错位相减法（1月）（期末复习热点题型）（人教A版2019）（解析版）

《错位相减法（1月）（期末复习热点题型）（人教A版2019）（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《错位相减法（1月）（期末复习热点题型）（人教A版2019）（解析版）（40页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、考 点 16 错位相减法一、单选题1 2 3n-H-H-F,-2 4 82 C.2-22-n+i口2+-n-2B.-2-+2【试题来源】陕西省榆林市绥德中学20 1 9-20 20学年高一下学期期末(文)【答案】Bc 1 2 3 n【解析】由s“=万+才，+3x两式相减得上+曾+曾+q+.+3i X臼2 2 12)2)2)2)1 2；所以S,=2n+l-n-2.故选B.2【名师点睛】本题考查数列求和的错位相减法，关键是考查运算能力，属于基础题.2.在数列 4 中，4=1,对于任意自然数，都 有 用=。“+h2”,则&5 =A.1 4.2l 5+2 B.1 3-21 4+2C.1 4-25+3

2、D.1 3-25+3【试题来源】贵州省思南中学20 20-20 21学年高二上学期期中考试【答案】D【分析】在数列的递推公式中依次取,=1,2,3，一 1 ,得一1个等式，累加后再利用错位相减法求5 .解析an+l=an+n-2,an+i-an=n-2,o,2 =1 2*,ciy-67,-2,2,4 q =3,23,a“a“_ j=(1)-2”,以上 一 1个等式,累加得。“一4 =l-2 i+2+3+2 3 +-1)-2T又2an-2a,=1-2?+2 2 3+324+(-2)2-+(-1)2 一 得 q -4=2 +22+23+2-1-(-1)-2二2(；-；_ 1).2“=Q ).2“2

3、，.a=(n-2)-2+3,A a15=(1 5-2)-215+3=13-215+3,故选 D【名师点睛】本题主要考查了累加法求数列通项，乘公比错位相减法求数列的和，由通项公式求数列中的项，属于中档题.3.已知数列 a的各项均为正数，且满足q=2 ,4(+11q；2(”+l)a+nan+i=0,设 S“为数列 的前 项和，则 S2OI9=A.2019x22020+2 B.2019X22020-2C.2()18x2202+2 D.2018 x 222-2【试题来源】福建省建瓯市芝华中学2021届高三上学期第一次阶段【答案】C【分析】首先根据题中条件，可以整理得到乌 以=2%,从而判断出数列1区4

4、 是 以 色=2n+1 n nJ 1为首项，以 2 为公比的等比数列，进而求 得 见=-2,之后应用错位相减法求得S=(-l)-2,+l+2,将=2019代入即可求得结果.【解析】因为2 4 3 一4(+1)2 4；2(+1)%+也,用=0,所以有 4,+|+2(+1)。“4-2(+1)4,+-2(+1)61=0,所以/+i+2(+1)。“+-2(+1)=0,2因为数列 凡 的各项均为正数，所以%+1-2(+1)%=0,即 占 =2?,因为4=2,所以数列 皆 是以；=2为首项，以2为公比的等比数列，所以=2,所以4=-2,所以S“=12+2-22+，n2S=1-22+2-23+.+M-2+1

5、(2),-得一S“=2+22+2_-2+I=2 i_ 2 =(1_ 2M_ 2,所以 S“=(-1)2.+2,所以 5239=2()18222。+2,故选 C.【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用递推公式求数列的通项公式，利用错位相减法对数列求和，属于中档题目.4.定义在0,+8)上的函数/(x)满足：当0,x 2时，/(X)=-X3+3X-1；当X.2时,/(尤)=3/(x-2).记函数/(x)的极大值点从小到大依次记为并记相应的极大值为伪也，也，,则q也+出4 +”1 8 ,48的值为A.1 8X3,9+1 B.1 8 x 3-1C.1 7X3I 7+1 D.1 7

6、X3-1【试题来源】云南师范大学附属中学2020届高三适应性月考(九)(理)【答案】D【分析】求出导函数，求出当0 4 x 2时的极大值点、极大值，然后根据极大值点、极大值的特征求出其通项公式，然后再利用错位相减法即可求解.【解析】fx)-3x2+3=-3(x+l)(x-1),由题当0 x 2时，易知/(x)=-1+3 x-1的极大值点为1,极大值为1,当无之2时，f(x)=3 f(x-2),则极大值点形成首项为1,公差为2的等差数列，极大值形成首项为1,公比为3的等比数列，故。“=2-1,bn=3n-,故。也=(2 1)3设 S=q,4+ci-,%+,+h8 1x30+3x3+5x3+,+3

7、5 x 317，3设 3s=1x31+3x3?+33x3+35x3i8,两式相减得-2S=1 +2(3+32+-+3I7)-3 5X318=1 +2x3 3)-35x3i8=-2-34x3%所以 S=17、3讴 +1，故选。.1-3【名师点睛】本题考查了函数极大值点、极大值的求法、等差数列、等比数列的通项公式、错位相减法求和，考查了考生的计算能力，属于中档题.5.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在 梦溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比

8、上一层 多1件，最后一层是件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层 单 价 的 若 这 堆 货 物 总 价 是25-65(1 j万元，则”的值为A.7B.8C.9D.10【试题来源】福建省宁德市2019-2020学年高二上学期期末考试【答案】B【分析】首先由题意列出总价的表达式，再利用错位相减法求和，最后解出值.【解析】由题意，可知这堆货物的总价为s“，则s“=l+2xg+3x(1)+()3 =1 4(4丫(4丫1(4、两式相减可得5“=1+二+2+.+-n x-5 5 所以 5“=25-5(+5)42 5-6 5-时，解得=8.故选B【名师点睛】本题考查等比数列的应用，错

9、位相减法求和，考查了逻辑推理，抽象，概括能力，数学计算能力，属于中档题型.6.定义在0,+0)上的函数/(x)满足：当0,x 2 时，/(X)=-X3+3X-1；当 2 时,/(x)=3/(x 2).记函数/(x)的极大值点从小到大依次记为%,小，,。“，并记相应的极大值为伪也，也，则生 也+也+”184 8 的值为A.18x3-1B.18x3-1C.1 7 x 3/1 D.1 7 x 3-1【试题来源】山东省青岛胶州市2020-2021学年高三上学期期中考试【答案】D【分析】利用导数求得x G0,2)时函数的极值点和极值，再结合递推关系，求得数列4 的通项公式，利用错位相减法即可求得其前18

10、项和.【解析】fx)=-3x2+3=-3(x+l)(x-1),由题当0 Kx 2=-n-2”，所以S“=2 ,所以“2020a+2+t Z3 H-hfl20192021 x2201 9 _ 20212O1 9 x2201 9 -201 9故选A【名师点睛】本题考查构造法求数列通项公式以及错位相减法求和，属于中档题.8.已知数列伍.是首项为I,公差d 不为0 的等差数列，且 生 的=4,数列 是等比数列，其中么=-2,4 =16,若数列%满足c“=a 也，则 同+同+同+同=A.3+(2-3)2|B.3+(2 -3)2C.3(2-3)2D.3+(2+3)2【试题来源】河南省开封市河南大学附属中学

11、2020-2021 学年高二9月质检6【答案】B 分析】由已知列式求得等差数列的公差与等比数列的公比，可得 an与 bn的通项公式,再求得除|，然后利用错位相减法求和.【解析】由题意，(l +d)(l +2d)=l +7d,得d=2,.“=1 +2(-1)=2 -1；31 6 设数列他,的公比为q,则。=,=F=8,即。=一2.t 7 2 2bn=-2(一 2)T =(一 2产.则除|=|(2/1)(-2产|=(2 1).2n-l.|c j|+|c,|+|Cj|+.,+|C；J|=1 x 20+3 x 2+.+(2 1)x 2 ,令7；=l x2+3x2i +(2-l)x2T ,则27；=l

12、x2i+3x22+.+(2-3)x2T+(2-l)x2”,两式相减得Tn=-2(2+22+.+2”T)+(2 -1)2-1 =3+(2-3)2.故选 B【名师点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式的求法，训练了利用错位相减法求数列的前项和，是中档题.9.已知数列 中，4=g，4+i =；a +9 r(e N ),则数列 4 的 前 1 0项的和为【试题来源】河南省2020届 高 三(6月份)高考数学(理)质检试题【答案】C【分析】由题得 2%“是 以 1 为首项，1 为公差的等差数列，求出/=会，再利用错位相 +2减法求出5“=2-3=，即得数列 4 的 前 1。项的和.【解析】由题意得2+

13、%,用=2。“+1,所以 2a,是 以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以2%,=1+(-1)=，得”“=美.记 数 列 4 的前项和为S“，7则 S 02 22+n-2-1+,-sn=4-+4+-+2 2 22 23n n2“+源，作差得=-+2 2L+LL+L 上22 23 2 2+1得L1 s“=上?2 1-;nr i _ 一河1-2，即S,=2-祟1 7 a Q 500所以S|O=2 F=2 弓=2上 一=干.故选C.1 0 2,28 256 256【名师点睛】本题主要考查等差数列的判定和通项的求法，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.1 0.设 S”是数列

14、q 的前项和,己知 q=3,a,-=2S +3（e N）,勿=（2 n-l）a,数列也 的 项 和T为A.(r t-l)-3，,+1B.(H-1)-3,+I+3C.（-1 3+3 D.n-3n+l+3【试题来源】松原市乾安县第七中学2020-2021学年高二上学期第一次教学质量检测（理）【答案】B 分析】利用an=Sn-S _,（2）得出数列 4 是等比数列，求得其通项公式后，可得bn,再由错位相减法求和和.【解析】因为。,川=2S“+3,所以2 2时，。“=2s,1 +3,所以 an+-an=2(S-S _1)=2an,即 a+l=3 a,又“2=2 E+3 =9,4=3,=3,所以%是等比

15、数列，首项和公比都是3,a所以。“=3,=(2/7-1).,则7；=1X3+3X32+5X33+.+(2-1)X3,所以31 =1X3?+3X33+(2-3)x3+(2-l)x3i,两式相减得一 27；=3 +2X32+2X33+3 2X3-(2 -1)X3 M8=3+2 (I-3 1)一(2_1)x3用=(2 2n)x3n+,-6，1 3所以雹=(-1)*3向+3.故选B.【名师点睛】本题考查错位相减法求数列的和，考查等比数列的通项公式，解题关键是掌握由S“求 为 的方法及注意点.错位相减法、裂项相消法、分组(并项)求和法、倒序相加法是特殊的数列求和方法，注意它们的应用类型.1 1.已知单调

16、递增数列 4 的 前n项和S“满足2S=an(an+1)(e N*),且S.0,记数列 2%的前n项和为7；,则使得7；2020成立的n的最小值为A.7B.8C.10D.11【试题来源】山西省太原市2021届高三上学期期中【答案】B【分析】由数列。“与S”的关系转化条件可 得%=a,T+1，结合等差数列的性质可得见=，再由错位相减法可得7；=(一 +2,即可得解.【解析】由题意，2S,=a“(a“+D(w N*),当N 2时，25,“=a,-(q-+1),所以 2an=25“-2sM=%(+1)-%(%+】),整理得(+4”)(4 一%-1)=。,因为数列%单调递增且S“0,所以a“+a.尸0

17、,a“一4_1-1=0,即=an_,+1,当 =1 时，2s=4(a1+1),所以q=l,所以数列 4 是以1为首项，公差为1的等差数列，所 以%=，所以北=1 -21+2-2+3-23 H-F 2,=1-2+2 23+3-24 H-P(-1),2+2,b,2(1-2)所以-7；=2+22+23+24+2”-2向=-n-2+|=(1-)-2,+|-2，所以？；=(1).2 7+2,所以7；=6x2+2=1538,7；=7x29+2=3586,所以7；2020成立的n的最小值为8.故选B.1 2.定义 可表示不超过的最大整数，如0.39=0,L28=l.若数列 叫的通项公9式 为=log2 n,

18、S“为数列 a“的前项和，则Sz.A.2+2 B.3x2+2C.6x2+2 D.9x2+2【试题来源洞南省郑州市商丘市名师联盟2020-2021学年高三11月质量检测巩固卷（理）【答案】D【分析】由题可得数列依次有1个0,2个1,4个2,8个3,，”k,则由1 +2+2?+）=2（）47 可 得 左=10,即 可 得S2047=0 xl+lx2+2x22+3x2+-410X2,由错位相减法可求得.【解析】-：n,A log2n0,当041og2 l 时，=1,即=0（共 1 项）；当 1410g2 2 时，=2,3,即 4=4=1（共 2 项）；当 2 4 log2 =。6=%=2（共 4 项

19、）；当A41og2 A+l时，=2*,2*+1,2日一1，即=亨 1 6（共2人 项），1 _ 2*+i由 1 +2+2?+2*=2047，得-=2047.即2|=2048，所以左=10.1-2所以$2047=0 x1+1x2+2x2?+3x23+10 x21,贝IJ2s2 M 7 =1x22+2x23+3x24+10 x2”,两式相减得 _$2 2047=9x211+2.故选 D.1-2【名师点睛】本题考查数列的前n项和的求解，解题的关键是得出数列的特点，从而得出S2047=0 xl+lx2+2 x 22+3 x 23+-+10 x 21,）,再利用错位相减法求解.13.已知数列。列的首项a

20、=3,前n项和为Sw,an+=25w+3,weN*,设bn=log3 an 9数列Cln的前项和的范围101 c 1 QA.L-3 ,2 J B.L3 ,2)【试题来源】河北省张家口市宣化区宣化第一中学2 0 2 1 届高三上学期第一次联考【答案】C【分析】由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式可得勺，求得=（：）“，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得7；,判断 1 为递增数列，可得所求范围.【解析】首项q =3,前 项和为Sn,t l=2 5+3,e N*,可得。2 =2 S I+3 =2 4+3 =9 ,.2 时，%=2S0 T+3,又a“+=2 S 0+3,两式相减可

21、得 +|-an=2 S-2 s,i =2an,则 =3 a,可得/=3 2=3”，上式对=1 也成立，则。=3,n G T V*，bn=l o g,an=l o g,3 n=n,r=旗；），则前项和 T=1-+2+3-+.+（i）n,=1 4 +2-上 +3 占 +（!）+,3 9 2 7 3 3 9 2 7 8 1 3l（iL）7 1 1 1 1 1 公 I+-+-n-（-）+，-J-，1-31T 3 2 +3 .3 2 +5 3 2 +3 n+l _-r I T 1当皿化间可得=彳一 丁 丁，由&即 一 公+7 下=不 丁 0,可 得 为 递 增数列，可得z,.z=?，而 一 2寸 0,可

22、得7；m，综上可得:，,北 ，故选C.【名师点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式,考查数列的错位相减法求和，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题.二、多选题1.已知数列 4 为等差数列，q=1,且 电，%，%是一个等比数列中的相邻三项，记bn=an-2%,则仍“的前项和可以是A.n B.2 11C.2,+l-2 D.(n-l)2,+1+2【试题来源】山东省济南莱州市2 0 2 0-2 0 2 1学年高三上学期开学考试【答案】B D【分析】设出等差数列的公差，再由已知列式求得公差，得到数列%的通项公式，进一步得到 ,的通项公式，然用利用等差数列的前项和公式及

23、错位相减法求 2的前项和,则答案可求.【解析】设等差数列 4,的公差为d，由生，4，4是一个等比数列中的相邻三项，得知2=%。8,即(l+3 )2=(l+d)(l+7“)，整理得Q 2 d =(),即d =o或d =i.=1 =1 +1 x(n-1)=n .当 a“=l 时，bn=an-2a,=2 ,当鬼=时，2=2 ”=？.若2=2,则电 的前“项和为2 ；若 仇=攵，设 的前项和为S,则3=1勿+2-2 2+3 +.2 ,2 S =l-22+2-23+3-24+.+n-2+l,-S =2 +22+23+.+2n-/?-2n+1=2(21-2则 S“=(一1)2 2+2.故选 B D.三、填

24、空题1.已 知 公 比 大 于1的 等 比 数 列%满 足%+g =2 0,%=；,记bm为 在区间(0,间(m e N*)中的项的个数，a的前项和为S“，则$2”=.【试题来源】上海市洋泾中学2 0 2 1届高三上学期期中【答案】(一 1)2”-2川一2 +【分析】先求 出%=2 ,再由特殊到一般，归纳出2 4 m 1),由 一。，得 或 2=2 4.+2交 于4，纥（wN*）两点，且S.=；|A纥.若q+2g由3 a +4阳：2对V e N*成立，则实数4的取值范围是.【试题来源】四川省成都外国语学校、成都实验外国语学校联合考试2 0 2 0-2 0 2 1学年高三上学 期1 1月 月 考

25、（理）【答案】（；,+8）.【分析】由圆中弦长公式求得S“，由S,求得明，用错位相减法求得和q+2外+,然后分离参数转化为求数列的最大项.|0-0-2 V 2|,-【解析】圆心到己知直线的距离为1=1-一1=2,圆半径为r =J 2 a“+2,V 2、所以 5“=54纥|2 =/一 屋=2 4+2-4 =2 4一2,所以 4=S 1=2 q-2,q=2,/N 2 时，%=S“-S“_ =（2。.一 2）（2 a,i 2）,an=2 4T，所以 对 是等比数列，公比为g=2,所以“=2”.设/=q+2a2+3 q-，则 2T”=2 +2 4 -1）。+n an+，-1=6+4+为一叫向2(1-2

26、 )1-2所以(=(-1)-2 +1+2.14不等式 4+2a2+3%+4 +2 对 V/i G N”成立，M 1即(1)2+2 2 _，n 1 n/7 1 9 n设 C=产，则 9m _,=牙 _产=y ，当 2 时，cn+l-c 0,c+l c,所以 9。4。5 ，q j 中最大项为 C 2=q=g.所以/lg.故答案为(一,+8).2【名师点睛】本题考查直线与圆相交弦长，考查错位相减法求和，数列不等式恒成立，求数列的最大项.求圆中弦长谅进几何法，即求出圆心到直线的距离，再由勾股定理得弦长，等差数列与等比数列相乘形成的新数列求和一般用错位相减法求和.不等式恒成立常常用分离参数转化为求数列的

27、最大项或最小项.作差法是求数列最值的基本方法.5.设X“=$*),对X”的任意非空子集A,定义/(A)为A中的最大元素，当A取遍X,的所有非空子集时，对应的/(A)的和为S,则S 5=.【试题来源】【新东方】双 师(63)【答案】129【分析】由题意分析得X,的任意非空子集4共有2”-1个，其中最大值为的有2”T，最大值为 一 1的有2”.2个，最大值为1的有2=1个，利用错位相减法求和即可.【解析】由X“=1,2,3X”的任意非空子集4共有2-1个，其中最大值为的有2 i,最大值为 一 1的有2-2个，最大值为 1 的有2=1 个，故S“=2xl+2ix2+2-2X(1)+2-3，所以 2S

28、“=1x1+22x2+2”-3(-1)+2 x，两式相减得一 S“=l+2i+22+2T-2 x，所以一5 二 一2隈 几=2-1一24，故&=(-1)2+1,1-2 所以35=(5 1)x25+1 =1 2 9.故答案为 129.15【名师点睛】本题是集合和数列结合的题.分析出“X”的任意非空子集4共 有2 -1个，其中最大值为的有2 i，最大值为九一 1的 有2 T个，最大值为1的 有2=1个.”是解题的关键.6.求 和;+捺+.+燃=.（用数字作答）【试题来源】湖 北省武汉外国语学校2020-2021学年高二上学期期中749【答 案】发【解 析】设s=51 +齐3+了5+及15，则,15

29、 5e=1+3+尹5+及15，两式相减得S=L+2X4 +2X!+2 x 4 +_11=受2 2 22 23 28 29 2,1 29 5121-2749 749.5=通故 答 案 啊 彳【名师点睛】数列求和的常用方法:（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解;（2）对 于 。,也,结 构，其 中 4 是等差数列，0,是等比数列，用错位相减法求和;（3）对 于 4,+2 结构，利用分组求和法;（4）对 于 一!一|结 构，其 中%是等差数列，公 差 为d,anan+J利用裂项相消法求和.7.在 等 比 数 列 叫 中，%=2,%=1 6,则2 4+3%+lO%o=【试题来源】江苏省南京市玄

30、武高级中学2020-2021学 年 高 三 上 学 期11月学情检测【答 案】9216【分析】由题可求出4=2：然后利用错位相减法计算即可求出结果.【解 析】设 等比数列%的首项为，公比为4,由题可得 aq-2axq-16,解之得q =1a=2则 4=2-1,16贝ij2a2+3%+1（）4（）=2+3 +4 +H=，x2得2 +3 2+4 +102=2相，一得 2 2+(22+23+24+29)10.2”)=m,则一 加=221+?0力)=一10-21=92|=9216,1-2则m=921 6.故答案为9216.【名师点睛】一般情况下对于数列%,有c“=a,然，其中数列 4 和 分别为等差数

31、列和等比数列，则其前项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例.8.设数列 4 的前项和为S,若a“=.2”,则S,=.【试题来源】贵州省六盘水市第一中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】(n 1)2“+2【解析】设S“=1x2+2x22+3x2+2”,则 2s“=lx22+2x23+.+(-l)-2+2i两式相减得一邑=2+22+23+.+2-小2曲=2(l2 )-n-2+,=(l-n)-2+,-2,1-2所以 S“=(-1)2n+1+2.故答案为(H-1)-2e+2.9.已知数列 q 的前项和

32、为S.,且S,=2%-2,则 数 列 的 前 项 和 =IA J【试题来源】安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高三上学期二模(理)c 九+2【答案】2一【分析】令 =1,可得4=2.山 N2时 见=S“一 得出,4 是等比数列，求出后用错位相减法求得和7；.【解析】令=1,可得q=2.17又由己知可得S,2%+2=0,当 2 2时.，S,i-2a,z+2=0,两式相减，a-2a+2an_(=0,an=2a,l,又4 H0,所以一 =2,n2,an-所以数列%是首项为2,公比为2的等比数列，所以a“=2x2T=2 ,所以2 =，an ,LT 1 2 3 n 1 _ 1 2 T n n

33、所以骞=缄+梦 +L+p -?；（=+L+.亚|、如、讣 相 1Tl i 1 1 n 2I 2 J n,n+2两式相减得，7；=+王一西=一 西=i一万丁,1-2得q=2 一若.故答案为2-祟【名师点睛】本题考查由数列的前八项求数列的通项公式，考查错位相减法求和，.属于中档题.错位相减法、裂项相消法、分 组（并项）求和法、倒序相加法是数列求和的几种特殊方法.需掌握它们的应用.1 0.己知数列 凡 中&=，数列也 的前项和5,=2 -1.若 数 列 的 前 项和I,M对于V/?e N”都成立，则实数M的最小值等于.【试题来源】安徽省合肥市2020届高三下学期第三次教学质量检测（文）【答案】4（-

34、、一 I,利用错位相 +2减法得到（=4/4,即可得出结论.【解析】由数列 2 的前项和S.=2-1得，当“2 2 时，有 么=S,S,T=（2 1）一（2T 1）=，当=1时，有E=2-1=1=仿也适合上式，故a=2T,18 Z=lx 1)+2 x 1)+3 x 1)+.+展),/=1 x /+2 x(5 +3 x()+.+*)(2).由(1)一(2)得;=1 +妙妙+r2-,即(=4 =-4.又 7；+1=9 2 1 6 +1=9 2 1 7.故答案为 9 2 1 7【名师点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应用，主要考查学生的运

35、算能力和转换能力，属于中档题.1 3 .数列。“满足：H =-H-1-=3 ,且4+&2 1-F a“机(znw N )恒成2 5 3/2 1 2立，则加的最小值为.【试题来源】2 0 2 0 届百校联考高考百日冲刺金卷全国I 卷？数 学(文)(二)试题【答案】9【分析】先利用数列的通项公式与前n项和的关系，由 幺+&+工=3 二，求2 5 3-1 2 得2 一 ，再根据q+4+4 加(m e N*)恒成立，利用错位相减法求5,二 1,20q+。2 1-，再求其最大值即可.解析当2 2时，由-H-1-=3 ,2 5 3一1 2得 H-+H =3-.两式相减得 =(之2 5 3n-4 2 3一1

36、 2八当=1 时，?=g=q=5.3一1 0-,2,T5,=1,_ 5 8 3n-l故q+4+4,=5+齐+亍 +下一.o 2 5 3”一4 3 一 1 1 e令5=1 +，贝!1一521 22 2i 2 24+之+三21 22-i-1-2i 22 5=齐+了 +2”3-4 3n-l-+-r-两式相减得g s =l+3 +-I22 23 一 1 5 3+52+i-2 2,+,3/1+53=5-2T11故 q+4 +。*=4+S=9 一3+5 八-8,故加的最小值为9.25【名师点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和的关系以及错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14.正项等比数

37、列 4 满足：4=1，/=6 4,则数列 4/%的前项和是【试题来源】2020届湖南省株洲市高三一模（文）【答案】（n2-2n+3）-2n+l-6【分析】先设正项等比数列。“的公比为q（40）,然后根据等比数列的通项公式及题干可计算出首项q和公比9的值，即可计算出数列%的通项公式，再计算出数列 4*4 的通项公式，再连续两次运用错位相减法可计算出数列 42%的前项和.【解析】由题意，设正项等比数列 4,的公比为以40），则 必=%d=q 6=6 4,解得q=2,=1-2T=22,n N*.q 乙，令 bn=4 n2an,则 bn=4n2 2n2=n2 2.设数列 424的前项和为 7；,则=F

38、 21+22.22+32.23+2 .2,2127；,=l2-22+22-23+-+(/i-l)2-2n+n2-2n+,两式相减，可得-7；,=l2-2+(22-l2)-22+(32-22)-23+-+2-(n-l)2-2,-n2-2n+l=l-2l+3-22+5-234-+(2/?-l)-2,-n2-2,+l,x 2,可得一27；=122+323+(2-32+(2-1)2田-2.2+2,一 ，可 得(=1 4+2为+2立 +2短2 /+l)-2n+=(“2_2+3)2向一6.故答案为(川2+3)2出一6.【名师点睛】本题主要考查等比数列的性质应用，以及连续两次运用错位相减法求数列的前项和，考

39、查了方程思想，转化和化归思想，换元法的应用，以及逻辑思维能力和数学运算能力，属中档题.15.设等比数列 4 满足为=2，%。=2 5 6,则数列也后4 的前n项和为.【试题来源】2020届华大新高考联盟高三11月教学质量测评(理)【答案】(2一2+3)21-61 ,【分析】先求出等比数列 4 的通项公式为a“=/-2T=2”2,然后分析求和.=a2 9 f 1cf=2,。=一,【解析】依题意，有3 解得I 2%0=aq=256,q=2所以数列 凡 的通项公式为4 =；2-=2-2.设数列 424的前n项和为T 则 7；=F+2?+“2 2,(1),27；=l2-22+22-23+.-+n22n

40、+,.(2)用(1)-(2),得一(=1 2+3-2 2+(2一 (3)-27；=1-22+3-23+(2n-l)2n+1-n22n+2.(4)用(3)-(4),得7；=1 -2i+2 2?+2 2-n22+(2n2-2n+1)2,+1=(n2-2n+3)2n+l-6.22故 答 案 为(2-2 +3)2田-6.【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和数列求和的方法.考查错位相减法求数列的和.属于中档题.四、双空题1.已知=1,a=(a”一 a,J e N*),也 是等差数列，且=bn+bn+,则 数 列 也Jc=琛的通项公式=,令(1丫，则 数 列 1 的前项和为.【试题来源】广 东 省

41、 普 宁 市2020-2021学年高二上学期期中质量测试【答 案】女 二1(n-l)-2n+l+2【分 析】根据题中条件，由累乘法先求出q=，再设等差数列 d 的公差为d,根据题中条件，列出方程组求解，得出首项和公差，即可求出；再利用错位相减法，即可求出数 列 匕 的前项和.【解 析】因 为aa=(a“+i-。”)，所以+=叫 用，则 =-,a,2 a.3 a n a 2 3因 此T r 亡 k 以上各式相乘可得十厂 丁.xn又=1,所以=；设 等差数列也,的公差为d,因 为。“=2+2用，所 以 向+”2 =4=14+%=。2 =22 b,+d =则 24+34=2所以 d=；+g(T)2/

42、7-14，解 得 d =L2a+i nn+c因 此 =_ _=_-n，2n ，记数列%的前项和为pjij Tn=q+c2+C 3+q1=1 ,2+2 2+3 2,3+zi 2 (T)23所以 27；=l22+223+324+2T一得一(=2+2?+23+.+2-2n+1=2(1-2(1)1-2-n-2n+,=2,+-2-2,+|OM 1=(l-n)-2n+l-2,所以7；,=(-12曲+2.故答案为 当 ：(一 12向+2.【名师点睛】错位相减法求数列/“（其中 4 为等差数列，,为公比为4的等比数列）前 项和S”的般步骤:（1）先根据条件，得到S =岫+a2b2+-+abn!（2）再上式的基

43、础上，等式两边同乘以公比4，得到焚“=砧2+。2/+-+。也+1，（3）以上两式作差，结合等比数列的求和公式进行整理，即可得出结果.（作差时，要注意错位相减）.2.若S.是 数 列%的前项和，且4+24+22 4+=ii+2/,则a“=-：S”=-【试题来源】湖北省鄂东南省级示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考【答案】2+11。芋【分析】由N2时，al+2 a2+21a3+-+2n-2an_=（/2-1）2+2（/?-1）,和已知式子相减可得见=与 乎-再利用错位相减法即可求出S,.解析*q+2a2 +2%+2=一 +2，则当=1 时，%=3,当2 2时，q+2%+2%+,+2=(

44、-1)+2(-1),.i两式相减得2-%“=2+1,即4=亍-,满 足 =3,.4=2则S“=3x仕（2+5 xU y、1+7 x2+3.【分析】（1）由4用=S“+1“，化简 得 国-=2一3,结合等比数列的2-1 2n+l 2-1定义，即可证得数列，T力是等比数列；2-1（2）由（1）求得S”=（2一1）2一，利用“错位相减法”，即可求解.【解析】因为（2一1）。“+=（2八+3）5“，即a,27?+32n-3 =因为。.M=S”+=S”=等1 S，可得5向=学?电,，所 以 患=2.上又=1,可得=1,所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.q（2）由 可 得 一J =2，所以S=（2

45、-12T,2n-l则北=1 +3x2+5x22+（2一3b2-2+（2-1）.2127；=1x2+3 x 22+5 x 23+(2-32T+(2-l 2,26-得-7；=l+2xR +2?+2）=l +2 x （2 1）.2=（3-2）-2 一3,所以 2”+3.【名师点睛】错位相减法求解数列的前项和的分法：（1）适用条件：若数列%为等差数列，数列 bn为等比数列,求解数列 见勿 的前项和S；（2）注意事项：在写出Sn和qSn的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn-q Sn；作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；作差后，作差部分应用为 一 1的等比数列求和.2.已知等

46、差数列 4和等比数列也,中，q =4=1 ,公差。=2 ,公比4 =3 ,q,=4。.（1）求数列%的通项公式；（2）求数列%的前项和S“.【试题来源】宁夏石嘴山市平罗中学2 02 0-2 02 1学年高二上学期第二次月考【答案】cn=（2 n-l）-3n-；（2）5=（n-l）-3n+l.【分析】（1）利用等差和等比数列通项公式分别求得。“和力，由此可求得结果；（2）利用错位相减法可求得结果.【解析】（1）由等差数列通项公式知q=4+（-1）1 =1 +2（-1）=2-1；由等比数列通项公式知2=3 T ,.-.c=（2 n-l）-3n-1;（2）由（1）知S.=lx 3 +3 x 3 i+

47、5 x 3 2+（2-3）X3-2+（2-1）X3T,.3 5“=1 x 3 +3 x 3?+5 x 3 3 +（2 3）x 3 T +（2-1）x 3,两式作差得一 2 s“=1 （2-1）X3+2X（3+3 2+3T）,273 3.2 s “=1-(2-l)x 3 +2 x-=1-(2-1卜3+3-3 =-2 +(2-2 3,1 -3.S=(n-l)-3n+l.【名师点睛】当数列通项满足等差x等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前项和,具体步骤如下：列出 Sf l=|+2+%-an-+an 的形式；左右两侧同乘通项中的等比部分的公比 ,得到qS,；上下两式作差得到(l-q)s“，结合等比

48、数列通项公式可整理等式右侧的部分；整理所得式子求得s,.3.己知等比数列。“的前”项和为S“，a”0且4%=3 6,%+。4=9(4+4).(1)求数列 叫的通项公式；(2)若S +1 =3 ,求数列)也 及数歹ij a也 的前项和Tn.【试题来源】天津市红桥区2 0 2 0-2 0 2 1学年高三上学期期末【答案】(1)a“=2 x 3 T(w N*)；(2)/=(2-丁+1【分析】(1)根据已知条件求出数列的首项和公比，即可得出通项公式；(2)先求出等比数列的前项和S,即可以=，再利用错位相减法即可求出Tn.【解析】(1)设等比数列 q的公比为9，由 a,+%=9(4+的)，可得(4+/)

49、/=9(4+/)，“2=9,由 a“0,可得 q=3,由 q,=3 6,口J 得 q q q-=3 6 ,u j 得.4 =2 ,可得 a“=2 x 3 T(eN*)；由，i,可得S J O T)。)=3 -1，lq 1-3由 S“+l =3 ,可得 3 -1 +1 =3 ，可得加=%可得。也 的通项公式：。也=2 x 3 T ,2 8可得 7；=2（l x 3+2 x 3 +”x 3 T）3 7；,=2（l x 3 +2 x 32+“x 3”）-得 一2 7；=2（3 +3 i+3 i x 3 ）=2 x l-3,x3）,lI 1 3 J可得 7；-1-.“24.已知正项数列 a,的前项和为

50、S,数歹i j 凡 满足4 S,=a：+2an.（1）求数列 4的通项公式;（2）若数列也 满足a=q-l，3%=，且c“=a,b”,求数列%的前项和此.【试题来源】吉林省梅河口市第五中学2 0 2 1届高三上学期第三次月考（文）Q 3 1【答案】（1）。“=2；（2）M=-（-+n）x.【分析】（1）由递推关系可得数列%是首项为2,公差为2的等差数列，则可求得通项门丫t公式；（2）可得勿=上，利用错位相减法可求得 解析】（1）当=1 时，4 a,=a,2+2at,因为 q 0 ,所以 4 =2 ,由 4 S“=a,2+2a,，可得 4 S+I=an+l2+2a,l+l,-得,4 an+l=a

51、+,2-a；+2 a+1-2an,整理得 an+l2-a；+2an+i-2an=0 ,所以（a“+i+4,）（a“+i-2）=0 ,因为。“0,所以a”+a“=2,所以数列/是首项为2,公差为2的等差数列，所以。“=2；b 1（2）因为e=4-1 =2 1 =1 ,%3所以数列 是首项为1,公比 为;的等比数列，所以仇,于是c“=4%=2X（；）T,=2X1+4X；+6X（；）2+.+2X（；）T Mn=2 x +4 x （）-+6 x （-）3+.+2 n x （）29一得 2 M“=2+2 x；+2x(g)2+2 x(；)3+.+2 x g)T _ 2 x g)”=2x l+1+.+(1)

52、n-|-2 n x(l)=2x2 n x(l)n,1-3Q 3所以+)X(?T.5.设数列%的 前 n 项和为S”,从条件a+i=(+l)q,5 J0+/=2S”中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列 4 的前n项和为S“,4=1，_ _ _ _（1）求数列 4 的通项公式；若 a=-T an,求数列也 的前和T.【试题来源】湖南省衡阳一中2021届 高 三（上）期中【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）若选可得 半 为常数数列，即可求出/；若选利用4=S,-S,i可得（”1）4,=W“T，即 可 得 为 常 数 数 列，即可求出。“；若选利 用%=S,一S“一

53、 1可得。一 1=1，即可得到数列 4 是 以 1为首项，1为公差的等差数列，从而得解；（2）利用错位相减法求和；【解析】选条件时，（1）叫 用=（+1）为 时，整理得=%=幺=1,+1 n 1所以见=.(2)由 得“=2,设c=-2”,其前项和为C“，所以 C“=lx 2 i+2 x 2 2+-2，2G =1X2?+2X23+2向,一得一 C”=0 +2?+2)-分2+,=之?I _n.2向，30故。“=(1)2用+2,所以北=(1_ 2+|_ 2.选条件时，(1)由于s“=(”+“%,2所以2S”=(+1)，当2 2时，,一得2%=(+1)%解.I，(“T)a =%一1，整理 得&=也=&

54、=1,所以为=.n n-1(2)由 得儿=一小2,设%=2 ，其前项和为C“,所以C“=lx2i+2x22+-2”，2c“=1X2?+2X23+”-2向,一得-C,=(寸 +2?+2)-2,+1=I _n.2+i,故C“=(_ 1)2用+2,所以7；=(l-n)-2n+1-2.选条件时，由于q；+%=2S“，a+a“_ i=2S“_，一时，=(%+*)，整理得4一。“_1=1(常数),所以数列%是 以1为首项，1为公差的等差数列.所以4=.(2)由(1)得2,设q,=6 2,其前项和为。，所以G =1x2】+2x2?+小2”，2c“=lx22+2x23+2+l，一得G =+2?+2)2+,=-

55、n 2计1，故 ,=(_1)2 m+2,所以北=(1_ 2_ 2.6.如果数列 a j满足q=，叼=!，且*N 2).2 5。“一1。”+1(1)求数列%的通项公式；2(2)令 么=一，求数列也 的前项和7“.31【试题来源】河南省重点高中2 0 2 0-2 0 2 1学年第一学期高二阶段性测试（二）（1 2月）（文）【答案】（1）”“=一：（2）7；,=8+（3 n-4）-2n+1.3 n-l*、【分析】（I）根 据 递 推 关 系 式 可 得 数 列 是 等 差 数 列，再利用等差数列的通项公式即可求解.（2）利用错位相减法即可求解.【解析】（1）由题易知4Ho.当22时，由已知得1 =1

56、,%a a 2 1 1所以2 =-+-,所以一=-+-,a，i%+i /a，i 。，用所以当e N*时，数 列 是 等 差 数 列.设，口的公差为lJ1 1 一 1 cl u ,1 1 ）因为 q=_，a-,所以一=2,=5,d=-=3 ,2 -5 q a2/41 1所以一 =3/1-1,所以a“=-a.3 n 1(2)由(I)可得=(3-1 2”.a所以数列也 的前项和北=2 x 2 +5x 2 2+8x 2 3+L+(3 n-l)-2 2 7；,=2X22+5X23+8X24+-+(3H-1)-2,+I.一可得 7；=T-3侬 +2 3 +2 4 +L +2)+(3 -1)2n+1=T 3

57、 x型三+(3 1)2 m=8+(3 4 2 +i.1-2(3、7.己知数列 q前项和为 S“，=2,R m =5“+(+1)+2 .(1)求数列%的通项公式；(2)若 以=4+，求数列出 的前项和小【试题来源】山东省济南市商河县第二中学2 0 2 0-2 0 2 1学年高三上学期期中考试32【答案】（1）q,=x 3 -；（2）7；=（2 丁 +.4 4【分析】（1）由5 e=5“+（+1）（3%+2）整 理 可 得 七=3*2+2；进而得 到 也+1 1是首n n+i n n J项为3,公比为3的等比数列，即可求出其通项，从而求得结论；（2）利用第一问的结论，求得数列 4 的通项，再结合错

58、位相减法即可求得结论.Xn【解析】(I)由题知an+l=Sn+l-S,=(+1)+2 ,即3-=3 x 2 +2 ,7 1 +1 n即3+1 =3/+1 ,因为q=l,所以4+1=3H0,所以4+1WO,n +1 n)n所以数列j点+1 1是首项为3,公比为3的等比数歹U，所以区+】=3 ,所以a,=x 3 -；n(2)由(1)知,4=x 3 ,所以 7；=l*3 +2 x 3:!+3 x 3 2+x 3 ,所以3(=1 x 3 2+2 x 3 3+5-l)x 3 +x 3 *，一 得，一=3+3+3+L+3 X 3 =3(1 3)_ 双 竽 工(1 加)3+一_ 3,“1-3 2 2所以心

59、为 N J.4 48.己知数列 q中，q=l,+i=t(eN )（1）证明：数 列 是 等 比 数 列U 2 J（2）若数列也 满足匕=.q，求数列也 的前项和T.【试题来源】山西省2 0 2 1届高三上学期八校联考（理）+2【答案】（1）证明见解析；（2）7；“,=4-。“+3 。,川 2 (q 2)1 1 3又+3=2,所以J一1 十 一1a 23卜是以一为首项，3为公比的等比数列21 1 o 2 c(2)解：由(1)知7+5 =5 3 一|=万，所以的=二j，2=号1=1 /+2*/+3、*+(-1)、止+”击Z,1 c l ,八 1 1=lx 4-2x H-1-(72 l)x-+H X

60、 2 21 22 2”T 2 两式相减 得 今=J+J+*+,+白一=2 所以北=4-线9.已知数列 4 满足q=1,a“+=2 a.+l(eN*).(1)求数列 4 的通项公式.(2)设2=，求数列1一的前项和S“.M +1 J【试题来源】四川省雅安中学2 0 1 9-2 0 2 0学年高一下学期期中 1 Y【答案】。=2 -1；S“=2 (+2 -(2 J【分析】(1)先化简已知4讨+1 =2(q+1),构造等比数列 4+1 ,求出数列 ”的通项公式；(2)先求出 上-=2=.(4,再利用错位相减求出前项和S“.a“+l 2”2)【解析】因 为 =2 4+1(w N*),所 以+1 =2(

61、凡+1),由己知4 +1 0,所以4=2,所以 6,+1 是以4+1 =2为首项，以2为公比的等%+I比数列，所 以%+1 =2X2 T=2,所 以%=2 -1.34上=2=.%+1 2”nJ,S =1 x _2+2 xf i152I+3 x、23 (+7273，=1X(|+2XJ2+(几-1)、2 /+x n+17所以 S,=-12 221I +22+7f nJ J3+27一(15n+121-、21 小1-2=1-(+2)6)n+lI,所以s“1=2-(+2 -2【名师点睛】本题主要考查由递推数列求通项，若数列%,其中 或 是等差数列，C,是等比数列，则采用错位相减法，意在考查学生对这些知识

62、的掌握水平和分析推理能力.1 0.已知 为等差数列，也 为等比数列，也 的前项和为s“，且4=4=1,4=%一4 4 =8 3+4.求数列 q,也 的通项公式;5.5 7 2.（2）设，7；为数列 c,的前“项和，求数列 +1 4+2,的前项和S：.【试题来源】T8联考八校2 0 2 0-2 0 2 1学年高三上学期第一次联考1 a (1、+】【答案】%=4-3,bn=2n-：(2)5；=-(4n+1 3)-22 、27【分析】（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为0，利用4=%-么，&=S a+A求出d和q的值即可求解;（2）由 qj为等差数列，可得氏+%+2 =2+1,所以3=里 也

63、 必an+an+2=气泮二色管土号利用裂项相消法求得5 4/1 +55 7；+2,利用乘公比错位相减求和即可.35【解析】（1）设等差数列的公差为d,等比数列的公比为4,出=。3-4,a.=S3+b29d=q21 +2d=1 +q +q-+qq=0d=0=2 或 Jd=4，解得（舍去）,/.a,=4/1-3,4=2T.（2）；4 是等差数列，所以。”+。“+2=2%+i,乂由 知+2=2 ”，“%=(2%+i 一生+2)+=2 bn+l _ bll+2 hn+a、a。c a、a.a an+n+2 s+s+2 n+2 n+1 n+2 n+1=端_%=二5 4+5an+2 a2 4+5 5 *盟,

64、+2 2+2 M,利用错位相减求和法即可求得答案.【解析】（1）由题意，数列 4 是等差数列，所以y=5 的）=5%,又 S5=3%,所以%=0，由4+4 =8=2%,解得4 =4,所 以%-4=2 1 =4,解得1=2,所 以 数 列 的 通 项 公 式 为=%+（“3）d=2（-3）N*.(2)由得”7；=(-2)-22+(-l)-23+0-244-.+(n-3)-2n+,27；=(2)23+(1).2+(-4)2“+(一3)2+2,两式相减得 27；-7；=2 2?-(23+24+)+(-3)2n+2,8(1-2-)=O-+-(-3-)-2-+2=(-4)22+16，37所以4)-2 +

65、2 +6.1 2.在等比数列 4 中,%=4,%=3 2.(1)求见(2)设以=3 1 o g 2 4,c“=b“q,求数列 c,的前项和7；.【试题来源】山东省济南市旅游学校2 0 2 0-2 0 2 1 学年第一学期高三期中考试【答案】(1)*=2 ；(2)Tn=3(n-l)-2,+1+6【分析】(1)利用等比数列的通项公式，结合已知条件4=4，%=32,可得力,4，即可求得%;(2)由(I)知a=3 ，c“=3 -2 ,利用错位相减法即可求数列 1 的前项和.【解析】(1)设等比数列 为 的首项为q，公比为4,由已知4=4,%=32,可得a.q-4 f a.=2 .4”，解得。，所 以=

66、a0i=2q q =3 2 国=2(2)由(1)知6“=3 1 0 g 2%=3 1 0 g 2 2 =3，cn=3 n-2.-.7；,=3 X 2+6 X 22+9 X 23+L +3 n-22 7；,=3X22+6X23+9X24+L +3W-2M+1-得-Z,=3 x 2 +3X22+3X23+L+3X2 -3 n-2,+I=3 x(2 +22+23+L +2 )-3 小2 “=3X-3 n-2+l=3 x(2n+1-2 )-3/?-2n+l=3 x(l-n)-2,+l-6.7；=3(n-l)-2,+l+6【名师点睛】本题考查求等比数列的通项公式及数列求和，求数列和常用的方法:(1)等差+等比数列：分组求和法；(2)倒序相加法；(3)bn=-(数列%为等差数列)：裂项相消法；(4)等差x 等比数列：错位相减法.381 3.已知等差数列 ,的前项和为S“，且 S3=9,卬，%，%成等比数列.（1）求数列/的通项公式；（2）若a,H q （当 2 2 时），数列 J 满足bn=2,求数列 见2 的前项和7；.【试题来源】云南省禄劝彝族苗族自治县第一中学2020-2021学年高二年级上