医学统计课件人卫6版第十一章线性相关与回归

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1、第 十 一 章 直 线 相 关 与 回 归 线 性 相 关线 性 回 归 一 、 线 性 相 关 （ 一 ） 概 念 ： 如 果 两 个 随 机 变 量 中 ， 一 个 变 量 由小 到 大 变 化 时 ， 另 一 个 变 量 也 相 应 地 由 小 到 大(或 由 大 到 小 )地 变 化 ， 并 且 测 得 两 变 量 组 成 的 坐标 点 在 直 角 坐 标 系 中 呈 直 线 趋 势 ， 就 称 这 两 个变 量 存 在 直 线 相 关 关 系 。 o线 性 相 关 ， 直 线 相 关 (1inear correlation)又 称 简 单 相关 (simple correlation

2、)， 要 求 两 个 变 量 均 为 正 态 分 布(normal distribution)资 料 。 一 般 来 说 ， 两 个 变 量 都是 随 机 变 动 的 ， 不 分 主 次 ， 处 于 同 等 地 位 。 一 、 线 性 相 关 o两 变 量 间 的 直 线 相 关 关 系 用 相 关 系 数 r 描 述 。o直 线 相 关 的 性 质 可 由 散 点 图 直 观 地 说 明 。 o见 图 10-2 (a)0r1 (b)-1r0 (c)r =1 (d)r = -1 (e)r =0 (f)r =0 (g)r =0 (h)r =0图 10-2 相 关 系 数 示 意一 、 线 性 相

3、 关 一 、 线 性 相 关 （ 二 ） 相 关 系 数 的 意 义 及 计 算o用 r表 示 样 本 相 关 系 数 ， 表 示 总 体 相 关 系 数 。o它 是 说 明 有 直 线 关 系 的 两 变 量 间 ， 相 关 关 系 密切 程 度 和 相 关 方 向 的 统 计 指 标 。 o计 算 ： YYXXXYlllYYXX YYXXr 22 )()( )( 一 、 线 性 相 关 （ 二 ） 相 关 系 数 的 意 义 及 计 算o相 关 系 数 没 有 单 位 ， 其 值 -1 r 1。 当 两 变 量 呈同 向 变 化 时 ， 0r1， 为 正 相 关 ； 两 变 量 呈 反 向

4、变 化 ， -1 r 0， 为 负 相 关 ； r 0为 零 相 关 ， 表示 无 直 线 相 关 关 系 ； 两 变 量 呈 同 向 或 反 向 变 化 且点 子 分 布 在 一 条 直 线 上 ， |r| 1为 完 全 相 关 。o例 1 根 据 下 表 资 料 ， 试 计 算 8岁 健 康 男 孩 体 重 与心 脏 横 径 的 相 关 系 数 。 表 1. 13名 8岁 健 康 男 童 体 重 与 心 脏 横 径 的 关 系 编 号 体 重 (kg,X) 心 脏 横 径 (cm,Y)1 25.5 9.22 19.5 7.83 24.0 9.44 20.5 8.65 25.0 9.06 2

5、2.0 8.87 21.5 9.08 23.5 9.49 26.5 9.710 23.5 8.811 22.0 8.512 20.0 8.213 28.0 9.9 o已 算 得 ， lXX=80.2692,lYY=4.1923, lXY=16.3846 8932.01923.42692.80 3846.16 r 一 、 线 性 相 关 （ 三 ） 相 关 系 数 的 假 设 检 验相 关 系 数 r是 样 本 相 关 系 数 ， 它 只 是 总 体 相 关 系 数 的 估 计 值 。即 使 从 = 0的 总 体 作 随 机 抽 样 ， 由 于 抽 样 误 差的 影 响 ， 所 得 r 值 也

6、不 一 定 等 于 零 。 故 当 计 算 算 出 r 值 后 ， 接 着 应 做 = 0的 假 设 检 验 ，以 判 断 两 变 量 的 总 体 是 否 有 直 线 相 关 关 系 。 一 、 线 性 相 关 （ 三 ） 相 关 系 数 的 假 设 检 验 1.常 用 t 检 验 ： 假 设 H0 : = 0 H1: 0 05.0 2, 210 2 nn rrSrt r o已 知 n=13, r=0.8932 11213 ,587.62138932.01 8932.0 2 t 一 、 直 线 相 关 （ 三 ） 相 关 系 数 的 假 设 检 验 2.查 表 法 ： 按 查 P210 附 表

7、 11（ r界 值 表 ） 2 n 二 、 直 线 回 归（ 一 ） 直 线 回 归 的 概 念直 线 回 归 (linear regression)是 用 直 线 回 归 方 程 表示 两 个 数 量 变 量 间 依 存 关 系 的 统 计 分 析 方 法 ， 属双 变 量 分 析 的 范 畴 。如 果 某 一 个 变 量 随 着 另 一 个 变 量 的 变 化 而 变 化 ，并 且 它 们 的 变 化 在 直 角 坐 标 系 中 呈 直 线 趋 势 ， 就可 以 用 一 个 直 线 方 程 来 定 量 地 描 述 它 们 之 间 的 数量 依 存 关 系 ， 这 就 是 直 线 回 归 分

8、 析 。 二 、 直 线 回 归（ 一 ） 直 线 回 归 的 概 念直 线 回 归 分 析 中 两 个 变 量 的 地 位 不 同 ， 其中 一 个 变 量 是 依 赖 另 一 个 变 量 而 变 化 的 ，因 此 分 别 称 为 因 变 量 (dependent variable)和自 变 量 (independent variable)， 习 惯 上 分 别用 y和 x来 表 示 。 二 、 直 线 回 归（ 二 ） 直 线 回 归 分 析 的 应 用 条 件1.两 变 量 的 变 化 趋 势 呈 直 线 趋 势 (linear)；2.因 变 量 y属 于 正 态 随 机 变 量 (no

9、rmal distribution)；3.对 于 I型 回 归 要 求 对 于 每 个 选 定 的 x ， y都 有 一 个 正态 分 布 的 总 体 ， 并 且 这 些 总 体 的 方 差 都 相 等 (equal variance)； 对 于 II型 回 归 ， 要 求 x、 y均 服 从 正 态 分布 。 二 、 直 线 回 归（ 三 ） 直 线 回 归 分 析 的 一 般 步 骤 1.将 n个 观 察 单 位 的 变 量 对 (x， y)在 直 角 坐 标 系 中 绘制 散 点 图 ， 若 呈 直 线 趋 势 ， 则 可 拟 合 直 线 回 归 方 程 。2.求 回 归 方 程 的 回

10、 归 系 数 和 截 矩 。3.写 出 回 归 方 程 ， ， 画 出 回 归 直 线 。4.对 回 归 方 程 进 行 假 设 检 验 。 bXaY 二 、 直 线 回 归（ 四 ） 直 线 回 归 方 程 及 其 求 法 直 线 回 归 方 程其 中 b 称 为 回 归 系 数 (coefficient of regression)，含 义 为 当 x每 变 化 1个 单 位 时 ， 因 变 量 Y平 均 变化 的 单 数 ； a称 为 截 矩 (intercept)， 为 回 归 直 线或 其 延 长 线 与 y 轴 交 点 的 纵 坐 标 。直 线 回 归 方 程 的 求 法 : bX

11、aY 式 中 lxy为 X、 Y的 离 均 差 积 和 ， lxx为 X的 离 均 差 平 方 和 ；XXXYllXX YYXXb 2)( )( nXXlXX 22 )( n YXXYlXY )( XbYa 二 、 直 线 回 归（ 五 ） 直 线 回 归 方 程 的 假 设 检 验 回 归 系 数 的 检 验 亦 即 是 回 归 关 系 的 检 验 ， 又 称回 归 方 程 的 检 验 ， 其 目 的 是 检 验 求 得 的 回 归 方程 在 总 体 中 是 否 成 立 ， 即 是 否 样 本 代 表 的 总 体也 有 直 线 回 归 关 系 。 即 使 X、 Y的 总 体 回 归 系 数

12、为 零 ， 由 于 抽 样 误差 的 原 因 ， 其 样 本 回 归 系 数 b也 不 一 定 为 零 ，因 此 ， 需 作 是 否 为 零 的 假 设 检 验 。 二 、 直 线 回 归（ 五 ） 直 线 回 归 方 程 的 假 设 检 验 方 法 有 以 下 两 种 ：1.方 差 分 析 ： 基 本 思 想 是 将 应 变 量 Y的 总 变 异 SS总分 解 为 SS回 归 和 SS剩 余 ， 然 后 利 用 F检 验 来 判断 回 归 方 程 是 否 成 立 。 SS总 即 为 Y的 离 均 差 平 方 和 ， 反映 未 考 虑 X与 Y的 回 归 关 系 时 Y的 变 异 ， 其 意

13、义可 通 过 下 图 加 以 说 明 。 2)( YY P(X,Y) )( YY )( YY )( YY 图 1. 应 变 量 Y的 平 方 和 划 分 示 意 图Y XX Y 任 一 点 P的 纵 坐 标 被 回 归 直 线 与 均 数 截 成 三 段 Y 表 示 实 测 点 P与 回归 直 线 的 纵 向 距 离 ， 即 实际 值 Y与 估 计 值 之 差 ，称 为 剩 余 或 残 差 。)( YY Y 即 Y估 计 值 与均 数 之 差 ， 它 与 回 归 系数 的 大 小 有 关 。 |b|值 越 大 ， 也 越 大 ， 反 之 亦 然 。 当 b=0时 ， 回 归 直 线 不 能 使

14、 残 差减 小 。 )( Y Y Y)( YY SS总 = SS回 + SS剩 SS回 为 回 归 平 方 和 ， 它 反 映 在 Y的 总 变 异 中 由 于 X与 Y的直 线 关 系 而 使 Y变 异 减 小 的 部 分 ， 也 就 是 在 总 平 方 和 中可 以 用 X解 释 的 部 分 。 SS回 越 大 ， 说 明 回 归 效 果 越 好 ,即SS总 中 可 用 X与 Y线 性 关 系 解 释 的 变 异 越 多 。 SS剩 为 剩 余 平 方 和 ， 它 反 映 X对 Y的 线 性 影 响 之 外 的 一切 因 素 对 Y的 变 异 的 作 用 ， 也 就 是 在 总 平 方 和

15、 SS总 中 无法 用 X解 释 的 部 分 。 在 散 点 图 中 ， 各 实 测 点 离 回 归 直 线越 近 ， SS剩 也 就 越 小 ， 说 明 直 线 回 归 的 估 计 误 差 越 小 。 222 )()()( YYYYYY nYYYYSS 222 )()( 总 XXXYXY llblSS 2回SS剩 = SS总 - SS回 剩回剩剩 回回 MSMSSSSSF / 总 = 回 + 剩 总 = n-1, 回 = 1, 剩 = n-2 二 、 直 线 回 归（ 五 ） 直 线 回 归 方 程 的 假 设 检 验 2. t检 验 ： 作 b与 的 比 较 判 断 回 归 方 程 是 否

16、 成 立 。实 际 应 用 中 ， 由 于 相 关 系 数 的 检 验 简 单 并 与 之 等价 ,故 一 般 用 相 关 系 数 r的 检 验 来 代 替 回 归 系 数 b的检 验 。 2,0 nSbt b XXXYb lSS .22 )( 2. nSSn YYS XY 剩说 明 ： 两 种 检 验 方 法 是 等 价 的 ， F=t2 直 线 回 归 方 程 的 应 用 1.定 量 描 述 两 变 量 之 间 的 依 存 关 系 ： 对 回 归 系 数 b进 行 假 设 检 验 时 ， 若 , 可 认 为 两 变 量 间 存 在直 线 回 归 关 系 ， 则 直 线 回 归 方 程 即

17、为 两 个 变 量间 依 存 关 系 的 定 量 表 达 式 。2.利 用 回 归 方 程 进 行 预 测 ： 把 预 报 因 子 （ 即 自 变量 x） 代 入 回 归 方 程 对 预 报 量 （ 即 因 变 量 Y） 进行 估 计 ， 即 可 得 到 个 体 Y值 的 容 许 区 间 。3.利 用 回 归 方 程 进 行 统 计 控 制 ： 规 定 Y值 的 变 化 ，通 过 控 制 X的 范 围 来 实 现 统 计 控 制 的 目 标 ,所 以统 计 控 制 是 利 用 回 归 方 程 进 行 的 逆 估 计 。 P 应 用 直 线 相 关 和 回 归 应 注 意 的 问 题1.作 直

18、线 相 关 和 回 归 分 析 要 有 实 际 意 义 ；2.在 进 行 分 析 之 前 ， 应 先 绘 制 散 点 图 ， 当 其 分 布 有直 线 趋 势 时 ， 才 适 宜 作 直 线 相 关 回 归 分 析 。 散 点图 还 能 提 示 资 料 有 无 异 常 点 。3.两 变 量 间 存 在 直 线 相 关 关 系 ， 并 不 一 定 是 因 果 关系 ， 可 能 是 伴 随 关 系 ；4.直 线 回 归 方 程 的 适 用 范 围 一 般 以 自 变 量 的 取 值 范围 为 限 ， 在 此 范 围 内 求 出 的 估 计 值 称 内 插 ； 超 此范 围 所 得 称 外 延 。

19、若 无 充 分 理 由 应 避 免 外 延 。5.相 关 系 数 假 设 检 验 中 的 概 率 P的 大 小 只 反 映 结 论的 可 靠 性 ， 不 能 说 明 相 关 关 系 的 密 切 程 度 。 直 线 相 关 与 回 归 的 区 别 与 联 系 （ 一 ） 区 别1. 资 料 要 求 不 同 ： 相 关 要 求 两 个 变 量 是 双 变 量 正 态 分布 ； 回 归 要 求 应 变 量 Y服 从 正 态 分 布 ， 而 自 变 量 X是 能 精 确 测 量 和 严 格 控 制 的 变 量 。2. 统 计 意 义 不 同 ： 相 关 反 映 两 变 量 间 的 伴 随 关 系 这

20、种关 系 是 相 互 的 ， 对 等 的 ； 不 一 定 有 因 果 关 系 ； 回 归则 反 映 两 变 量 间 的 依 存 关 系 ， 有 自 变 量 与 应 变 量 之分 ， 一 般 将 “ 因 ” 或 较 易 测 定 、 变 异 较 小 者 定 为 自变 量 。 这 种 依 存 关 系 可 能 是 因 果 关 系 或 从 属 关 系 。3. 分 析 目 的 不 同 ： 相 关 分 析 的 目 的 是 把 两 变 量 间 直 线关 系 的 密 切 程 度 及 方 向 用 一 统 计 指 标 表 示 出 来 ； 回归 分 析 的 目 的 则 是 把 自 变 量 与 应 变 量 间 的 关

21、系 用 函数 公 式 定 量 表 达 出 来 。 直 线 相 关 与 回 归 的 区 别 与 联 系 （ 二 ） 联 系1.变 量 间 关 系 的 方 向 一 致 ： 对 同 一 资 料 ， 其 r与 b的 正负 号 一 致 。2.假 设 检 验 等 价 ： 对 同 一 样 本 ， t r = t b， 由 于 t b计 算较 复 杂 ， 实 际 中 常 以 r的 假 设 检 验 代 替 对 b的 检 验 。3.r与 b值 可 相 互 换 算4.用 回 归 解 释 相 关 ： 相 关 系 数 的 平 方 r2 称 为 决 定 系 数 XXYY YYXXYYXXXXXYYYXXXYllrb ll

22、blllllllr 总回SSSSl llll lr YY XXYYYXXXY /222r2 是 回 归 平 方 和 与 总 的 离 均 差 平 方 和 之 比 ， 故 回 归 平方 和 是 引 入 相 关 变 量 后 总 平 方 和 减 少 的 部 分 ,其 大 小 取决 于 r2。 回 归 平 方 和 越 接 近 总 平 方 和 ， 则 r2 越 接 近 1，说 明 引 入 相 关 的 效 果 越 好 ， 反 之 ， 则 说 明 引 入 相 关 的效 果 不 好 或 意 义 不 大 。 另 外 ， 也 可 从 回 归 的 角 度 对 相 关 程 度 做 进 一 步 的了 解 。 如 r = 0.5时 ， 虽 按 检 验 水 准 认 为 两 变 量 有 相 关 关系 （ r=0.5， n = 100时 ， t = 5.715， t0.05， 100 =1.984， P 0.05， 认 为 相 关 有 显 著 性 ） 且 相 关 较 密 切 ，但 r2 =0.25， 表 示 SS回 归 在 SS总 中 占 的 比 例 很 小 ，说 明 两 变 量 间 的 相 关 关 系 实 际 意 义 不 大 （ 即 回 归效 果 并 不 好 ） 。 讨 论 ： 单 项 选 择 题