概率论与数理统计PPT课件第五章大数定律及中心极限定理

《概率论与数理统计PPT课件第五章大数定律及中心极限定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计PPT课件第五章大数定律及中心极限定理（36页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 概 率 论 与 数 理 统 计 是 研 究 随 机 现 象统 计 规 律 性 的 学 科 . 随 机 现 象 的 规 律 性只 有 在 相 同 的 条 件 下 进 行 大 量 重 复 试 验时 才 会 呈 现 出 来 .也 就 是 说 ， 要 从 随 机现 象 中 去 寻 求 必 然 的 法 则 ， 应 该 研 究 大量 随 机 现 象 . 第 五 章 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 大 量 的 随 机 现 象 中 平 均 结 果 的 稳 定 性 大 数 律 的 客 观 背 景大 量 抛 掷 硬 币正 面 出 现 频 率 研 究 大 量 的 随 机 现 象 ， 常 常 采 用极

2、限 形 式 ， 由 此 导 致 对 极 限 定 理 进 行研 究 . 极 限 定 理 的 内 容 很 广 泛 ， 其 中最 重 要 的 有 两 种 :与大 数 定 律 中 心 极 限 定 理下 面 先 介 绍 大 数 定 律 下 面 的 大 数 定 律 将 (2.1)进 行 了 推 广 .是 n次 试 验 中 的 成 功 次 数 .n 1 2 nS X X X 则 j 1 jX 0, j ， 当 第 次 试 验 成 功 ， 当 第 次 试 验 不 成 功 。在 n次 独 立 重 复 试 验 中 , 引 入由 概 率 的 频 率 定 义 知 道 , 对 于 成 功 的 频 率n nX S /n

3、n 1 1nlimX P X 1 EX 2.1 （ ） （ ）,有 5.2 大 数 律 称 随 机 变 量 的 序 列为 随 机 序 列 (random sequence). n 1 2 ， ，其 含 义 是 n很 大 时 , 与 有 非 零 差 距 的 可 能 性很 小 。 n lim | | 0nn P ，则 称 序 列 依 概 率 收 敛 于 . 记 为 n n p 定 义 2.1 设 是 随 机 序 列 ， 是 随 机 变 量 ，如 果 对 任 意 的 0， 有 n n 11X p (2.5n ii Xn ） 设 随 机 序 列 独 立 同 分 布 ，并 且 有 限 ， 则 有 定 理

4、 2.1 nX1EX通 常 把 类 似 于 2.5的 结 论 称 为 弱 大 数 律(weak law of large numbers). 由 切 比 雪 夫 不 等 式 得 ： 2211| | 0,n iiP X nn n 证 明 ： 例 1（ 接 4.1 的 例 1.4 )在 赌 对 子 时 , 甲 每 次 下 注 100元 . 如 果 他 连 续下 注 n次 , 证 明 他 的 盈 利 Sn满 足 nP (S 18n) 1. 18 18 0.6 n n nS n X X 证 明 ： 用 Xi表 示 甲 第 i次 下 注 的 盈 利 , 则X1,X2, Xn独 立 同 分 布 . 由 4

5、.1的 例 1.4知 =EXi=-18.6, Sn=X1+X2+Xn. 利 用 | |0.6nX 和 定 理 2.1得 到 , n 时 ， 12Var(X ) 0.0.6n P(Sn 18n) P(| | 0.6)nX于 是 ，P(Sn 18n) = 1 P(Sn 18n) 1. 说 明 下 注 的 次 数 n越 多 , 至 少 输 18n元 的 概 率越 大 。 设 是 随 机 序 列 ， 是 随 机 变 量 ， 定 义 2.2 n如 果 lim 1nnP ，则 称 序 列 以 概 率 1收 敛 于 . 记 为 n ,n wp1 或 a.s.。 类 似 于 (2.6)的 结 果 称 为 强

6、大 数 律 (strong law of large numbers). 从 强 大 数 律 结 论 (2.6)知 道 概 率 的 频 率 定 义 是 合 理 的 。定 理 2.3 如 果 wp1. 则,n .n p 强 大 数 律 结 论 比 弱 大 数 律 结 论 要 强 : 设 随 机 序 列 独 立 同 分 布 ，并 且 ， 则 有 定 理 2.2 11 , wp1. 2.6n ii Xn （ ） nX1EX 证 明 ： 设 p是 任 意 小 的 正 数 , 事 件 A1, A2相 互独 立 , P(Ai)=p. 用 IAi 表 示 Ai的 示 性 函 数 , 则 IAi 独 立 同

7、分 布 .由 强 大 数 律 得 到11 , 1.ii I A p wpn 所 以 1 , 1.ii I A wp 说 明 有 无 穷 个 Ai发 生 的 概 率 是 1. 在 多 次 独 立 重 复 试 验 过 程 中 , 小 概 率 事 件 必 然发 生 .例 2 观 察 表 明 ， 如 果 一 个 量 是 由 大 量相 互 独 立 的 随 机 因 素 的 综 合 影 响 所造 成 ， 而 每 一 个 别 因 素 在 总 影 响 中所 起 的 作 用 都 是 微 小 的 .则 这 种 量 一般 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 . 该 结 论 得 益 于 高 斯 对 测 量误

8、 差 分 布 的 研 究 .中 心 极 限 定 理 的 客 观 背 景 5.3 中 心 极 限 定 理 强 大 数 律 和 弱 大 数 律 分 别 讨 论 了 随 机 序 列 部 分 和的 依 概 率 收 敛 和 以 概 率 1收 敛 . 中 心 极 限 定 理 讨 论 对 充 分 大 的 n, 随 机 变 量 序 列部 分 和 X1+X2+ +Xn 的 概 率 分 布 问 题 . 令 Sn = X1 + X2 + + Xn.则 Sn为 n次 独 立 试 验 中 成 功 的 次 数 ,Sn B(n,p)。 时 ,Sn的 分 布 形 状 很 象 正 态 分 布 。n例 3: 二 项 分 布 j

9、1 jX 0, j ， 当 第 次 试 验 成 功 ， 当 第 次 试 验 不 成 功 。则 Xj iid B(1,p)(两 点 分 布 )。独 立 地 重 复 某 一 试 验 ， 设 时 ,Sn的 分 布 形 状 很 象 正 态 分 布 。n nS ( ).iX P nni=1 若 Xj iid P( ), 则 由 3.4 的 例 4.1知 道 部 分 和例 4: Poisson(泊 松 )分 布 例 5: 几 何 分 布 部 分 和 设 Xj 独 立 同 分 布 都 服 从 几 何 分 布jP(X , 1,2,., 1.k p q k-1=k) pq上 述 分 布 称 为 帕 斯 卡 分

10、布 .可 以 将 Sn = X1 + X2 + + Xn 设 想 成 第 n次 击中 目 标 时 的 射 击 次 数 (参 考 几 何 分 布 的 背 景 ), 于是 得 到 11( ) , , 1,.n n k nn kP S k C p q k n n 时 ,Sn的 分 布 形 状 很 象 正 态 分 布 。n 注 ： 得 到 第 n次 成 功 前 失 败 的 次 数 Y的 分 布 称 为负 二 项 分 布 ， 易 见且 Sn = Y + n. 1( ) , 0,1,2,.k n kn kP Y k C p q k 从 演 示 看 出 时 ,Sn的 分 布 形 状 很 象 正 态分 布 。

11、 n 这 里 是 标 准 正 态 分 布 的 分 布 函 数 .( )x定 理 3.1.（ 中 心 极 限 定 理 ）lim ( ).nn P x x 设 随 机 序 列 Xj 独 立 同 分 布 , 有 共 同的 数 学 期 望 和 方 差 . 部 分 和 Sn =X1 X2 Xn, 则 Sn的 标 准 化2 nn S nn 依 分 布 收 敛 到 标 准 正 态 分 布 . 即 对 任 何 x,(3.2) 我 们 把 结 论 (3.2)记 成 , 其 中 的 d表 示 依 分 布 收 敛 . d N(0,1)n 中 心 极 限 定 理 是 概 率 论 中 最 著 名 的 结 果 之一 ，

12、它 不 仅 提 供 了 计 算 独 立 随 机 变 量 之 和 的 近似 概 率 的 简 单 方 法 ， 而 且 有 助 于 解 释 为 什 么 很多 自 然 群 体 的 经 验 频 率 呈 现 出 钟 形 曲 线 这 一 值得 注 意 的 事 实 . 在 一 般 情 况 下 很 难 求 出 n个 随 机 变量 之 和 的 分 布 函 数 ， 定 理 3.1表 明 :当 n充 分 大 时 ,可 以 通 过 给 出 其 近 似 的 分 布 .1n kk X ( )x 因 此 可 以 利 用 正 态 分 布 对 作理 论 分 析 或 作 实 际 计 算 . 1n kk X 推 论 3.2. 在 定

13、 理 3.1的 条 件 下 ， 对 充 分 大 的 n ，部 分 和 Sn =X1 X2 Xn, 的 概 率 分 布可 以 用 正 态 分 布 2( , )N n n 近 似 . 中 心 极 限 定 理 的 应 用 : 可 以 用 N(0,1)近 似 计 算 关 于 的 概 率 ，用 N(n , n 2) 近 似 计 算 关 于 Sn的 概 率 。n 例 6: 近 似 计 算 当 辐 射 的 强 度 超 过 每 小 时 0.5毫 伦 琴 (mr)时 , 辐 射 会 对 人 的 健 康 造 成 伤 害 . 设 一 台 彩 电工 作 时 的 平 均 辐 射 强 度 是 0.036(mr/h), 方

14、 差 是0.0081. 则 家 庭 中 一 台 彩 电 的 辐 射 一 般 不 会 对人 造 成 健 康 伤 害 . 但 是 彩 电 销 售 店 同 时 有 多 台彩 电 同 时 工 作 时 , 辐 射 可 能 对 人 造 成 健 康 伤 害 . 现 在 有 16台 彩 电 同 时 工 作 , 问 这 16台 彩 电 的 辐射 量 可 以 对 人 造 成 健 康 伤 害 的 概 率 . 例 6: 近 似 计 算解 : 用 Xi表 示 第 i台 彩 电 的 辐 射 量 (mr/h),则 Xi的 数 学 期 望 是 =0.036, 方 差 是 =0.0081. Sn=X1+X2+ +X16是 n=

15、16台 彩 电 的 辐 射 量 . 题 目 要 求 P(Sn 0.5). 认 为 Xi独 立 同 分 布 时 , 按 照 定 理 3.1,2 nn S nn 近 似 服 从 N(0,1)分 布 , 于 是 例 6: 近 似 计 算 (续 ) 0.5( 0.5) nn S n nP S P n n 0 .5 1 6 0 .0 3 61 6 0 .0 0 8 10 .2 1 1(0 .2 1 1) 0 .5 8 .n nPP 这 16台 彩 电 以 大 约 58%的 概 率 会 对 人 造 成 健 康伤 害 . 例 7 一 加 法 器 同 时 收 到 20个 噪 声 电 压 ，设 它 们 是 互

16、相 独 立 的 随 机 变 量 ， 且 都 在 区 间 (0,10)上服 从 均 匀 分 布 ， 记 ( 1,2, ,20)iV i 201n iiS V nn 2 2S -20 5 105-20 5PS 105 P 10 /12 20 10 /12 20 n nS -100 S -100P 0.387 1 P 0.387(10/ 12) 20 (10/ 12) 20 求 PSn105 近 似 值 。 二 项 分 布 的 正 态 近 似推 论 3.3.设 Sn B(n,p), p=1-q (0,1), 则 d N(0,1). (3.3)nS npnpq 由 定 理 3.1结 论 成 立 例 9

17、 某 单 位 有 200台 电 话 分 机 ， 每 台 分 机 有 5%的 时间 要 使 用 外 线 通 话 。 假 定 每 台 分 机 是 否 使 用 外 线 是相 互 独 立 的 ， 问 该 单 位 总 机 要 安 装 多 少 条 外 线 ， 才能 以 90%以 上 的 概 率 保 证 分 机 用 外 线 时 不 等 待 ？解 ： 设 有 Sn部 分 机 同 时 使 用 外 线 ， 则 有 ( , ),nS B n p设 有 N条 外 线 。由 推 论 3.3得 nP S N (1 ) (1 )nS np N npP np p np p .08.3p)-np(110,np0.05,p200

18、,n 其 中 0.9nP S N 由 题 意 有 例 9 （ 续 ） nP S N .90.0)28.1( 查 表 得 ,28.13.0810-N 应 满 足 条 件故 N 条 外 线 。即 至 少 要 安 装取即 14,14.94.13 NN 10 .3.08(1 )N np Nnp p (1 ) (1 )nS np N npP np p np p 例 10. 用 正 态 分 布 计 算 二 项 分 布 设 Sn B(n,p), 则 Sn近 似 N(np, npq)分 布 , 设 X N(np,npq), 设 a, b为 非 负 整 数 。 由 中 心 极 限 定 理 , n 较 大 时 (

19、 ) ( ) (*)np P a S b P a X b 但 是 注 意 Sn是 取 整 数 值 的 ， 所 以( ) ( 1 1) n np P a S b P a S b 上 式 右 端 用 正 态 近 似 和 (*)不 同 。 例 10.(续 )为 此 取 折 衷 ， 令( )np P a S b 称 为 连 续 性 校 正 。 此 近 似 公 式 应 在 n 充 分 大 时 使 用， 实 际 规 则 可 以 用 min(np,nq)5。 ( 0.5 0.5)P a X b 0.5 0.5 = (3.4)b np a npnpq npq 例 10.(续 )特 别 地 ， ( )np P

20、S a ( 0.5 0.5)P a X a 0.5 0.5 = a np a npnpq npq 某 药 厂 试 制 了 一 种 新 药 , 声 称 对 贫 血 的 治 疗 有 效 率 达到 80%. 医 药 监 管 部 门 准 备 对 100个 贫 血 患 者 进 行 此 药的 疗 效 试 验 ,若 这 100人 中 至 少 有 75人 用 药 有 效 , 就 批准 此 药 的 生 产 . 如 果 该 药 的 有 效 率 确 实 达 到 80%, 此药 被 批 准 生 产 的 概 率 是 多 少 ?解 :用 Sn表 示 这 n (=100)个 患 者 中 用 药 后 有 效 的 人 数 .

21、如 果 该 药 的 有 效 率 确 实 是 p=80%, 则 Sn B(n,p). 由 100p=805, 100(1-p)=205, 知 道 可 用 近 似 公 式 (3.4) .于 是例 11. 例 11.(续 ）( )P 药 被 批 准如 果 有 效 率 p80%, 则 获 得 批 准 的 概 率 92% (参 考习 题 7.29). n=P(S 75) nP(S 74.5) 74.5 =P (1 ) (1 )nS np npnp p np p 74.5 80=P (1 ) 80 0.2 nS npnp p 1 ( 5.5/4) (1.375) 0.92. 作 业 :第 5章 5.12, 5.16, 5.18