_线性代数课后答案__胡显佑

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1、习题二（A）4 解: 1) 2) 上式表明:三个在2003年,2004年生产四种油品的总产量. 上式表明：三厂在2004年生产的四种与2003年相比的增加量. 3) 上式表明三厂在2003年、2004年生产四种油品的平均产量.7求所有与A可交换的矩阵：（1）；（2）.解：1) 设,则 XA=AX得 a =d b =0 2) 设,则 得 8设矩阵A与B可交换.证明：（1）；（2）.解：1) 2) 12解：1) 2) 总价值为1810,总重量为191.8,总体积为195613设A为n阵对称矩阵，k为常数.试证kA仍为对称矩阵.证明: 设,则 则kA为对称矩阵14（1）证明：对任意的mn矩阵A，AT

2、A和AAT都是对称矩阵.（2）证明；对任意的n阶矩阵A，A+AT为对称矩阵，而A-AT为反对称矩阵.解：1) 证明: 都是对称矩阵 2) 为对称矩阵 则为对称矩阵15设A、B是同阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.解：17设n阶矩阵A可逆，且detA=a，求，.解： 18 证明: 19已知n阶阵A满足.求证：A可逆，并求A-1。解： 20解：1) 21解： 22证明: 23 解：1) 2) 24 解：1) 2)25.解：1)2) 3)4)26 解：1) 27 解：1) 2) 28 解： 29 解： 30 解： （B）3设矩阵，求矩阵X，使得.解：detA=70 4 解：5设

3、A为n1矩阵，矩阵.试证B为对称矩阵.如果A=(1，-1，2)T，求B.解：证明则B为对称矩阵当A=(1，-1，2)T时6设A，B为同阶矩阵，且.证明A2+A当且仅当.证明：7 解：1）设则 tr(A)+tr(B)2）3）4）8设A为实对称矩阵，且A2=O，则A=O.证明：设其中，则9设A为奇数阶反对称矩阵，则.解：10设A、B、C为同阶矩阵，且C为非奇异矩阵，满足.求证：解：11已知A，B和A+B均为可逆矩阵，试证也可逆，并求其逆矩阵.可逆12证明：如果A是非奇异对称矩阵，则A-1也是对称矩阵.证明：A-1也是对称矩阵.13 解： 1） 2）反证，若A可逆，则detA=detE-detaaT

4、=1-detaaT=1-detaaT0即detaaT1与条件矛盾。14 证明：1）A+B=ABA-E-（AB-B）=-EA-E+（E-A）B=-EA-E）（E-B）=-E (A-E)(E-B)=-EA-E可逆2）当时，由得15设A，B，C均为n阶矩阵，如果.求证.解：16解：AXA+BXB=AXB+BXA+EAXA-AXB+BXB-BXA=E AX(A-B)+BX(B-A)=E AX-BX）（A-B）=E17 解：18 解：19解：1）2）习题三（A）1用消元法解下列线性方程组：解：.1) 2） 无解3)4)5）（,均为任意常数）6）2 解：1当a=-3时，无解2当a=2时，无穷多解 （c为任

5、意常数）3当a2且a2-3时，唯一解3 解：1当a时，唯一解2a=5，b-3时，无解3当a=5且b=-3无究多解 （c为任意常数）4解：时，方程组有非零解 （c为任意常数） 6.解： 则7 解：1)则2)则不能由线性表示3）则(c为任意常数)8 解：1当时，不能由线性表示2当且时，可由唯一性表示3当时，表示法不唯一9 解：1)无关2）33，相关3）无关10已知向量.试求a为何值时，向量线性相关？线性无关.解：1当即a=-2或a=3时，线性相关2当即a-2且a3时，线性无关11设线性无关，又.证明：向量组线性相关.解：设因为线性无关，则（c为任意常数）则线相关 12解：1）由得2）等价，因为和可

6、以互相线性表示13设n维向量组.试证：向量组与n维基本单位向量组等价.解：因又即和，可以互相线性相示，则它们等价.14证明：如果n维基本单位向量组可以由n维向量组线性表示，则向量组线性无关.解：因为，和可以相互相线性表示，则它们等价.所以，线性无关.15解：1)，为一个极大无关组，且2），为一个极大无关组，且=-3） ，为一个极大无相关组，且=5+2-2=-+16求下列向量组的秩：解：1)r(，,)=22)(，,)=317 解：1）三阶子式2）二阶子式18 解： 1)r=22）r=319解：设故它们为20 解：由线性无关()=3知线性相关,即可由线性表示()=4知线性无关则可由线性表示的秩为4

7、21 解：1) 基础解系:通解为2） 基础解系:通解为3） 基础解系:通解为4) 基础解系:通解为22 解：1） =c(-3,0,1,）T+(11,-4,1,0） T (c为任意常数）2）(c1,c2为任意常数）3） = c1(1,0,-1,1,0）T+ c 2(1,0,0,0,1）T+(0,0,2,0,0）T (c1, c 2任意常数）4） =c1(-2,1,1,0）T+ c 2(1,0,1,1）T+(3,0,1,0）T (c1, c 2任意常数）23 解： 当时，方程组有解X=+c (c为任意常数）24 解：方程组的全部解为K1+k2=l1+l2= (c为任意常数）且全部公共解为= (c为

8、任意常数）25 解：则则故方程组有解26 解：方程组只有一个基础解系又全部解为27设A为mn矩阵，B为ms矩阵.证明：AB=O的充分必要条件是B的每个列向量为齐次线性方程组AX=0的解. 解：设(）则(）=0 则等价于28设A为mn矩阵，且r(A)=rn.求证：存在秩为n-r的n(n-r)矩阵B，使得AB=O.解：设 为齐次方程组的一个基础解系令 (,）则 =0而 29设A为n阶矩阵，并且AO.求证：存在一个n阶矩阵BO使AB=O的充分必要条件是detA=0.解：存在一个阶矩阵，使30 证明：由习题结论论知1）证:将分块，设=其中 =. 则：由可设 考虑齐次线性方程组. 其中显然的解向量，所以

9、方程组的任一基础解系所含向量个数为.即又2）由上分析知从而（B）3 解：1当 为任意常数时， 不能由线性表示2当时, 能由线性表示=+ 3当时, 能由线性表示,表示式不唯一=+（+c）+4 解：设能由(）线性表示,则= （1）其中不全为0即则 （2）则(1）代入(2）得由(2）得即可由(）线性表示5 解：设,则又线性无关6 解：设 而则当线性无关;当线性无关7 解：设而线性无关,则则当s为奇数时,上述方程组有零解,线性无关当s为偶数时,上述方程组有非零解, 线性无关8 解：设取即存在一组不全为0的数,使线性无关9 解：当10 解：设则而线性表示,则又11解： 12 解： 当 当 则当 13 解

10、：设 则14 解： 15 解：）因（），（）同解，则16 解：因则又线性无关，则则17 解：18.解： 1）证明：设2）因习题四（A）1解：1）得2）得3） 4） 得 2 解：特征向量特征向量3 解：1）由已知，存在而2） 4 解：1）2）6 解：7 解：反证:设8 解：设BA9 解：设BA则10 解：AB11； 解：1）令2）当令3）当 4）A不可对角化12 解：13解：由题意知,为A、B共有特征值14证明：若A，B均为n阶矩阵，AB，则kAkB，ATBT.解：AB kB15证明：若A，B均为n阶可逆矩阵，且AB，则A-1B-1.解：AB 两边求逆16解：设 令则 17 解： 18.解：1)

11、 2) 3) 19.解：1) 单位化后 ,单位化后 ,单位化后 2) ,单位化后 ,单位化后 ,单位化后20 解：设,则由 得为上述方程组一个解,则 21证明：若Q为正交矩阵，则其行列式的值为1或-1.解：22证明：若Q为正交矩阵，则Q可逆且.解：23证明：如果正交矩阵有实特征值，则该特征值只能是1或-1.解：设为正交矩阵A的任一实特征值,对应的特征值向量为,则 即 24 解：A为正交矩阵 25 解：1) 2) 3) 4) 26 解：1) 设时对应特征特别向量,则 对应的特征向量 2) （B）3.解：由题意知,是A的特征向量 设,则 k=1或k=24 解：设为对应的特征向量,即 是的一特征值5

12、 解：1) ,则是1是A的特征值 2) ,则1是A的特征值6 解：由题4知,B的特征值为4, 2, 10,则7 解：,比较系数得 对应的特征向量为8解：1) 当 当时, 2) 令,则9 解：1) ,则 2) A的特征值,不妨设,则A 其中 3) A不可对角化10 解：令,由 得11 解： 当时, 当时, 当时, 令 , 则12 解： 则A的特征值为0或1相似13 解：则A的特征值为1或1则存在, 使14解：由知A的任一特征值为0,则A不能相似于对角矩阵15 解： 当时 当时 令, 则 16解： 则令, 为所求17解：1) 因, 则的特征向量为的一个极大无关组则,对应 2) 令 , 则 18解：

13、1) 2) 3) 19 解：1) , 即 习题四（A）1解：1）得2）得3） 4） 得 2 解：特征向量特征向量3 解：1）由已知，存在而2） 4 解：1）2）6 解：7 解：反证:设8 解：设BA9 解：设BA则10 解：AB11； 解：1）令2）当令3）当 4）A不可对角化12 解：13解：由题意知,为A、B共有特征值14证明：若A，B均为n阶矩阵，AB，则kAkB，ATBT.解：AB kB15证明：若A，B均为n阶可逆矩阵，且AB，则A-1B-1.解：AB 两边求逆16解：设 令则 17 解： 18.解：1) 2) 3) 19.解：1) 单位化后 ,单位化后 ,单位化后 2) ,单位化后

14、 ,单位化后 ,单位化后20 解：设,则由 得为上述方程组一个解,则 21证明：若Q为正交矩阵，则其行列式的值为1或-1.解：22证明：若Q为正交矩阵，则Q可逆且.解：23证明：如果正交矩阵有实特征值，则该特征值只能是1或-1.解：设为正交矩阵A的任一实特征值,对应的特征值向量为,则 即 24 解：A为正交矩阵 25 解：1) 2) 3) 4) 26 解：1) 设时对应特征特别向量,则 对应的特征向量 2) （B）3.解：由题意知,是A的特征向量 设,则 k=1或k=24 解：设为对应的特征向量,即 是的一特征值5 解：1) ,则是1是A的特征值 2) ,则1是A的特征值6 解：由题4知,B的特征值为4, 2, 10,则7 解：,比较系数得 对应的特征向量为8解：1) 当 当时, 2) 令,则9 解：1) ,则 2) A的特征值,不妨设,则A 其中 3) A不可对角化10 解：令,由 得11 解： 当时, 当时, 当时, 令 , 则12 解： 则A的特征值为0或1相似13 解：则A的特征值为1或1则存在, 使14解：由知A的任一特征值为0,则A不能相似于对角矩阵15 解： 当时 当时 令, 则 16解： 则令, 为所求17解：1) 因, 则的特征向量为的一个极大无关组则,对应 2) 令 , 则 18解：1) 2) 3) 19 解：1) , 即