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1、大连协作体2010-2011学年度上学期竞赛题高二数学（理）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共计60分）1设集合S=x|x2-5|x|+6=0, T=x|(a-2)x=2, 则满足TS的a的值共有 ( ) A.5 B.4 C.3 D.22过点的直线将圆分成两段弧，当其中的优弧最长时，直线的方程是( )A B C D 3已知=(cos, sin), , ，若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB的面积等于（ ）A1BC2D4.函数的图象如右图所示，则函数的单调递减区间是( )A. B. C. D . 5已知则函数的最大值为（ ）A. 3 B. 6 C. 13 D. 22 6若为
2、奇函数, 且在0,为增函数, 则的一个值为( ) A. B. - C. D. - 7已知定义在R上的函数满足下列三个条件：对任意的xR都有；对于任意的，都有的图象关于y轴对称 则下列结论中正确的是 ( ) A B C D8若f(x)=|lgx|,当abf(c)f(b).则下列不等式中正确的为（ ）。A(a-1)(c-1)0 Bac1 Cac=1 Dac19设、是半径为的球面上的四点，且满足，则的最大值是( )A B C D10已知，满足时有恒成立，且与的大小为 ( ) A. B. C. D.大小不定11函数是定义在R上恒不为0的函数，对任意都有，若，则数列的前n项和Sn的取值范围是 （ ）A
3、B C D12函数的定义域为D，若对于任意x1，x2D，当x1x2时，都有， 则称函数在D上为非减函数设函数在0，1上为非减函数，且满足以下三个条件：； 则+等于（ ）ABC1D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分）13已知x, y满足, 若的最大值为, 最小值为, 则 的取值范围是_14关于函数有下列命题：函数的图象关于y轴对称 在上是增函数;在上是减函数 函数的最小值是 在上为增函数 无最大值,也无最小值 ,其中正确命题的序号是_15设有一组圆下列四个命题：存在一条定直线与所有的圆均相切存在一条定直线与所有的圆均相交存在一条定直线与所有的圆均不相交所有的圆均不经过原点其中真命题
4、的代号是（写出所有真命题的代号）16. 抛物线上不存在关于直线对称的两点，则的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（本小题满分10分）已知函数，（1）求的最大值和最小值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围18（本小题满分12分）已知函数.若为整数，且函数在内恰有一个零点，求的值.ABCDA1B1C1D1EF19（本小题满分12分）如图，在正方体中，、分别为棱、的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）如果，一个动点从点出发在正方体的表面上依次经过棱、上的点，最终又回到点，指出整个路线长度的最小值并说明理由.20已知椭
5、圆过点，且离心率e.（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。21（本小题满分12分）设函数的定义域为R，当时，且对任意实数，都有成立，数列满足且（1）求的值；（2）若不等式对一切均成立，求的最大值.22（本小题满分12分）对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，.（1）求证：；（2）若，且，求实数的取值范围； （3）若是上的单调递增函数，是函数的稳定点，问是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.大连协作体2010-2011学年度上学期竞赛题（理科数学）
6、参考答案一、选择题1, A 2, D 3, A 4, C 5, C 6，B7, A 8, D 9, A 10, B 11, C 12，C二、填空题13, -11 14, 15, ， 16, 三、解答题17，解：（） 又，即，5分（），且，即的取值范围是10分18解：（1）时，令得，所以在内没有零点；2分（2）时，由恒成立，知必有两个零点 5分若，解得；若，解得，所以 7分又因为函数在内恰有一个零点，所以即 10分解得 由 综上所述，所求整数的值为 12分19（1）证明:连结.在正方体中，对角线.又 E、F为棱AD、AB的中点， . . 2分又B1D1平面，平面， EF平面CB1D1. 4分（2
7、）证明: 在正方体中，AA1平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1， AA1B1D1.又在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1， B1D1平面CAA1C1. 6分又 B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1平面CB1D1 8分（3）最小值为 . 9分如图，将正方体六个面展开成平面图形， 10分从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为 . 12分.20解由题意椭圆的离心率 椭圆方程为2分又点在椭圆上 椭圆的方程为4分（）设 由消去并整理得6分直线与椭圆有两个交点，即8分又 中点的坐标为9分设的垂直平分线方程：在上 即11分将上式代入得 即或 的取值范围为21，解（1）令x=-1,y=0,得22解：（1）若，则显然成立；若，设，则，故. 3分（2）有实根，.又，所以，即的左边有因式，从而有. 5分，要么没有实根，要么实根是方程的根.若没有实根，则；若有实根且实根是方程的根，则由方程，得，代入，有.由此解得，再代入得，由此，故a的取值范围是. 8分（3）由题意：是函数的稳定点则，设，是上的单调增函数，则，所以，矛盾.若，是上的单调增函数，则，所以，矛盾，故，所以是函数的不动点. 12分
辽宁省大连协作体2012届高二数学上学期竞赛题 理
