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1、线 性 代 数 课 件 hty 1 1.4 行列式的展开 线 性 代 数 课 件 hty 2,312213332112322311 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 例 如 3223332211 aaaaa 3321312312 aaaaa 3122322113 aaaaa 3331 2321133331 2321123332 232211 aa aaaaa aaaaa aaa 一、余子式与代数余子式 线 性 代 数 课 件 hty 3 在 阶 行 列 式 中 ， 把 元 素 所 在
2、的 第 行 和 第 列 划 去 后 ， 留 下 来 的 阶 行 列 式 叫 做 元 素 的 余 子 式 ， 记 作n ija i j1n ija.Mij ，记 ijjiij MA 1 叫 做 元 素 的 代 数 余 子 式 ija例 如 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaaD 444241 343231 14121123 aaa aaa aaaM 233223 1 MA .23M 线 性 代 数 课 件 hty 4 ,44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa a
3、aaaD ,444341 343331 24232112 aaa aaa aaaM 122112 1 MA .12M ,333231 232221 13121144 aaa aaa aaaM .1 44444444 MMA .个 代 数 余 子 式 对 应 着 一 个 余 子 式 和 一行 列 式 的 每 个 元 素 分 别 线 性 代 数 课 件 hty 5 引 理 一 个 阶 行 列 式 ， 如 果 其 中 第 行 所 有元 素 除 外 都 为 零 ， 那 末 这 行 列 式 等 于 与 它的 代 数 余 子 式 的 乘 积 ， 即 ijij AaD n iija ija44434241
4、33 24232221 14131211 000 aaaa a aaaa aaaaD .1 444241 242221 1412113333 aaa aaa aaaa例 如 线 性 代 数 课 件 hty 6 定 理 行 列 式 等 于 它 的 任 一 行 （ 列 ） 的 各 元素 与 其 对 应 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 ， 即ininiiii AaAaAaD 2211 ni ,2,1 证 nnnn inii naaa aaa aaaD 21 21 11211 000000 二、行列式按行（列）展开法则 线 性 代 数 课 件 hty 7nnnn i naaaa aaa 211
5、 11211 00 nnnn i naaa a aaa 21 2 11211 00nnnn innaaa aaaa 21 11211 00 ininiiii AaAaAa 2211 ni ,2,1 线 性 代 数 课 件 hty 8 例 1 3351 1102 4315 2113 D 0355 0100 13111 1115 31 2 cc 34 cc 线 性 代 数 课 件 hty 9 055 1111 115)1( 33 055 026 115 55 26)1( 31 50 28 .4012 rr 线 性 代 数 课 件 hty 10 证 用 数 学 归 纳 法212 11 xxD 12
6、xx ,)(12 ji ji xx） 式 成 立 时 （当 12 n 例 2 证 明 范 德 蒙 德 (Vandermonde)行 列 式 111211 22221 21 ).(111 jin jinnnn nnn xxxxx xxx xxxD )1( 线 性 代 数 课 件 hty 11 ，阶 范 德 蒙 德 行 列 式 成 立） 对 于假 设 （ 11 n )()()(0 )()()(00 1111 1213231222 1133122 11312 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxD nnnnn nn nn 就 有 提 出 ，因 子列 展 开 ， 并 把 每 列 的 公
7、按 第 )(1 1xxi 线 性 代 数 课 件 hty 12)()()( 211312 jjin inn xxxxxxxxD ).(1 jjin i xx 22322 3211312 111)()( nnnn nn xxx xxxxxxxxx n-1阶 范 德 蒙 德 行 列 式 线 性 代 数 课 件 hty 13 推 论 行 列 式 任 一 行 （ 列 ） 的 元 素 与 另 一 行（ 列 ） 的 对 应 元 素 的 代 数 余 子 式 乘 积 之 和 等 于零 ， 即 .ji,AaAaAa jninjiji 02211 , 111 11111 nnn jnj ini njnjnjj a
8、a aa aa aaAaAa 证 行 展 开 ， 有按 第把 行 列 式 jaD ij )det( 线 性 代 数 课 件 hty 14 ,111 11111 nnn ini ini njninji aa aa aa aaAaAa 可 得换 成把 ),1( nkaa ikjk 行第 j 行第 i,时当 ji ).(,02211 jiAaAaAa jninjiji 同 理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji 相 同 线 性 代 数 课 件 hty 15 关 于 代 数 余 子 式 的 重 要 性 质 ;,0 ,1 ji jiDDAa ijnk kjki 当当 ;,0 ,1 j
9、i jiDDAa ijnk jkik 当当 .,0,1 ji jiij 当 ，当其 中 线 性 代 数 课 件 hty 16 例 计 算 行 列 式 277 010 353 D解 27 013D .27按 第 一 行 展 开 ， 得 27 005 77 103 线 性 代 数 课 件 hty 1705320 04140 01320 25271 02135 D例 计 算 行 列 式解 05320 04140 01320 25271 02135 D 线 性 代 数 课 件 hty 18660 270 13210 66 27210 .1080124220 532 414 13252 5320 414
10、0 1320 213521 52 13 rr 12 2 rr 线 性 代 数 课 件 hty 19 1. 行 列 式 按 行 （ 列 ） 展 开 法 则 是 把 高 阶 行列 式 的 计 算 化 为 低 阶 行 列 式 计 算 的 重 要 工 具 . ;,0 ,.2 1 ji jiDDAa ijnk kjki 当当 ;,0 ,1 ji jiDDAa ijnk jkik 当当 .,0,1 ji jiij 当 ，当其 中三、小结 线 性 代 数 课 件 hty 20 思 考 题 1阶 行 列 式设 n nnDn 001 0301 0021 321求 第 一 行 各 元 素 的 代 数 余 子 式 之 和.11211 nAAA 线 性 代 数 课 件 hty 21 思 考 题 解 答解 第 一 行 各 元 素 的 代 数 余 子 式 之 和 可 以 表 示 成nAAA 11211 n 001 0301 0021 1111 .11! 2 nj jn 线 性 代 数 课 件 hty 22 思 考 题 2 *X Y计 算 外 积 1 2 31 2 3i j kx x xy y y
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