高级统计学1多元正态分布课件

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1、第一章第一章 多元正态分布多元正态分布 目录 上页 下页 返回 结束 1.1 多元分布的基本概念多元分布的基本概念1.2 统计距离统计距离1.3 多元正态分布多元正态分布1.4 均值向量和协方差阵的估计均值向量和协方差阵的估计1.5 常用分布及抽样分布常用分布及抽样分布1第一章第一章 多元正态分布多元正态分布一元正态分布在统计学的理论和实际应用中都有着重要的地位。同样，在多变量统计学中，多元正态分布也占有相当重要的位置。原因是：许多随机向量确实遵从正态分布，或近似遵从正态分布；对于多元正态分布，已有一整套统计推断方法，并且得到了许多完整的结果。目录 上页 下页 返回 结束 2第一章第一章 多元

2、正态分布多元正态分布 多元正态分布是最常用的一种多元多元正态分布是最常用的一种多元概率分布。除此之外，还有多元对数正概率分布。除此之外，还有多元对数正态分布，多项式分布，多元超几何分布，态分布，多项式分布，多元超几何分布，多元多元 分布、多元分布、多元 分布、多元指数分布、多元指数分布等。分布等。本章从多维变量及多元分布的基本本章从多维变量及多元分布的基本概念开始，着重介绍多元正态分布的定概念开始，着重介绍多元正态分布的定义及一些重要性质。义及一些重要性质。目录 上页 下页 返回 结束 3第一章第一章 多元正态分布多元正态分布1.多元分布的基本概念多元分布的基本概念2.统计距离统计距离3.多元

3、正态分布多元正态分布4.均值向量和协方差阵的估计均值向量和协方差阵的估计5.常用分布及抽样分布常用分布及抽样分布 目录 上页 下页 返回 结束 41.11.1多元分布的基本概念多元分布的基本概念 目录 上页 下页 返回 结束 1.1.1 随机向量随机向量1.1.2 分布函数与密度函数分布函数与密度函数1.1.3 多元变量的独立性多元变量的独立性1.1.4 随机向量的数字特征随机向量的数字特征51.1.1 1.1.1 随机向量随机向量 表示对同一个体观测的表示对同一个体观测的 个变量。若观测了个变量。若观测了 个个体，则可得到如下表个个体，则可得到如下表1-11-1的数据，称每一个个的数据，称每

4、一个个体的体的 个变量为一个样品，而全体个变量为一个样品，而全体 个样品形成一个样品形成一个样本。个样本。假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数假定所讨论的是多个变量的总体，所研究的数据是同时观测据是同时观测 个指标（即变量），又进行了个指标（即变量），又进行了 次次观测得到的，把这观测得到的，把这 个指标表示为个指标表示为 常常用向量用向量 目录 上页 下页 返回 结束 6记记它表示第它表示第个样品的观测值。竖看表个样品的观测值。竖看表1-1,第第j列的元素列的元素表示对第表示对第j个变量个变量Xj的的n次观测数值。次观测数值。n 21 变量变量序号序号 目录 上页 下页 返回 结束 1.

5、1.1 1.1.1 随机向量随机向量7因此因此,样本资料矩阵可用矩阵语言表示为样本资料矩阵可用矩阵语言表示为:定义定义1.11.1 设设 为为 个随机变量，由它们组成个随机变量，由它们组成的向量的向量 称为随机向量。称为随机向量。目录 上页 下页 返回 结束 1.1.1 1.1.1 随机向量随机向量若无特别说明，本书所称向量均指列向量若无特别说明，本书所称向量均指列向量8 定义定义1.21.2 设设 是一随机向量，它的是一随机向量，它的多元分布函数是多元分布函数是 式中，式中，,并记成并记成 。1.1.21.1.2 分布函数与密度函数分布函数与密度函数 描述随机变量的最基本工具是分布函数，类似

6、地描述描述随机变量的最基本工具是分布函数，类似地描述随机向量的最基本工具还是分布函数。随机向量的最基本工具还是分布函数。目录 上页 下页 返回 结束 91.1.21.1.2 分布函数与密度函数分布函数与密度函数 目录 上页 下页 返回 结束 定义1.3：设 =,若存在一个非负的函数 ,使得 对一切对一切 成立，则称成立，则称 （或（或 ）有分布）有分布密度密度 并称并称 为连续型随机向量。为连续型随机向量。一个一个 维变量的函数维变量的函数 能作为能作为 中某个随机向量中某个随机向量的分布密度，当且仅当的分布密度，当且仅当101.1.31.1.3 多元变量的独立性多元变量的独立性 目录 上页

7、下页 返回 结束 定义定义1.4：两个随机向量：两个随机向量X和和Y称为是相互独立的，若称为是相互独立的，若 对一切对一切 成立。成立。注意注意:在上述定义中，在上述定义中，和和 的维数一般是不同的。的维数一般是不同的。（1）若）若F(x,y)为为(X,Y)的联合分布函数，的联合分布函数，G(x)和和H(y)分别分别为为X和和Y的分布函数，则的分布函数，则X与与Y独立当且仅当独立当且仅当（2）若）若(X,Y)有密度有密度f(x,y)，用，用g(x)和和h(y)分别表示分别表示X和和Y的分布密度，则的分布密度，则X和和Y独立当且仅当独立当且仅当111.1.4 1.1.4 随机向量的数字特征随机向

8、量的数字特征是一个是一个 维向量，称为均值向量维向量，称为均值向量.目录 上页 下页 返回 结束 当当A、B为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：为常数矩阵时，由定义可立即推出如下性质：1 1、随机向量、随机向量 的均值的均值 设设 有有 个分量。若个分量。若 存在，存在，定义随机向量定义随机向量 的均值为的均值为)(PPm)()6.1)()(2121X=XEXEXEEmm121.1.4 1.1.4 随机向量的数字特征随机向量的数字特征 目录 上页 下页 返回 结束 2、随机向量随机向量X的的协方差阵协方差阵 称它为p维随机向量X的协方差阵，简称为X的协方差阵。称|cov(X,X)|为X的广

9、义方差，它是协差阵的行列式之值。13 目录 上页 下页 返回 结束 1.1.4 1.1.4 随机向量的数字特征随机向量的数字特征3 3、随机向量、随机向量X 和和Y 的的协差阵协差阵 设设 分别为分别为 维和维和 维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个维随机向量，它们之间的协方差阵定义为一个 矩矩阵，其元素是阵，其元素是 ，即即 当当A、B为常数矩阵时，由定义可推出协差阵有如下性质：为常数矩阵时，由定义可推出协差阵有如下性质：14 目录 上页 下页 返回 结束 1.1.4 1.1.4 随机向量的数字特征随机向量的数字特征（3）设）设X为为n维随机向量，期望和协方差存在，记维随机向量，期望和协

10、方差存在，记 则则 对于任何随机向量对于任何随机向量 来说，来说，其协差阵其协差阵都是对称阵，同时总是非负定（也称半都是对称阵，同时总是非负定（也称半正定）的。大多数情形下是正定的。正定）的。大多数情形下是正定的。15 目录 上页 下页 返回 结束 1.1.4 1.1.4 随机向量的数字特征随机向量的数字特征 若随机向量 的协差阵存在,且每个分量的方差大于零，则X的相关阵定义为:rij也称为分量Xi与Xj之间的（线性）相关系数。4、随机向量、随机向量X 的相关阵的相关阵16 在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同在数据处理时，为了克服由于指标的量纲不同对统计分析结果带来的影响，往往在使用某种

11、统计对统计分析结果带来的影响，往往在使用某种统计分析方法之前，常需将每个指标分析方法之前，常需将每个指标“标准化标准化”，即做，即做如下变换如下变换 目录 上页 下页 返回 结束 1.1.4 1.1.4 随机向量的数字特征随机向量的数字特征171.2 1.2 统计距离和马氏距离统计距离和马氏距离 目录 上页 下页 返回 结束 1.欧氏距离欧氏距离2.马氏距离马氏距离181.2 1.2 统计距离和马氏距离统计距离和马氏距离1.欧氏距离欧氏距离 在多指标统计分析中,距离的概念十分重要,样品间的不少特征都可用距离去描述。大部分多元方法是建立在简单的距离概念基础上的。即平时人们熟悉的欧氏距离,或称直线

12、距离.如几何平面上的点P=(x1,x2)到原点O=(0,0)O=(0,0)的欧氏距离,依勾股定理有 目录 上页 下页 返回 结束 191.2 1.2 统计距离和马氏距离统计距离和马氏距离 但就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。目录 上页 下页 返回 结束 这里因为，每个坐标对欧氏距离的贡献是同等这里因为，每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。当坐标轴表示测量值时，它们往往带有大小不的。当坐标轴表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的办法是对坐等的随机波动，在这种情况下，合理的办法是对坐标加权，使得变化较大的坐标比变化小的坐标有较标加权，使得变化较大的坐标比变化

13、小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。小的权系数，这就产生了各种距离。欧氏距离还有一个缺点，这就是当各个分量为欧氏距离还有一个缺点，这就是当各个分量为不同性质的量时，不同性质的量时，“距离距离”的大小竟然与指标的单的大小竟然与指标的单位有关。位有关。201.2 1.2 统计距离和马氏距离统计距离和马氏距离 目录 上页 下页 返回 结束 例如，横轴x1代表重量（以kg为单位），纵轴x2 代表长度（以cm为单位）。有四个点A、B、C、D见图1.1，它们的坐标如图1.1所示这时显然AB比CD要长。211.2 1.2 统计距离和马氏距离统计距离和马氏距离 目录 上页 下页 返回 结束 现在，如果

14、x2用mm作单位，x1单位保持不变，此时A坐标为（0，50），C坐标为（0，100），则结果CD反而比AB长！这显然是不够合理的。221.2 1.2 统计距离和马氏距离统计距离和马氏距离 目录 上页 下页 返回 结束 因此，有必要建立一种距离，这种距离要能因此，有必要建立一种距离，这种距离要能够够体现各个变量在变差大小上的不同，以及有时体现各个变量在变差大小上的不同，以及有时存在着的相关性存在着的相关性，还，还要求要求距离与各变量所用的单距离与各变量所用的单位无关。看来我们选择的距离要依赖于样本方差位无关。看来我们选择的距离要依赖于样本方差和协方差。和协方差。因此，采用“统计距离”这个术语，以

15、区别通常习惯用的欧氏距离。最常用的一种统计距离是印度统计学家马哈拉诺比斯（Mahalanobis）于1936年引入的距离，称为“马氏距离”。231.2 1.2 统计距离和马氏距离统计距离和马氏距离 目录 上页 下页 返回 结束 下面先用一个一维的例子说明欧氏距离与马氏距离在概率上的差异。设有两个一维正态总体 。若有一个样品，其值在A处，A点距离哪个总体近些呢？图1-2241.2 1.2 统计距离和马氏距离统计距离和马氏距离 目录 上页 下页 返回 结束 由图由图1-2可看出可看出,从绝对长度来看从绝对长度来看,A点距左面总体点距左面总体G1近些近些,即即A点到点到1比比A点到点到2要要“近一些

16、近一些”（这里用的是欧氏距离，（这里用的是欧氏距离，比较的是比较的是A点坐标与点坐标与1到到2值之差的绝对值），值之差的绝对值），但从概率观点来看，但从概率观点来看，A点在点在1右侧约右侧约41处，处，A点在点在2的左侧约的左侧约32处，若处，若以标准差的观点来衡量，以标准差的观点来衡量，A点离点离2比比A点离点离1要要“近一些近一些”。显然，后者是从概率角度上来考虑的，因而更为合理显然，后者是从概率角度上来考虑的，因而更为合理些，它是用坐标差平方除以方差（或说乘以方差的倒数），些，它是用坐标差平方除以方差（或说乘以方差的倒数），从而化为无量纲数，推广到多维就要乘以协方差阵从而化为无量纲数，推

17、广到多维就要乘以协方差阵的逆的逆矩阵矩阵-1，这就是马氏距离的概念，以后将会看到，这一距，这就是马氏距离的概念，以后将会看到，这一距离在多元分析中起着十分重要的作用。离在多元分析中起着十分重要的作用。251.2 1.2 统计距离和马氏距离统计距离和马氏距离2.马氏距离马氏距离 设X、Y从均值向量为从均值向量为，协方差阵为，协方差阵为的总体的总体G中抽取的两个样品。)()(),(1/2YXYXYX-=-dm )()(),(1/2XXX-=-Gdm 目录 上页 下页 返回 结束 定义X、Y两点之间的马氏距离为两点之间的马氏距离为:定义X与总体与总体G的马氏距离为的马氏距离为:261.2 1.2 统

18、计距离和马氏距离统计距离和马氏距离 设设E表示一个点集，表示一个点集，d表示距离，它表示距离，它EE 是到是到0,)的的函数，可以证明函数，可以证明,马氏距离符合如下距离的四条基本公理马氏距离符合如下距离的四条基本公理:；（1 1），（2 2）当且仅当当且仅当 ；（3 3）（4 4）目录 上页 下页 返回 结束 27 1.3 1.3 多元正态分布多元正态分布 多元正态分布是一元正态分布的推广。多元正态分布是一元正态分布的推广。迄今为止迄今为止,多元分析的主要理论都是建立在多元分析的主要理论都是建立在多元正态总体基础上的多元正态总体基础上的,多元正态分布是多元分多元正态分布是多元分析的基础。另一

19、方面，许多实际问题的分布常是析的基础。另一方面，许多实际问题的分布常是多元正态分布或近似正态分布，或虽本身不是正多元正态分布或近似正态分布，或虽本身不是正态分布，但它的样本均值近似于多元正态分布。态分布，但它的样本均值近似于多元正态分布。本节将介绍多元正态分布的定义，并简要给本节将介绍多元正态分布的定义，并简要给出它的基本性质。出它的基本性质。目录 上页 下页 返回 结束 28 1.3 1.3 多元正态分布多元正态分布 目录 上页 下页 返回 结束 1.3.1多元正态分布的定义多元正态分布的定义1.3.2多元正态分布的性质多元正态分布的性质1.3.3条件分布和独立性条件分布和独立性291.3.

20、1 1.3.1 多元正态分布的定义多元正态分布的定义|为协差阵为协差阵的行列式。的行列式。目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1.5：若：若p元随机向量元随机向量 的概率密度函数为：的概率密度函数为：则称则称 遵从遵从p元正态分布，也称元正态分布，也称X为为p元元正态变量。记为正态变量。记为30 定理定理1.1将正态分布的参数将正态分布的参数和和赋于了明确的赋于了明确的统计意义。统计意义。多元正态分布不止定义多元正态分布不止定义1.5一种形式，更广泛一种形式，更广泛地可采用特征函数来定义，也可用一切线性组合地可采用特征函数来定义，也可用一切线性组合均为正态的性质来定义等，有关这些定义的方式均

21、为正态的性质来定义等，有关这些定义的方式参见文献参见文献3。目录 上页 下页 返回 结束 1.3.1 1.3.1 多元正态分布的定义多元正态分布的定义定理定理1.11.1：设：设 ,则则 311.3.2 1.3.2 多元正态分布的性质多元正态分布的性质 目录 上页 下页 返回 结束 1.若正态随机向量若正态随机向量 的协方差阵的协方差阵是对是对角阵角阵,则则X的各分量是相互独立的随机变量。的各分量是相互独立的随机变量。容易验证，容易验证，但显然，但显然 不是正态分布。不是正态分布。2.多元正态分布随机向量多元正态分布随机向量X的任何一个分量子集的的任何一个分量子集的分布（称为分布（称为X的边缘

22、分布）仍然遵从正态分布。而反的边缘分布）仍然遵从正态分布。而反之则不一定成立，即若一个随机向量的任何边缘分布之则不一定成立，即若一个随机向量的任何边缘分布均为正态，并不能导出它是多元正态分布。均为正态，并不能导出它是多元正态分布。例如，设例如，设 有分布密度有分布密度32 1.3.2 1.3.2 多元正态分布的性质多元正态分布的性质 目录 上页 下页 返回 结束 3.多元正态向量多元正态向量X=（X1,X2,Xp)的任意线性变换的任意线性变换仍然遵从多元正态分布。仍然遵从多元正态分布。1.若设若设XNp(,)，而，而m维随机向量维随机向量Zm1=AX+b，2.其中其中A=(aij)是是mp 阶

23、的常数矩阵，阶的常数矩阵，b是是m维的常向维的常向量。量。1.那么，那么，m维随机向量维随机向量Z也是正态的，且也是正态的，且 ZNm(A+b,AA)。即即Z遵从遵从m元正态分布。元正态分布。33第一次结束第一次结束344.若若XNp(,)，则，则 d2若为定值，随着若为定值，随着X的变化的变化,其轨迹为一椭球面，其轨迹为一椭球面，是是X的密度函数的等值面。若的密度函数的等值面。若X给定，则给定，则d2为为X到到的的马氏距离。马氏距离。1.3.2 多元正态分布的性质多元正态分布的性质35 1.3.3 1.3.3 条件分布和独立性条件分布和独立性 目录 上页 下页 返回 结束 其中，其中，X(1

24、)，(1)为为q1，11为为qq.设设 ,p2,将将X、和和剖分如下：剖分如下：我们希望求给定我们希望求给定X(2)时时X(1)的条件分布，即的条件分布，即(X(1)|X(2)的分布。下一个定理指出：的分布。下一个定理指出：正态分布的正态分布的条件分布仍为正态分布。条件分布仍为正态分布。36 目录 上页 下页 返回 结束 1.3.3 1.3.3 条件分布和独立性条件分布和独立性定理定理1.2：设：设 ，0，则，则其中其中37 目录 上页 下页 返回 结束 1.3.3 1.3.3 条件分布和独立性条件分布和独立性定理定理1.3：设：设 ，0，将，将X，剖分如下：剖分如下：则则 有如下的条件均值和

25、条件协差阵的递推公式：有如下的条件均值和条件协差阵的递推公式：其中，其中，38定理定理1.2和定理和定理1.3在在20世纪世纪70年代中期为国家标准部门年代中期为国家标准部门制定服装标准时有成功的应用，见参考文献制定服装标准时有成功的应用，见参考文献3。在制。在制定服装标准时需抽样进行人体测量，现从某年龄段女定服装标准时需抽样进行人体测量，现从某年龄段女子测量取出部分结果如下：子测量取出部分结果如下：X1：身高，：身高，X2：胸围，：胸围，X3：腰围，：腰围，X4：上体长，：上体长，X5：臀围，已知它们遵从：臀围，已知它们遵从N5(,)，其中，其中 服装标准例子39服装标准例子40服装标准例子

26、41再利用（再利用（1.30）式得）式得 服装标准例子42这说明,若已知一个人的上体的长和臀围,则身高、胸围和腰围的条件方差比原来的方差大大缩小。此时我们可看到此时我们可看到 服装标准例子43 在定理在定理1.2中，我们给出了对中，我们给出了对X、和和作形如作形如(1.25)式剖式剖分时条件协差阵分时条件协差阵 的表达式及其与非条件协差阵的关系，的表达式及其与非条件协差阵的关系，令令 表示表示 的元素，则可以定义偏相关系数的概的元素，则可以定义偏相关系数的概念：念：定义定义1.6：当：当 给定时，给定时，与与 的偏相关系数为：的偏相关系数为：目录 上页 下页 返回 结束 1.3.3 条件分布和

27、独立性条件分布和独立性44 1.3.3 条件分布和独立性条件分布和独立性在上面制定服装标准的例子中，给定在上面制定服装标准的例子中，给定X4和和X5时，时，偏相关系数为：偏相关系数为：45 目录 上页 下页 返回 结束 1.3.3 1.3.3 条件分布和独立性条件分布和独立性其中，其中，证明参见文献3.定理定理1.4：设：设 ，0，将，将X，剖分如下：剖分如下：461.4 均值向量和协方差阵的估计均值向量和协方差阵的估计 上节已经给出了多元正态分布的定上节已经给出了多元正态分布的定义和有关的性质义和有关的性质,在实际问题中在实际问题中,通常可通常可以假定被研究的对象是多元正态分布以假定被研究的

28、对象是多元正态分布,但但分布中的参数分布中的参数和和是未知的是未知的,一般一般的做法是通过样本来估计。的做法是通过样本来估计。目录 上页 下页 返回 结束 471 1.4 .4 均值向量和协方差阵的估计均值向量和协方差阵的估计1.1.均值向量的估计均值向量的估计 在一般情况下在一般情况下,如果样本资料阵为：如果样本资料阵为：目录 上页 下页 返回 结束 481 1.4 .4 均值向量和协方差阵的估计均值向量和协方差阵的估计即均值向量即均值向量的估计量的估计量,就是样本均值向量就是样本均值向量.这可由极大这可由极大似然法推导出来。推导过程参见文献似然法推导出来。推导过程参见文献3。目录 上页 下

29、页 返回 结束 设样品设样品 相互独立相互独立,同遵从于同遵从于p元正态分元正态分布布 ,而且而且 ,0,0,则总体参数均值则总体参数均值的估计的估计量是量是491 1.4 .4 均值向量和协方差阵的估计均值向量和协方差阵的估计2.2.协方差阵的估计协方差阵的估计总体参数协差阵总体参数协差阵的极大似然估计是的极大似然估计是 目录 上页 下页 返回 结束 501 1.4 .4 均值向量和协方差阵的估计均值向量和协方差阵的估计 目录 上页 下页 返回 结束 这里这里L是离差阵，它是每一个样品（向量）与是离差阵，它是每一个样品（向量）与样本均值（向量）的离差积形成的样本均值（向量）的离差积形成的n个

30、个 阶对阶对称阵的和。称阵的和。但但 不是不是的无偏估计，为了得到无偏估计的无偏估计，为了得到无偏估计我们常用样本协差阵我们常用样本协差阵 作为总体协差阵作为总体协差阵的估计。的估计。511.5常用分布及抽样分布常用分布及抽样分布 多元统计研究的是多指标问题，为了了解总体的特征，多元统计研究的是多指标问题，为了了解总体的特征，通过对总体抽样得到代表总体的样本，但因为信息是分散通过对总体抽样得到代表总体的样本，但因为信息是分散在每个样本上的，就需要对样本进行加工，把样本的信息在每个样本上的，就需要对样本进行加工，把样本的信息浓缩到浓缩到不包含未知量的样本函数中不包含未知量的样本函数中，这个函数称

31、为统计量这个函数称为统计量，如前面介绍的样本均值向量如前面介绍的样本均值向量 、样本离差阵、样本离差阵 等都是统计等都是统计量。量。统计量的分布称为抽样分布统计量的分布称为抽样分布.在数理统计中常用的抽样分布有在数理统计中常用的抽样分布有 分布、分布、分布分布和和 分布分布.在多元统计中在多元统计中,与之对应的分布分别为与之对应的分布分别为WishartWishart分布、分布、分布和分布和WilksWilks分布分布.目录 上页 下页 返回 结束 521 1.5.5常用分布及抽样分布常用分布及抽样分布1.5.2 分布与分布与 分布分布1.5.1 分布与分布与Wishart分布分布1.5.3

32、中心分布与中心分布与Wilks分布分布 目录 上页 下页 返回 结束 531.5.1 分布与分布与Wishart分布分布 在数理统计中在数理统计中,若若 (),(),且相互独立且相互独立,则则 所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 的的 分布分布(chi squared(chi squared distribution),distribution),记为记为 .目录 上页 下页 返回 结束 541.5.1 分布与分布与Wishart分布分布分布的概率密度：分布的概率密度：551.5.1 分布与分布与Wishart分布分布分布有几个重要的性质分布有几个重要的性质:1 1、若、若 ,且相互

33、独立且相互独立,则则称为相互独立称为相互独立 的的具有可加性.56 4.4.设设 (),(),且相互独立且相互独立,为为 个个 阶对称阵阶对称阵,且且 (阶单位阵阶单位阵),),记记 ,则则 为相互独立的为相互独立的 分布的充要条件分布的充要条件为为 .此时此时 ,.,.这个性质称为Cochran定理,在方差分析和回归分析中起着重要作用.目录 上页 下页 返回 结束 1.5.1 分布与分布与Wishart分布分布57 (1.32)(1.32)定义定义1.71.7 设设 相互独立相互独立,且且 ,记记 ,则随机矩阵：则随机矩阵：所服从的分布称为自由度为所服从的分布称为自由度为 的的 维非中心维非

34、中心WishartWishart分布分布,记为记为 ,其中,目录 上页 下页 返回 结束 1.5.1 分布与分布与Wishart分布分布称 为非中心参数,当 时称为中心Wishart分布,记为58 由由WishartWishart分布的定义知分布的定义知,当当 时时,退化为退化为 ,此时中此时中心心WishartWishart分布就退化为分布就退化为 ,由此可以看出由此可以看出,Wishart,Wishart分布分布实际上是实际上是 分布在多维正态情形下的推广分布在多维正态情形下的推广.下面不加证明的给出下面不加证明的给出WishartWishart分布的分布的5 5条重要性质条重要性质:个随

35、机样本个随机样本,为样本均值为样本均值,样本离差阵为样本离差阵为维正态总体维正态总体1.1.若若 是从是从中抽取的中抽取的 ，则，则.相互独立相互独立.和和(1)(1)(2)(2),目录 上页 下页 返回 结束 1.5.1 分布与分布与Wishart分布分布593.3.若若,为非奇异阵为非奇异阵,则则,为任一为任一4.4.若若元常向量元常向量,满足满足则则 目录 上页 下页 返回 结束 1.5.1 分布与分布与Wishart分布分布2.2.若若 且相互独立且相互独立,则则60特别的特别的,设设 和和 分别为分别为 和和 的第的第 个对角元个对角元,则：则：5.5.若若 ,为任一为任一 元非零常

36、向量元非零常向量,比值比值 目录 上页 下页 返回 结束 1.5.1 分布与分布与Wishart分布分布611.5.2 1.5.2 分布与分布与 分布分布 在数理统计中在数理统计中,若若XN(0,1),Y 2(n),且且X与与Y相互独相互独立立,则称则称 服从自由度为服从自由度为n的的t分布分布,又称为学生又称为学生分布分布(student distribution),记为记为T t(n).目录 上页 下页 返回 结束 如果将如果将T平方平方,即即 ,则则T2F(1,n),即即t(n)分布的平分布的平方服从第一自由度为方服从第一自由度为1第二自由度为第二自由度为F的中心分布的中心分布.62中心

37、中心 分布可化为中心分布可化为中心 分布分布,其关系为其关系为:显然显然,当当 时时,有有 .定义定义1.81.8 设设 ,与与相互独立相互独立,则称随机变量则称随机变量 (1.33)所服从的分布称为第一自由度为所服从的分布称为第一自由度为 第二自由度为第二自由度为 的中心的中心 分布分布,记为记为 目录 上页 下页 返回 结束 1.5.2 1.5.2 分布与分布与 分布分布631.5.3 1.5.3 中心分布与中心分布与WilksWilks分布分布 在数理统计中在数理统计中,若若X 2(m),Y 2(n),且与相互独且与相互独立立,则称则称 所服从的分布为第一自由度为所服从的分布为第一自由度

38、为m,第二自由度为第二自由度为n的的中心中心F分布分布.记为记为FF(m,n).F分布本质上是从正态总体分布本质上是从正态总体N(,2)随机抽取随机抽取的两个样本方差的比的两个样本方差的比.目录 上页 下页 返回 结束 64 所服从的分布称为维数为所服从的分布称为维数为 ,第一自由度为第一自由度为 第二第二自由度为自由度为 的的Wilks Wilks 分布分布,记为记为 (1.34)定义定义1.91.9 设设 ,且且 与与 相互独立相互独立,则称随机变量则称随机变量 目录 上页 下页 返回 结束 1.5.3 1.5.3 中心分布与中心分布与WilksWilks分布分布65 目录 上页 下页 返回 结束 66