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1、定积分的概念定积分的概念94715abxyo思考？思考？曲边梯形的面积曲边梯形的面积所围成所围成求曲边梯形面积的数学模型求曲边梯形面积的数学模型:求由曲线求由曲线直线直线X X轴围成的面积轴围成的面积S.S.(1)(1)在在内任意取内任意取n-1n-1个分点个分点(2)(2)在每个小区间上任取一点在每个小区间上任取一点则有则有其中其中(3)(3)当无限细分时当无限细分时,上述和式的极限就是所求的面积上述和式的极限就是所求的面积.2.2.变力作功变力作功物体在常力物体在常力F F的作用下的作用下,将其沿直线从将其沿直线从移到移到F F所作的功为所作的功为:若若F F为变力为变力:(1)(1)把把
2、任意分为任意分为n n个小段个小段:(2)(2)在在上任取一点上任取一点物体从物体从移到移到时时作的功作的功近似为近似为(3)(3)物体从物体从移到移到时时作的功近似为作的功近似为:当无限细分时当无限细分时,上述和式的极限就是所求的功上述和式的极限就是所求的功.由曲线由曲线直线直线及及X X轴围成的面积轴围成的面积S S为和式为和式(其中其中当无限细分时的极限当无限细分时的极限.变力变力F(x)F(x)将物体其沿直线从将物体其沿直线从 移到移到所作的功所作的功W W为和式为和式(其中其中当无限细分时的极限当无限细分时的极限.不同的问题不同的问题,有相同的数学结构有相同的数学结构(数学模型数学模
3、型)!)!定积分的定义定积分的定义定义定义记为记为被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和注注：例例3 3 求求解解:作作上的分割上的分割并取并取则有则有所以所以3.3.定积分的几何意义定积分的几何意义设设为为上连续函数上连续函数.(1)(1)当当时时,为曲线为曲线围成的面积围成的面积.(2)(2)当当时时,为曲线为曲线围成的面积的相反数围成的面积的相反数(负面积负面积).).(3)(3)一般情形一般情形:为曲线为曲线在在x x轴上方的正面积与轴上方的正面积与在在x x轴下方的负面积的代数和轴下方的负面积的代数和.例例4 4 求定积分求定积分:提示提示:图图4_14_1图图4_24_2解解:(1)(1)因因故故为由曲线为由曲线所围平面的面积所围平面的面积,为圆为圆所围平面面积的四分之一所围平面面积的四分之一,故故例例4 4 求不定积分求不定积分:提示提示:图图4_14_1图图4_24_2解解:(2)(2)图像如图图像如图4_24_2所示所示.计算两个面积差即可计算两个面积差即可得所求积分得所求积分:五、性质五、性质1 1、2 2、3 3、
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