在初始时刻或物体的边界上达到，物理上这种现象的数学描述就是定理4.1设u(x.t)eC21(RtTr)AC(Rt).且满足Lu=fQ,则弘在人丁上的最大值必在人丁的抛物边界17上达到,即，maxu(xt)=maxu(xt)Rtry其中Rt:axp,0Zrr:x=oc及x=p,0TU=0,axprtIX(ap上页I下页I返回
2、I4证明：情形设则可断言，竝必不能在RTrT内达到最大值。若不然，设存在点(ax*p,or0,这与/0矛盾。因此比不能在RTrr内达到最大值。情形设/(x,00,考虑辅助函数v(x,t)=则Lv=Lu-&=f-&0由情形知，卩必不能在RtTt内达到最大值，即,maxv(x,0=maxv(x,0Rtrymaxu(xt)=max(v(x,t)+&t)maxv(x,t)+&TRt于是:RtRmaxv(x,t)+&T0.贝l竝在坷上的最小值必在坷的抛物边界IV上达到，即,minu(xt)=minu(xt)RtTf若m=0,贝I竝在坷上的最大、最小值都必须在rt的抛物边界rv上达到。2.初边值问题解的唯
3、一性和稳定性定理4.2热传导方程初边值问题ut=a2uxx+f(axp,0r7)u(xfi)=cp(x),(axp)(4.2)0=gi(p,0=卩2(0u在上的解是唯一的，且连续TRt依赖于抛物边界IV上所给定的初始条件及边界条件。(X证明:设问题(42)有两个解w2(x,O,记/=吗竝2,则？满足：LV=O,K|rOo从而,0=minV=minVVmaxV=maxE=0xtRfRy即，y三0,唯一性得证。其次,若初边值问题的两个解Ux.t),u2(x,t)满JuiuirT-s,则由极值原理0|iu2Rt8o稳定性得证。第二、三类混合初边值问题的讨论:考虑下列初边值问题0x/,0Tdx+hu丿
4、x=l=卩2(O(43)其中h是已给的正常数,估计u(x,t)的取值范围。令v(x,t)=euu(x,t).其中九为任一给定的正常数。则有：儿xx+九卩=0co=宀卩i(O=宀卩2(Ox=ldv、hvdx)MV0T,is=0x/,0q为其抛物边界。可以断言，若V(x.t)在尺五上有正最大值，则此最大值必在几上达到。13上页I下页I返回I事实上，假设3(x00)g,满足0兀。人0/0W且0v(x00)=maxv(x,Oj则垃1f=0,tQO,vxx(xo,Zo)0,与卩的方程矛盾。所1赵(oM以假设不成立，即，卩的正极大值只能在q上达到。.rZi=o,ox/ux=o,o/Jux=ittr若卩的正
5、最大值在f=0上达到，则有v(xt)max(p(x)0xZ若”的正最大值在x=0上达到，则有v(xt)max(t)Qt0,由边界条件知:vv(l,tQ)=亠中2(0)一乙(Uo)vh_宀2仇)hmax0ffT宀2(0从而有:v(xt)max!0,max(p(x),maxe0xZIo%/虫IhJ二u(x,t)=ev(x,t)严max0,maxcp(x),maxeui.,-应I0xZIoxmin|o,mincp(x),min卩?I(4.6)(4.7)0xZIo%0,热传导方程初边值问题(4.3)在坷上的解是唯一的，且连续依赖于初值呱兀)及边界条件卩1(0，卩2(0。证明:唯一性:设问题(43)有两
6、个解w2(x,0,竝=吗-竝2，贝临满足齐次方程和齐次初边值条件，于是由(4.6)和(4.7)得?三0,(in禺)。唯一性得证。连续依赖性：假设当0x/,0T时，成立-8(p(x)8,-8gj()8,-8g2(08,在(4.6)、(4.7)中取入=丁可得11-max(L-)su(xd)0,热传导方程初边值问题ut一a2uxx=0,0xl0tT仁=0*1（叫*宀2（(4.9)在禺上的解是唯一的，且连续依赖于初值qX及边界条件円（“应/）。3柯西问题解的唯一性和稳定性在带形区域0=(X,f)|-GOXCO,0t7上考虑初值问题N=q)(x),(-00xoo)可以证明当/=0,|cp(x)|M时，P
7、oisson公式(3.22)给出了上述问题的有界解。心)1爲匸X)船匚盛dxM定理4.5热传导方程柯西问题(4.15)ut=a2uxxu(xfi)=(p(x)，(-00X00)在有界函数类中的解是唯一的,且连续依赖于所给的初始条件。证明：由下面初值问题解的最大模估计立刻可得。22上页I下页I返回I定理(初值问题解的最大模估计)设weC(2)nc21(2)是ut=+/(x,0,-00X00)(4.15)l(x,O)=(p(x),的有界解，则有估计sup|u(x,t)|Tsupl/(兀,t)1+supIq)(x)|(*)QQ(一8,8)18上页王页返回证明：对任意考虑区域2=(兀/)|xc,OtT.记F=sup|/(x,#)|,=sup|cp(x)|o设sup|u(xt)0,(%,)亡2，且v(x,0)0,cxv(c,f)K+u0,0t0o因此，对任意固定的Qc(x0,/0)e2，当c充分大时，皆有(x0,Z0)gQc,由w(x0,/0)O得”(兀。,o)|Ft+O+2u4)令CTco,则有|tt(xo,zo)|+Q,由(XO,ZO)的任意性，定理得证。25上页|下页I返回I
24极值原理、定解问题的唯一性和稳定性
