电磁场与电磁波(西电)第7章电磁波的辐射

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1、第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 7.1 滞后位7.2 电基本振子的辐射场7.3 对偶原理与磁基本振子的辐射场7.4 天线的电参数7.5 对称线天线和天线阵的概念7.6 面天线的辐射场 7.7 互易原理 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 7.1 滞 后 位 JAkA 22 22 k时谐场中，电荷源和电流源J之间以电流连续性方程 jJ 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 将与J联系起来，而标量位和矢量位A之间也存在一定的关系。这一关系就是洛仑兹条件，即式(5 - 77)： jA 电磁场与标量位和矢量位A之间的关系式为 Ak AjE AB 2 )( 第 七

2、章 电 磁 波 的 辐 射 7.1.1 亥姆霍兹积分及辐射条件 dSuwwudVuwwuV S )()( 22求式(5 - 79)中的标量位，并且导出辐射条件。格林定理中的u和w是任意标量函数，且要求u和w以及它们的一阶和二阶导数在V内连续。 容易验证标量函数 Re jkR 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 满足齐次亥姆霍兹方程 022 k令格林定理中的u代表标量位，即u=，满足式(5-79)，即 )()()( 22 rrkr 再令w=，且R=|r-r|，如图7 - 1所示。r是场点；r是源点， 亦即格林定理中的积分变点。 (7 - 6) 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 图 7 - 1

3、求解式(7 - 6)用图 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 于是积分在体积V1=V-V2及其表面S1=S+S2上进行： 21 )()( )()()()( 22 SSV dSnrnr dSnrnrdVrr 在S2上积分时，外法线方向指向小球球心P点于是 ； 面元dS=a2d，d是dS对P点所张的立体角元。这样， Rn / )(1)( )()( 22 222 danrReeRjkRr danrReReRrS aRjkRjkRS aRjkRjkR 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 令a0，小球面S2收缩成点P。考虑到 有限，上式中的积分只剩下被积函数是(r)e-jkR/R2的一项不等于零。此时小

4、球面S2上的（r)可以用小球球心处的(r)代替： R / )(4)()(lim 22 220 rdrdaRer SaRS jkRa )()(41 )(41)( dSReRrReRr dVeRrr S jkRjkRV jkR 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 矢量位A的每个直角坐标分量均可用形如上式的积分表示，于是 )()(41 )(4)( dSReRrAReRrA dVeRrJrA S jkRjkRV jkR dedejkRR jkRSjkRS 考虑无限空间的电磁问题时，取以R为半径的球面作为S，dS=R2d，式(7 - 8)中的面积分可以写成 (7 - 8)(7 - 10) 第 七 章 电

5、 磁 波 的 辐 射 而要排除在无限远处的场源(设无限远处的场源为零)， 就必须使上式为零。为此，要求R时， 有限值 RRlim 0lim jkRRR在这个限制条件下，式(7 - 10)的第二项积分等于零， 即要求在远离场源处标量位至少按R-1减少；第一项积分在满足 时也等于零。式(7 -11b)称为辐射条件。对于矢量位亦有类似条件。 (7-11b) 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 7.7.2 滞后位 标量位满足辐射条件式(7-11b)时，排除无限远处的场源，式(7-8)中的面积分一项为零，标量位(r)仅表示向外传播的电磁波，即 V jkR dVRerr )(41)( 如果我们把k=/v代

6、入上式，并重新引入时间因子ejt，则得 )(41),( dVeRrtr V vRtj 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 V jkRdVeRrJrA )(4)( 引入时间因子ejt后则有 V Rtj dVeRrJtrA )(4),( V dVRrr )(41)( V dVRrJrA )(4)( 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 7.2 电基本振子的辐射场 图 7 - 2 电流元与短对称振子 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 7.2.1 电基本振子的电磁场计算 图 7 - 3 电基本振子 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 取短导线的长度为dl，横截面积为S，因为短导线仅占有一个很小的体积d

7、V=dlS，故有 zz IdleSdleSIdVrJ )(又由于短导线放置在坐标原点，dl很小，因此可取r=0，从而有R=|r-r|r。 jkrzjkRl z eRIdleeRIdlerA 44)( sincos zzrrr AeAeAeAeAeA 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 0sincos sinsin11)( 2 zzr rAAr erreerArH 由此可解得 jkrr ekrkrjIdlkHHH 22 14sin00）（ 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 7.2.2 电基本振子的电磁场分析 1. 近区场 当kr1时，r1时，r/2，即场点P与源点距离r远大于波长的区域称为远区

8、。 在远区中， 32 )( 1)( 11 krkrkr 远区电磁场表达式简化为 jkrjkr jkrjkr erIdljerIdlkjE erIdljerIdlkjE sin24sin sin24 sin2 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 场的方向：电场只有E分量；磁场只有H分量。其复坡印廷矢量为 2* 2121*21 EeHEeHES rr 可见，E、H互相垂直，并都与传播方向er相垂直。因此电基本振子的远区场是横电磁波(TEM波)。 场的相位：无论E 或H，其空间相位因子都是-kr，即其空间相位随离源点的距离r增大而滞后，等相位面是r为常数的球面， 所以远区辐射场是球面波。由于等相位面

9、上任意点的E、H振幅不同，所以又是非均匀平面波。E/H=是一常数，等于媒质的波阻抗。 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 场的振幅：远区场的振幅与r成反比；与I、dl/成正比。值得注意，场的振幅与电长度dl/有关，而不是仅与几何尺寸dl有关。 场的方向性：远区场的振幅还正比于sin，在垂直于天线轴的方向(=90)，辐射场最大；沿着天线轴的方向(=0)， 辐射场为零。这说明电基本振子的辐射具有方向性， 这种方向性也是天线的一个主要特性。 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 如果以电基本振子天线为球心，用一个半径为r的球面把它包围起来，那么从电基本振子天线辐射出来的电磁能量必然全部通过这个球面，故

10、平均坡印廷矢量在此球面上的积分值就是电基本振子天线辐射出来的功率Pr。因为电基本振子天线在远区任一点的平均坡印廷矢量为 222 * sin2212121 21Re*21Re rIdleHeEe HEeHES rrr rav 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 所以辐射功率为 22 302 22020 23134222 sin222 sinsin221 IdlIdl dIdl ddrrIdldSSP S avr 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 以空气中的波阻抗 120000 22 240 IdlPr代入， 可得 式中I的单位为A(安培)且是复振幅值，辐射功率Pr的单位为W(瓦)，空气中的波长

11、0的单位为m(米)。 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 电基本振子幅射出去的电磁能量既然不能返回波源， 因此对波源而言也是一种损耗。利用电路理论的概念，引入一个等效电阻。 设此电阻消耗的功率等于辐射功率，则有 rr RIP 221式中Rr称为辐射电阻。 2 022 802 dlIPP rr 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 例7 - 1 已知电基本振子的辐射功率Pr， 求远区中任意点P(r, , )的电场强度的振幅值。 解： 利用 jmeIIk ,2远区辐射场的电场强度振幅为 sin2 00rdlIE mm 20 40/ rm PdlI rPE rm sin103 第 七 章 电 磁 波

12、的 辐 射 例7-2 计算长度dl=0.10的电基本振子当电流振幅值为2 mA时的辐射电阻和辐射功率。 解： 8957.7)1.0(8080 22202 dlRr辐射功率为 辐射电阻 WPIP rr 791.158957.7)102(2121 232 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 7.3 对偶原理与磁基本振子的辐射场 7.3.1 磁基本振子的辐射场 图 7 - 4 磁基本振子 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 l rrjkl jkR dlrreI dlReIrA |4 4)( | 上式的积分严格计算比较困难，但因r=ax, r0y，上式可以近似为 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 0

13、0 00 cossin )cossinsin(cossin )cossinsin()cos1(2 )cos1(2),( 0 )sincos(sin00 jkrS bb dyyxjkaajkrSP ekbkbkakarabEj edxreEjrE cossin )cossinsin(cossin )cossinsin()cos1(),( kbkbkakaF 当r0a、r0b时，可以近似取, 1/r1/r0。如果场点采用球坐标表示，即取x=r0sincos，y=r0sinsin，那么 由上式可知，均匀同相矩形口径场的方向性函数为 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 00 max 04 jkrSPP

14、 erabEjEE 2 2222200 0max 3224 SP EbaErP SabPPD 220 416 相等电场强度 最大辐射方向在=0处， 此时， 2 |44| 2 0Sav EababSP 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 7.7 互 易 定 理 )()()( BAABBA )()()( 211221 HEEHHE HjJHHjE , 假设空间区域V1中的电流源J1产生的电磁场为E1和H1，空间区域V2中的电流源J2产生的电磁场为E2和H2，两电流源振荡在同一频率上，且空间区域V1和V2及它们之外的空间区域V3中的媒质是线性的，根据矢量恒等式 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 2

15、12121 2211221 )()()( JEEEHHj EjJEHjHHE 121212 1122112 )()()( JEEEHHj EjJEHjHHE 21121221 )()( JEJEHEHE dVJEJEndSHEHE VS )()()( 21121221 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 0)()( 1221 ndSHEHES 1. 洛仑兹互易定理 设两个电流源J1和J2均在空间区域V外，则空间区域V内为无源空间，因而式(7 - 86)右端的体积分等于零，故其左边的封闭面积也等于零， 即 上式是洛仑兹互易定理的简化形式。 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 2. 卡森互易定理

16、图 7 - 16 卡森互易定理用图 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 321 0)()( 21122112 VVVV dVJEJEdVJEJE 0)( 2112 dVJEJEV 0)( 3 2112 dVJEJEV 即当两个电流源均在V时， 仍然有下式成立： 注意到空间区域V3为无源区，因此 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 dVJEdVJE VV 2112 21 dVJEdVJE VV 21121 dlEIdlEI llll 2112 2121 综上可见， 由卡森互易定理知， 两种情况下的源与场的关系为 当天线为细导线时，对于线电流，JdV=Idl，从而上式变为 第 七 章 电 磁 波

17、的 辐 射 2212121121221112 2121 dlEIdlEIdlEIdlEI llll 221112 UIUI 即 如果天线为理想导体，其上电场切向分量为零，则上式左边第二项积分和右边第一项积分为零；在l1上除输入端mn 处 外， 电场切向分量仍为零，在mn段有由天线2上电压U2产生的短路电流I2=I12。 因此上式左边应等于I12U1。同理，该式右边等于I 21U2。于是 mn UdlE 111 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 ),(),( 112121 发fKUYI 2112 YY 令天线1对天线2的互导纳为Y12=I12/U2，天线2对天线1的互导纳为Y21=I21/U1，则上式可写为 如果天线1用作发射天线，天线2用作接收天线，则当天线2在以天线1为中心的球面上移动时，天线2上测得的短路电流I21的大小应正比于天线1的发射方向性函数，于是 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射 ),(),( 221212 收fKUYI ),(),( 收发ff 同理，天线2用作发射天线，天线1用作接收天线时，天线1上测得的短路电流I12的大小应正比于天线1的接收方向性函数，于是 取U1=U2，则由上式可见 第 七 章 电 磁 波 的 辐 射