矩阵的特征值和特征向量

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1、线性代数下页结束返回矩阵的特征值和特征向量 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望线性代数下页结束返回方程方程(l lE-A)X o的解都是特征值的解都是特征值l l的特征向量吗？的特征向量吗？定义定义1 设设A是是n阶方阵，如果存在数阶方阵，如果存在数l l和和n维维非零非零列向量列向量X满足满足 AX l lX，则称则称l l为为A的的特征值特征值，称向量称向量X为为A的对应于特征值的对应于特征值l l的的特征向量特征向量.|l lE-A|0 矩阵矩阵

2、 l lE-A 称为称为 A 的的特征矩阵特征矩阵；l l 的的 n 次多项式次多项式|l lE-A|称为称为 A 的的特征多项式特征多项式；方程方程|l lE-A|0 称称为为 A 的的特征方程特征方程.(l lE-A)X oAX l lX 注意注意：如果如果X是是A的对应于特征值的对应于特征值l l的特征向量，则的特征向量，则问题问题：特征值特征值l l的特征向量有多少？的特征向量有多少？怎样求矩阵的特征值和特征向量？怎样求矩阵的特征值和特征向量？l lX-AX o下页第第1 1节节 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 1.1 1.1 特征值特征向量的概念与计算特征值特征向量的概

3、念与计算 线性代数下页结束返回 方程方程|l lE-A|0 的每个根都是矩阵的每个根都是矩阵A的的特征值特征值.方程方程(l lE-A)X o的每个非零解都是的每个非零解都是l l对应的对应的特征向量特征向量.例例1求矩阵求矩阵A 的特征值与特征向量的特征值与特征向量.5-1 3 1 解：解：矩阵的特征方程为矩阵的特征方程为|l lE-A|-5l l+1 l-l-3-1 (l l-4)(l l+2)0，矩阵矩阵A的特征值为的特征值为 l l1 4，l l2-2.对于特征值对于特征值l l1 4，解齐，解齐次线性方程组次线性方程组(4 4E-A)X o，得其基础解系为得其基础解系为 ，11于是，

4、矩阵于是，矩阵A对应于对应于l l1 4的的全部特征向量为全部特征向量为(c1不为不为0).下页线性代数下页结束返回 例例1求矩阵求矩阵A 的特征值与特征向量的特征值与特征向量.5-1 3 1 解：解：矩阵的特征方程为矩阵的特征方程为|l lE-A|-5l l+1 l-l-3-1 (l l-4)(l l+2)0，矩阵矩阵A的特征值为的特征值为 l l1 4，l l2-2.对于特征值对于特征值l l2-2，解齐，解齐次线性方程组次线性方程组(-2E-A-A)X o，得其基础解系为得其基础解系为 ，1-5于是，矩阵于是，矩阵A对应于对应于l l2-2的全部特征向量为的全部特征向量为(c2不为不为0

5、).下页 方程方程|l lE-A|0 的每个根都是矩阵的每个根都是矩阵A的的特征值特征值.方程方程(l lE-A)X o的每个非零解都是的每个非零解都是l l对应的对应的特征向量特征向量.线性代数下页结束返回 解：解：矩阵的特征方程为矩阵的特征方程为|l lE-A|l l+1-1 4-1 0l-l-3 0l-l-2 0 (l l-2)(l l-1)2 0，矩阵矩阵A的特征值为的特征值为 l l1 l l2 1，l l3 2.对于特征值对于特征值l l1 l l2 1，解线性方程组解线性方程组(E-A)X o，例例2.求矩阵求矩阵A-1 1-4 1 0 3 0 2 0的特征值与特征向量的特征值与

6、特征向量.于是，于是，A的对应于的对应于l l1 l l2 1的全部特征向量为的全部特征向量为得其基础解系得其基础解系 ，12-1(c1不为不为0).下页线性代数下页结束返回 解：解：矩阵的特征方程为矩阵的特征方程为l l+1-1 0(l l-2)(l l-1)2 0，矩阵矩阵A的特征值为的特征值为 l l1 l l2 1，l l3 2.对于特征值对于特征值l l3 2，解线，解线性方程组性方程组(2E-A)X o，例例2.求矩阵求矩阵A-1 1-4 1 0 3 0 2 0的特征值与特征向量的特征值与特征向量.于是，于是，A的对应于的对应于l l3 2的全的全部特征向量为部特征向量为得其基础解

7、系得其基础解系 ，001|l lE-A|l l+1-1 4-1 0l-l-3 0l-l-2 0(c2不为不为0).下页线性代数下页结束返回例例3.求矩阵求矩阵A 1 6 3-3-6-5 3 4 3的特征值与特征向量的特征值与特征向量.|l lE-A|l l-1-6-3 3 6l l+5+5 -3l l-4-3 (l l+2+2)2(l l-4)-4)0，矩阵矩阵A的特征值为的特征值为 l l1 l l2-2,l l3 4.对于特征值对于特征值l l1 l l2-2,解线性方程组解线性方程组(-2E-A)X o,解：解：矩阵的特征方程为矩阵的特征方程为l l+2 0 0l l+2 3 6 l l

8、+5+5 -3l l-4-3 1 0 0 1 3 6 l l+5+5 -3l l-4-3=(l l+2)得其基础解系得其基础解系 及及 ，1 110-1011 110-101c1 +c2 于是，于是，A的对应于的对应于l l1 l l2-2的全部特征向量为的全部特征向量为(c1,c2不全为不全为0).下页线性代数下页结束返回 对于特征值对于特征值l l3 4，解，解线性方程组线性方程组(4 4E-A)X o，得其基础解系得其基础解系 ，112于是，于是，A的对应于的对应于l l3 4 4的全的全部特征向量为部特征向量为l l-1-6-3 3 6l l+5+5 -3l l-4-3 解：解：矩阵的

9、特征方程为矩阵的特征方程为(l l+2+2)2(l l-4)-4)0，矩阵矩阵A的特征值为的特征值为 l l1 l l2-2,l l3 4.|l lE-A|例例3.求矩阵求矩阵A 1 6 3-3-6-5 3 4 3的特征值与特征向量的特征值与特征向量.(c3不为不为0).下页线性代数下页结束返回例例4 4试证试证：n阶阶O矩阵的特征值为零矩阵的特征值为零.证：证：由由|l lE-O|l lE|=l ln 0，必有必有l l 0 .下页 例例5 5试试证证：n阶阶矩矩阵阵A是是奇奇异异矩矩阵阵（不不可可逆逆，秩秩亏亏）的的充充分必要条件是分必要条件是A有一个特征值为零有一个特征值为零.证：证：必

10、要性必要性.如果如果A是奇异矩阵，则是奇异矩阵，则|A|0.于是于是|0E-A|-A|(-1)n|A|0，即，即0是是A的一个特征值的一个特征值.充分性充分性.设设A有一个特征值为有一个特征值为0，对应的特征向量为，对应的特征向量为X1 .由由定义，有定义，有 AX1 0X1 o (X1 o)，所所以以齐齐次次线线性性方方程程组组AX o有有非非零零解解X1 ,由由此此可可知知|A|0，即即A为为奇异矩阵奇异矩阵.问题：问题：对角矩阵的特征值是什么？对角矩阵的特征值是什么？线性代数下页结束返回 性质性质1 设设X1,X2,Xm都是矩阵都是矩阵A的对应于特征值的对应于特征值l l的特征向量的特征

11、向量,如果它们的线性组合如果它们的线性组合 k1X1+k2X2+kmXmo,则则k1X1+k2X2+kmXm也是矩阵也是矩阵A的对应于特征值的对应于特征值l l的特征向量的特征向量 性质性质2 如果如果n 阶方阵阶方阵A的全部特征值的全部特征值为为l l1,l l2,l ln(k重特征值重特征值算作算作k个特征值个特征值)，则则 l l1+l l2+l ln=Tr(A);其中其中,Tr(A)=a11+a22+a33+ann,称为矩阵称为矩阵A的的迹迹.l l1l l2 l ln|A|下页1.2 1.2 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质 推论推论：n n阶方阵可逆的充分必要条件是阶方

12、阵可逆的充分必要条件是A A的特征值不等于零的特征值不等于零.线性代数下页结束返回 证明证明:由性质由性质2可知，若可知，若A是可逆矩阵，即是可逆矩阵，即|A|0，则，则A的的任一个特征值都不为零任一个特征值都不为零 若若X是是A的属于特征值的属于特征值l l的特征向量，则的特征向量，则 Al l，两端同乘两端同乘A-1,并整理得并整理得 A-1X=l l-1,即即l l-是是A-的特征值，的特征值，X也是也是A-的对应于的对应于l l-的特征向量的特征向量.性质性质3 设设l l是可逆方阵是可逆方阵A的一个特征值，的一个特征值，X是它对应的特征是它对应的特征向量，则向量，则l l0，l l-

13、1-1 是是A-1的一个特征值，且的一个特征值，且X也是也是A-1的对应的对应于于l l-1-1的特征向量的特征向量下页线性代数下页结束返回 性质性质4 设设l l是方阵是方阵A的一个特征值，的一个特征值，X为对应的特征向量，为对应的特征向量，m是是一个正整数，则一个正整数，则l lm是是Am的一个特征值，的一个特征值，X为对应的特征向量为对应的特征向量下页 证明证明:由于由于Al l，两端都左乘，两端都左乘A得得 A2l lA,把把Al l代入上式得代入上式得 A2l l(l l)l l2 2，依次类推可得依次类推可得 Aml lm，即即l lm是是Am一个特征值，一个特征值，为对应的特征向

14、量为对应的特征向量线性代数下页结束返回 即即,若若f(x)是一个多项式，则是一个多项式，则f(l l)是是f(A)的特征值的特征值下页 推论推论 设设l l是方阵是方阵A的一个特征值，则的一个特征值，则是矩阵是矩阵的一个特征值的一个特征值(m为正整数为正整数)，X为对应的特征向量为对应的特征向量.特别，若特别，若则必有，则必有，性质性质4 设设l l是方阵是方阵A的一个特征值，的一个特征值，X为对应的特征向量，为对应的特征向量，m是是一个正整数，则一个正整数，则l lm是是Am的一个特征值，的一个特征值，X为对应的特征向量为对应的特征向量线性代数下页结束返回 性性质质5 n阶阶矩矩阵阵A互互不

15、不相相同同的的特特征征值值l l1，l l2，l lm，对对应应的的特征向量特征向量X1，X2，Xm线性无关线性无关下页 性质性质6 设设A为为n阶矩阵阶矩阵，则则A与与AT有相同的特征值有相同的特征值即即A与与AT 有相同的特征多项式有相同的特征多项式，|(l lE-A)|，|(l lE-A)T|l lE-AT|由由(l lE-A)T l lE-AT 有有证明：证明：所以它们的特征值相同所以它们的特征值相同线性代数下页结束返回 证明证明:因为因为A2=A，所以所以A2-A=o,设设A的特征值为的特征值为l l，则由性质，则由性质4之推论可得之推论可得l l 2-l l=0，解得解得，l l

16、10，l l 21.证毕证毕.例例7.设设3阶矩阵阶矩阵A的三个特征值分别为的三个特征值分别为l l1 11,l1,l2 2 0,l,l3 3 -1,1,求矩求矩阵阵B A2+3A+2E的特征值的特征值.下页例例6.设设n阶矩阵阶矩阵A满足满足A2=A，证明证明A有特征值为有特征值为0或或1.解：解：令令B=f(A)=A2+3A+2E，则由性质则由性质4之推论可知之推论可知f(l l)是是f(A)的特征值的特征值，从而得矩阵从而得矩阵B的三个特征值分别为：的三个特征值分别为：线性代数下页结束返回 已知三阶方阵已知三阶方阵A的三个特征值为，的三个特征值为，-，则，则|A|（），），A-的特征值为

17、（的特征值为（），），AT的特征值为（的特征值为（），），A2+2A+E的特征值为（的特征值为（）设设Ak=0，k是正整数，则是正整数，则A必有必有一一特征值为（特征值为（）若若A2A，则，则A的特征值为（的特征值为（）设设A是是3阶方阵，已知方阵阶方阵，已知方阵E-A，E+A，3E-A都不可逆，都不可逆，则则A的特征值为（的特征值为（）已知三阶矩阵已知三阶矩阵A的特征值为，的特征值为，-，则则A-5E（）-6,-1/2,1/3,-,4,1,1600,11,-1,3-72下页练习题练习题线性代数下页结束返回 性性质质5 n阶阶矩矩阵阵A互互不不相相同同的的特特征征值值l l1，l l2，l l

18、m，对对应应的的特征向量特征向量X1，X2，Xm线性无关线性无关 性质性质7 7 矩阵矩阵A的的m个不同的特征值所对应的个不同的特征值所对应的m组线性组线性无关的特征向量组并在一起仍然是线性无关的。无关的特征向量组并在一起仍然是线性无关的。性质性质8 8 设设0是是n阶方阵阶方阵A的一个的一个 t 重特征值，则重特征值，则0对应对应的特征向量集合中线性无关的向量个数不超过的特征向量集合中线性无关的向量个数不超过 t.补充性质补充性质下页线性代数下页结束返回下页线性代数下页结束返回-54+14-3-1其基础解系为其基础解系为 11(1)对于矩阵对于矩阵A 及特征值及特征值l l1 4，解齐次线性

19、方解齐次线性方 5-1 3 1程组程组(l lE-A)X O 4E-A 因为特征矩阵因为特征矩阵-551-1001-1，所以齐次线性方程组所以齐次线性方程组(4E-A)X O的一般解为的一般解为x1 x2，返回线性代数下页结束返回-5-2+1-2-3-1其基础解系为其基础解系为 1-5(2)对于矩阵对于矩阵A 及特征值及特征值l l2-2，解齐次线性方解齐次线性方 5-1 3 1程组程组(l lE-A)X O-2E-A 因为特征矩阵因为特征矩阵-5-1-5-10 05 1，所以齐次线性方程组所以齐次线性方程组(-2E-A)X O的一般解为的一般解为5x1-x2，返回线性代数下页结束返回-1 1

20、-4 1 0 3 0 2 0(3)对于矩阵对于矩阵 A 及特征值及特征值l l 1，解齐次线性方，解齐次线性方程组程组(l lE-A)X O 因为特征矩阵因为特征矩阵E-A所以齐次线性方程组所以齐次线性方程组(E-A)X O的一般解为的一般解为1+1-1 4-1 01-3 01-2 02-1 4-1 0-2 0-1 010 00 01 10 2，基础解系为基础解系为 12-1x1-x3x2-2x3返回线性代数下页结束返回-1 1-4 1 0 3 0 2 0(4)对于矩阵对于矩阵 A 及特征值及特征值l l 2，解齐次线性方，解齐次线性方程组程组(l lE-A)X O 因为特征矩阵因为特征矩阵2

21、E-A所以齐次线性方程组所以齐次线性方程组(2E-A)X O的一般解为的一般解为 2+1-1 4-1 02-3 02-2 03-1 4-1 0-1 0 0 010 00 01 00 0，基础解系为基础解系为 001x10 x20返回为什么为什么?线性代数下页结束返回(5)对于矩阵对于矩阵 A 及特征值及特征值l l1 1 -2,解齐次线性方解齐次线性方 1 6 3-3-6-5 3 4 3程组程组(l lE-A)X O 因为特征矩阵因为特征矩阵-2E-A10 0-1 00 100，-2-1-6-3 3 6-2+5 -3-2-4 -3-3-6-3 3 63 -3-6-3所以齐次线性方程组所以齐次线性方程组(-2E-A)X O的一般解为的一般解为x1 x2-x3，基础解系为基础解系为 ，110-101返回线性代数下页结束返回 因为特征矩阵因为特征矩阵4E-A10 00 01-1/20-1/2，4-1-6-3 3 6 4+5 -34-4 -3 3-6-3 3 69 -30 -3所以齐次线性方程组所以齐次线性方程组(-2E-A)X O的一般解为的一般解为x1(1/2)x3x2(1/2)x3基础解系为基础解系为 112(6)对于矩阵对于矩阵 A 及特征值及特征值l l2 2 4,解齐次线性方解齐次线性方 1 6 3-3-6-5 3 4 3程组程组(l lE-A)X O 返回