古典概型与棋牌联系

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1、古典概型与棋牌联系三四百年前在欧洲的许多国家，贵族之间盛行赌博之风，而掷骰子是他们常 用的一种赌博方式。因为骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面 向上的可能性是相等的即出现1点到6点中任何一个点数的可能性是相等的。 有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，那么点数之和为9与点数之和为10， 哪种情况出现的可能性更大？由此，就产生了我们今天要讨论的古典概率问题。古典概率建立在一定的假设基础上：随机试验发生的结果是有限的、互不相 容的，我们称之为结果有限性；并且每个基本事件发生的可能性是相等的，我们 称之为等可能性。满足这样两个假设的随机试验，我们称之为古典概型。而古典 概率是指在某一古典

2、概型中，求解某一情况发生的概率的一类问题。我们把要求 解的情况记为事件A，而事件A发生的概率则记为P(A)，P(A)即为我们要求解 的概率。在玩扑克牌中有一种玩法我觉得很有规律性，也非常适合应用概率论来估算， 这种玩法叫扎金花或者叫开拖拉机”，就是给玩牌的人每人发三张扑克牌， 然后每个人根据自己的牌大小在互相不知道大小的情况下注，最后大者或者胆大 者获胜。牌的大小分为单牌、对子、顺子、金花、顺子金花、豹子。它们的意思 分别是单牌：数字没有相同的，花色至少两种；对子：数字有两个是相同的，花 色至少两种；顺子：三张牌的数字是连续的，花色至少两种；金花：数字没有相 同的，花色只有一种；顺子金花：三张

3、牌的数字是连续的，花色只有一种；豹子： 三张牌得数字一样，花色有三种(牌的数字是指从A、2、3、4、5、6、7、8、 9、10、J、Q、k)(牌的花色是指黑桃、红桃、方块和梅花四种，事件由一副牌发生，而且去掉了两个王只有52张牌)。现在就来分析这种古典型概率事件 的发生概率：、一副牌中摸到三张K的概率第一次摸牌是从52张牌中抽取黑桃、红桃、方块和梅花中的一张K,抽中 的概率是52分之4;第二次摸牌是从余下的51张牌中抽取余下的三张中的一 张K,发生的概率是51分之3 ；第三次摸牌是从余下的50张牌中抽取余下的两 张中的一张K，发生的概率是50 分之2。所以，一副牌中同时摸到三张K的概 率是它们

4、的积：(4/52 )x( 3/51 )x( 2/50 ) =24/132600二、一副牌中摸到豹子的概率由于摸到豹子K的概率已经算出是24/132600 ,那么摸到三张A(豹子A) 的概率也是24/132600 ,摸中2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q的概率都 是24/132600 ,也就是说摸中从A到K共13种牌型的总概率为它们之和。即 副牌中摸到豹子的概率是：13x( 4/52 )x( 3/51 )x( 2/50 ) =312/132600=1/425即就是说大约摸425次牌可以出现一次豹子。三、一副牌摸中全部是红桃(金花)的概率第一次摸牌是从52张牌中抽取13张红桃中的一张抽中

5、的概率是52 分之13 ；第二次摸牌是从余下的51张牌中抽取余下的12张红桃中的一张，发生的 概率是51 分之12 ；第三次摸牌是从余下的50张牌中抽取余下的11张红桃中 的一张，发生的概率是50 分之11。所以，一副牌中同时是红桃(金花)的概率 是它们的积：(13/52 )x( 12/51 )x( 11/50 ) =1716/132600即就是说大约摸78次牌可以出现红桃金花。四、一副牌摸中全部是金花的概率出现红桃金花的概率是1716/132600,同样的道理，出现黑桃、方块和梅 花金花的概率也是1716/132600。所以出现金花的概率是：4x( 13/52 )x( 12/51 )x( 1

6、1/50 ) =6864/132600所以，金花出现的概率大约是20次就出现一次金花，是豹子出现概率的22 倍。五、一副牌摸中顺子234的概率第一次摸牌是从52张牌中抽取黑桃、红桃、方块和梅花四张2中的一张， 抽中的概率是52分之4 ；第二次摸牌是从余下的51张牌中抽取黑桃、红桃、 方块和梅花四张3中的一张，发生的概率是51分之4;第三次摸牌是从余下的 50张牌中抽取黑桃、红桃、方块和梅花四张4中的一张，发生的概率是50分 之4。所以，一副牌是顺子234的概率是它们的积：(4/52 )x( 4/51 )x( 4/50 ) =64/132600即就是说大约摸2072次牌可以出现顺子234。六、一

7、副牌摸中顺子的概率由于摸中顺子234的概率是64/132600那么有多少顺子呢有A23、234、 345、456、567、678、789、8910、910J、10JQ、JQK,共是(13 减 3加1)种顺子，所以在以上计算的基础上乘11。所以，一副牌是顺子的概率是：11x( 4/52 )x( 4/51 )x( 4/50 ) =704/132600即就是说大约摸189次牌可以出现一次顺子。是金花出现概率的9分之一。七、一副牌摸中对子K的概率第一次摸牌是从52张牌中抽取黑桃、红桃、方块和梅花中的一张K,抽中 的概率是52分之4;第二次摸牌是从余下的51张牌中抽取余下的三张中的一 张K，发生的概率是

8、51分之3;第三次摸牌是从余下的50张牌中抽取余下50 张牌的除过K以外任意一张，发生的概率是50 分之48。所以，一副牌中同时 摸到对子K的概率是它们的积：(4/52 )x( 3/51 )x( 48/50 ) =576/132600八、一副牌摸中对子的概率由于摸到对子K的概率已经算出是576/132600 那么摸到对子A(豹子A ) 的概率也是 576/132600 ,摸中 2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q 对子的 概率都是576/132600,也就是说摸中从A到K共13种牌型的总概率为它们之 和。即一副牌中摸到对子的概率是：13x( 4/52 )x( 3/51 )x( 48/5

9、0 ) =7488/132600=1/18即就是说大约摸18次牌可以出现一次对子。九、出现金花顺子红桃234的概率是(1/52 )x( 1/51 )x( 1/50 ) =1/132600出现红桃 123 , 234,345,456,567,678,789,8910,910J , 10JQ ,JQK的概率是：11x( 1/52 )x( 1/51 )x( 1/50 ) =11/132600出现黑桃、红桃、方块和梅花123 , 234,345,456 , 567 , 678 , 789 ,8910 , 910J , 10JQ , JQK 的概率是：4x11x( 1/52 )x( 1/51 )x( 1

10、/50 ) =44/132600就是说每3014次才能摸到一次金花顺子。其他情况下就是摸到单牌的概率，通常情况下人们对此不感兴趣，所以不再 计算。综上所述，对子出现概率是1/18,金花出现的概率是1/20,顺子出现的概 率是1/189，豹子出现的概率是1/425，金花顺子出现的概率是1/3014。所以 金花顺子出现的概率最小。以上所讲简单易懂，对于初学者很好掌握，但是缺点是不够专业，而且计算 复杂麻烦，如果用这种方法计算别的概率问题很容易错误。所以有必要把以上概 率问题使用较为专业的术语和方法加以整理。首先一个问题：玩扑克牌是排列问题还是组合问题？从52张扑克中发给3 张牌，考虑不考虑这3张牌

11、的发牌顺序问题？例如发了个234，那么是2先发 的，还是4先发的？如果考虑发牌顺序，那么三张牌的顺序就是3x2x1种排列 （用3 !表示，读作3的阶乘，又叫全排列），就是排列问题，从52张扑克中 发给3张牌用P523表示，意思是52x51x50,用阶乘表示就是52的阶乘除以 52-3=49的阶乘，即52!49!通常情况下，人们对于发牌顺序不感兴趣，只对 是不是234感兴趣，所以不考虑发牌顺序问题，这个问题就是数学上的组合” 问题，组合问题一般用C表示，例如从52张牌中发取3张，它的可能性就是 C523，其实就是P523/3!即52 !（49!x3!）。通常情况下从M个总体中不 返回地抽取N个样

12、本进行排列用公式PMN表示，它就等于M !除以（M-N）! 如果从M个总体中不返回地抽取N个样本进行组合用公式CMN表示，它就等 于M!除以（M-N ）!再除以N !很显然组合并不考虑N个样本内部的顺序 问题，所以它比排列取得的数字小，但是得到的概率大。第二个问题，玩扑克牌是返回抽样还是不返回抽样？发牌的时候考虑不考虑 余下的牌的数量问题？实际上不管多少人玩扑克，发出去的扌卜克不再收回，发出 去的牌和留下的扌卜克的总数是52，这种发牌就是抽取样本的一种方式叫“不返 回抽样。只有不返回抽样的计算才能用到排列组合知识。如果不是不返回抽样， 就叫“返回抽样，例如给某个人算命抽签，当抽取64卦中的一个

13、签之后得到 卦辞，然后把签放回去再抽取，它得到的概率永远是1/64。返回抽样的计算方 式相对简单，不需要排列组合公式。我们在玩三叶牌的游戏时是典型的不返回 抽样。第三，玩扑克是典型的古典型概率问题。什么是古典型概率，古典概型具备 两个条件：1,样本空间的元素只有有限个，在扑克牌中样本数量为52;2,每 个基本事件出现的可能性是相等的，在扑克牌中抽取到某个扑克的概率都是一样 的。所以古典概型又叫等可能概型。由于在现实中遇到的概率问题中，样本的数 量往往是不确定的，每个基本事件出现的可能性是不相等的，所以大多数概率问 题不是古典概型。如果样本的数量往往是无限多的，每个基本事件出现的可能性 是相等的

14、，那么可以用几何的方法来计算其概率问题，可以称为几何分布。“自 有限总体的不还原抽样得到的一元离散型概率分布叫超几何分布，它们需要组 合公式来计算。扌卜克牌基本符合超几何分布，但是它是二元分布。第四，扑克牌中的概率问题是离散型概率还是连续型概率。离散型概率问题 是和连续型概率问题相对应的。常用的离散型概率概型（分布）有两点分布、二 项分布、超几何分布、泊松分布、几何分布。两点分布又称伯努利分布，在每次 试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的，是独立的，与其他各次试验结 果无关，结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为 伯努利试验。二项分布即重复n次的伯努利试验，它就是自有限总体的还原抽 样得到的一元离散型概率分布。“自有限总体的不还原抽样得到的一元离散型概 率分布叫超几何分布。泊松分布其实是二项分布在样本很大的情况下的一种理 论近似，它的参数入就是它的期望和方差，一般随机质点流符合泊松分布。附和 泊松分布的随机质点流也叫泊松随机质点流，也叫泊松流。例如把玩扑克的时候 黑桃K到某个人的手里的次数随着时间推移所形成的随机质点流可以认为是泊 松流。离散型概率的计算和连续性概率不同之处在于，离散型概率的计算可以用 枚举法来分析。在这里玩扑克的时候就是具体的枚举分析。