概率论与数理统计(王明慈第二版)第5章数理统计的基本知识1-3节

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1、2021-6-1 1数 理 统 计 是 概 率 论 的 应 用 ; 概 率 论 是 数 理 统 计 的 理 论 基 础 .前 言2. 数 理 统 计 学 的 基 本 内 容(1) 有 效 地 收 集 数 据 ；(2) 对 数 据 初 步 处 理 ； 运 用 数 理 统 计 推 断 方 法 对(3) 分 析 数 据 的 信 息 ，总 体 进 行 推 断 和 预 测 , 得 出 合 理 的 结 论 .1. 概 率 论 与 数 理 统 计 的 关 系 2021-6-1 2 3. 数 理 统 计 与 计 算 机 的 结 合国 内 外 著 名 的 统 计 软 件 包 : SPSS, SAS, Matla

2、b, 可 以 让 你 快 速 、 简 便 地 进 行 数 据 处 理这 大 大 普 及 了 数 理 统 计 的 应 用 .提 供 了 强 有 力 的 技 术 支 持 .计 算 机 的 诞 生 与 发 展 为 统 计 方 法 (数 据 处 理 )R、 Stata等 ,和 分 析 , 2021-6-1 3 概 率 论 中 的 一 个 最 基 本 的 假 设 在 实 际 中 ,我 们 往 往 不 知 道 随 机 变 量 X确 切 分 布 ,研 究 对 象 X这 就 是 数 理 统 计 所 讨 论 问 题 的 应 用 背 景 . 它 需 要 用数 理 统 计 研 究 内 容 十 分 广 泛 , 其 中

3、 一 类 重 要 问 题便 是 统 计 推 断 .4. 实 际 案 例 的 提 出已 有 的 部 分 信 息 去 推 断 整 体 情 况 .的 分 布 已 知 . 2021-6-1 4 比 如 ： 产 前 筛 查 (唐 氏 综 合 征 )课 题数 据 来 源 ： 温 州 市 二 医 产 前 筛 查 中 心 实 验 室血 清 学 指 标 ： AFP， hCG等分 析 ： 以 AFP为 例 ， 据 大 量 的 医 学 统 计 研 究 表 明AFP服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 ， 其 中 分 布 的 参 数未 知 . 要 分 析 研 究 此 课 题 , 首 先 应 利 用AFP的 数

4、据 (20054例 )对 参 数 进 行 估 计参 数 估 计 (第 6章 ). 2021-6-1 5一 、 总 体 与 样 本二 、 样 本 分 布 函 数 与 直 方 图三 、 样 本 函 数 与 统 计 量四 、 分 布 、 t 分 布 、 F 分 布五 、 正 态 总 体 统 计 量 的 分 布2 第 五 章数 理 统 计 的 基 本 知 识基 本 内 容 ： 变量x 1111.1855.6600.0344.488.9 直方图 频率 40 30 20 10 0 Std. Dev = 204.13 Mean = 594.0 N = 100.00 2021-6-1 6 第 一 节 总 体

5、与 样 本基 本 内 容 ： 一 、 总 体 与 个 体 二 、 (简 单 ) 随 机 样 本 样 本 的 分 布 2021-6-1 7 一 、 总 体 与 个 体总 体 : 把 研 究 对 象 的 全 体 称 为 总 体 (或 母 体 ).个 体 ： 总 体 中 每 个 研 究 对 象 称 为 个 体 .例 如 , 考 察 温 医 07届 本 科 生 的 学 习 质 量 .温 医 的 该 届 本 科 生 的 全 体 称 为 一 个 总 体 ；其 中 的 每 一 个 本 科 生 称 为 一 个 个 体 . 2021-6-1 8总 体 个 体 例 1. 考 察 某 批 电 视 机 的 寿 命 质

6、 量 ，的 全 体 称 为 一 个 总 体 , 这 批 电 视 机每 台 电 视 机 称 为 一 个 个 体 . 2021-6-1 9 总 体 (指 标 )是 指 一 个 随 机 变 量 ,随 机 变 量 的 一 个 取 值 . 通 常 ， 我 们 用 随 机 变 量 X, Y, Z 等 表 示 总 体 . 因 此 ， 在 理 论 上 可 以 把 总 体 与 概 率 分 布 等 同 起 来 .每 个 个 体 是注 ：实 际 上 ， 我 们 常 关 注 总 体 的 某 项 或 几 项 指 标 . 2021-6-1 10 二 、 随 机 样 本 维 随 机 变 量 .)是 一 个样 本 ( n,X

7、,XX n211.样 本 的 定 义样 本 中 所 包 含 个 体 的 数 量 n称 为 样 本 容 量 .从 总 体 X中 ， 随 机 地 抽 取 n个 个 体 ：nXXX , 21 称 为 总 体 X的 一 个 样 本 ， 记 为注 : ),( 21 nXXX 2021-6-1 11(2)样 本 是 被 调 查 的 100名 08届 该 专 业 本 科 毕 业 例 2. (1)总 体 是 该 地 区 08届 该 专 业 本 科 毕 业 生 月 薪 ;(3)样 本 容 量 是 100.为 了 了 解 生 命 与 科 学 专 业 本 科 毕 业 生 的月 薪 情 况 ，本 科 生 的 月 薪

8、情 况 ， 试 问(1)什 么 是 总 体 ？(2)什 么 是 样 本 ？(3)样 本 容 量 是 多 少 ？生 的 月 薪 ； 调 查 了 某 地 区 100名 2008届 该 专 业 的解 : 2021-6-1 12 2.样 本 值 ),( 21 nxxx ),( 21 nXXX 每 一 次 抽 取 nXXX , 21 所 得 到 的 n个 确 定 的具 体 数 值 ， 记 为称 为 样 本的 一 个 样 本 值 (观 察 值 ). 数 理 统 计 的 基 本 任 务 是 ： 根 据 从 总 体 中 抽 取 的样 本 ， 利 用 样 本 的 信 息 推 断 或 预 测 总 体 的 情 况

9、. 2021-6-1 13 3.简 单 随 机 样 本两 个 特 征 ：获 得 简 单 随 机 样 本 的 抽 样 方 法 称 为 简 单 随 机 抽 样 .(1) 代 表 性 ：(2) 独 立 性 ：若 来 自 总 体 X的 样 本 ),( 21 nXXX 具 有 下 列nXXX , 21 中 每 一 个 与 总 体 X有 相 同 的 分 布 . nXXX , 21 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 . 1 2( , , , )nX X X 为 容 量 n的 简 单 随 机 样 本 .则 称注 ： 今 后 ,凡 提 到 样 本 都 是 指 简 单 随 机 样 本 . 2021-6-1

10、14 实 际 中 ， 怎 么 样 抽 取 简 单 随 机 样 本 ？一 般 情 况 下 总 体 都 是 有 限 总 体 . 总 体 中 个 体 总 数 不 是 太 大 时 ，可 得 到 简 单 随 机 样 本 , 当 总 体 中 个 体 总 数 比 样 本容 量 大 得 多 时 , 采 用 不 放 回 抽 样 方 式 , 可 近 似 得 到简 单 随 机 样 本 . 对 于 有 限 总 体 ,采 取 放 回 抽 样 方 式 , 2021-6-1 15 补 充 ： 随 机 变 量 的 独 立 性 )()(),( yYPxXPyYxXP 定 义 ： 设 X与 Y是 两 个 随 机 变 量 ， 若

11、对 于 任 意 的 实 数x与 y, 有即 )()(),( yFxFyxF YX则 称 X与 Y是 相 互 独 立 的 . 2021-6-1 16 (1)离 散 随 机 变 量 X与 Y相 互 独 立(X, Y)的 联 合 概 率 函 数 p (x, y) = pX (x) pY (y);(2)连 续 随 机 变 量 X与 Y相 互 独 立(X, Y)的 联 合 概 率 密 度 函 数 f (x, y) = fX (x) fY (y).随 机 变 量 的 独 立 性 可 以 扩 充 到 n个 随 机 变 量 的 情 形 . 2021-6-1 17 定 理4.样 本 的 分 布 ;)(),( 1

12、21 ni in xFXXX 的 分 布 函 数 为 则 样 本的 概 率 密 度 函 数 为若 总 体 ),(X)2( xf .),( 21 的 样 本为 来 自 总 体设 XXXX n 则 样 本的 分 布 函 数 为若 总 体 ),()1( xFX ;)(),( 121 ni in xfXXX 的 概 率 密 度 函 数 为 2021-6-1 18注 : 熟 记 以 上 三 种 不 同 情 形 下 样 本 的 联 合 概 率 分布 的 具 体 形 式 是 解 决 问 题 的 关 键 ! ),2,1,0(),()3( xxpX的 概 率 函 数 为若 总 体 ;)(),( 121 ni i

13、n xpXXX 的 概 率 函 数 为则 样 本 2021-6-1 19 设 总 体 X服 从 参 数 为),( 21 nXXX 是 来 自 于 总 体 的 样 本 ,的 联 合 概 率 函 数 .解 : 总 体 X 的 概 率 函 数 为所 以 ),( 21 nXXX 的 联 合 概 率 函 数 为因 为 nXXX , 21 独 立 同 分 布 ， 例 4. 2,1,0,!)( xexxp x )!(1 exni ixi 的 Poisson分 布 ,求 此 样 本, n1i ix !x n1i ine),( 21 nxxxp 且 服 从 泊 松 分 布 . .,2,1 ,2,1,0 nixi

14、 2021-6-1 20 ., 21 nXXX ),( 2N ),( 21 nXXX 例 5. ),( 2NX xexf x ,21)( 2 22 )( ),( 21 nXXX 设 总 体 X服 从 正 态 分 布 从 总 体 X中 抽 取 样 本概 率 密 度 函 数 . 求解 : 其 概 率 密 度 为的 联 合 概 率 密 度 函 数 为 ni xie1 2 )( 2 221 ,)2( 1 21 22 )(2/ ni ixnn e),( 21 nxxxf 的 联 合 nixi ,2,1, 2021-6-1 21u 用 样 本 直 方 图 来 推 断 总 体 的 概 率 密 度 函 数u

15、用 样 本 分 布 函 数 来 推 断 总 体 的 分 布 函 数 第 二 节 直 方 图 样 本 分 布 函 数基 本 思 路 ： 变量x 1111.1855.6600.0344.488.9 直方图 频率 40 30 20 10 0 Std. Dev = 204.13 Mean = 594.0 N = 100.00 2021-6-1 22Step 3:计 算 样 本 观 测 值 落 在 各 子 区 间 的 频 数 及 频 率 ;in /nnf ii Step 2: 适 当 选 择 边 界 点 a、 b， 使b,ttta 1l21 bxxa n *1,把 区 间 (a,b)分 成 l 个 子

16、区 间);()()()( b,t,t,t,t,t,ta, 1li1i211 , Step 1: 找 出 );,(),( 21*21*1 nnn xxxmaxxxxxminx 直 方 图 的 具 体 步 骤 ： Step 4:画 直 方 图 ： 以 每 个 子 区 间 长 为 底 , 以 相 应 的 为 高 作 长 方 形 , 这 一 系 列 长 方 形 构 成 样 本 频 率 直 方 图 .1iii ttt )( 1iii tt/f 一 、 直 方 图 （ histogram） 和 分 点(8 l15): 2021-6-1 23 某 工 厂 测 量 100个 自 动 车 床 的 质 量 , 4

17、59 362 624 542 509 584 433 748 815 505 612 452 434 982 640 742 565 706 593 680 926 653 164 487 734 608 428 1153 593 844 527 552 513 781 474 388 824 538 862 659 775 859 755 49 697 515 628 954 771 609 402 960 885 610 292 837 473 677 358 638 699 634 555 570 84 416 606 1062 484 120 447 654 564 339 280 2

18、46 687 539 790 581 621 724 531 512 577 496 468 499 544 645 764 558 378 765 666 763 217 715 310 851例 6.如 下 ： 得 到 样 本 观 测 值 2021-6-1 24 SPSS 软 件 中 ， 画 出 自 动 车 床 质 量 X的 直 方 图 ： 变量x 1111.1855.6600.0344.488.9 直方图 频 率 40 30 20 10 0 Std. Dev = 204.13 Mean = 594.0 N = 100.00 2021-6-1 25 是 来 自 总 体 X中 样 本)设(

19、n21 x,x,x )( n21 X,X,X 把 观 测 值 从 小 到 大 排 列 : ,xxx n21 )()( )则 样 本 分 布 函 数 11,2,10)( )( )()( (1) ni,xx, xxx,ni xx,xF n1iin )(1x )(2x )(ix )( 1ix )(nx x)(xFn 1 的 观 测 值 ,二 、 样 本 分 布 函 数 2021-6-1 26 样 本 分 布 函 数 Fn(x)的 性 质且;1)(0)2( xFn ;1)(,0)( nn FF；是 非 减 函 数)()1( xFn )()()3( )()( xFxxxF niin 点 是处 是 右 连

20、 续 的在 每 个 观 测 值 ， .1)()(lim xFxFP nn,0 .的 跳 跃 间 断 点样 本 分 布 函 数 Fn (x)近 似 于 总 体 分 布 函 数 F (x)当 n时 , 2021-6-1 27 第 三 节 样 本 函 数 与 统 计 量基 本 内 容 ： 一 、 统 计 量 的 定 义 二 、 常 用 统 计 量 及 其 性 质 2021-6-1 28一 、 统 计 量 ，的 一 个 样 本是 来 自 总 体设 XXXX n),( 21 ,的 未 知 参 数不 含 任 何 关 于若 样 本 函 数 XX,Xg n1 )( 由 样 本 推 断 总 体 情 况 ,需 要

21、 对 样 本 进 行 “ 加 工 ” ,定 义 .信 息 集 中 起 来 .这 就 需 要 构 造 一 些 样 本 的 函 数 ,它 把 样 本 中 所 含 的是 一 个则 称 ),( 21 nXXXg 统 计 量 . 2021-6-1 29 注 : 2 统 计 量 用 于 统 计 推 断 , 3 统 计 量 是 样 本 的 函 数 , 的 观 测 值 ,是 样 本设 ),(),( 2121 nn XXXxxx 是则 称 ),( 21 nxxxg .),( 21 的 观 测 值nXXXg 总 体 X 的 未 知 参 数 ;统 计 量 的 分 布 称 为 抽 样 分 布 . 故 不 应 含 任

22、何 关 于它 是 一 个 随 机 变 量 ,；是 随 机 变 量统 计 量 ),( n21 XXXg o1 2021-6-1 30 (未 知 )的 Poisson分 布 ,nXXX , 21 为 来 自 总 体 的 样 本 ， 判 断 下 列 那 些是 统 计 量 ？ )(1) n11 X,XminT 其 他, X,T n1i i2 01(2) 1n/XXT 13(3) 设 总 体 X服 从 参 数 为例 7. 是不 是是 2021-6-1 31 例 8. ； 31 2)(. i iXB 其 中 已 知 , 未 知 , 设 X1, X 2, X3 来 自 正 态 总 体 X ( , 2) 的

23、样 本 , 问 下 列 哪 些 是 统 计 量 ? ( )A. (X1 + X2 + X3 )/3 ; ;)(. 3 1 2i iXC D. X1 ；E. Max X1, X2, X3 . ABDE 2021-6-1 32 , 21 的 一 个 样 本是 来 自 总 体设 XXXX n(1)样 本 均 值 ;1 1 ni iXnX .1 1 ni ixnx其 观 测 值1.样 本 矩 的 定 义可 用 于 推 断 ： 总 体 均 值 E(X). ., 21 是 这 一 样 本 的 观 测 值nxxx 它 反 映 了总 体 均 值的 信 息二 、 几 个 常 用 统 计 量 2021-6-1 3

24、3其 观 测 值可 用 于 推 断 ： 总 体 方 差 D(X). (2)样 本 方 差 )(11 1 22 ni XnXn i ni i )X(XnS 1 22 11 ni i xxns 1 22 )(11 .11 1 22 ni i xnxn 它 反 映 了总 体 方 差的 信 息 2021-6-1 34 ni i XXn 1 2)(11 .11 1 22 ni i XnXn2SS (3)样 本 标 准 差其 观 测 值 ni i xxn 1 2)(11 .11 1 22 ni i xnxn2ss 2021-6-1 35 其 观 测 值(5) 样 本 k 阶 中 心 矩其 观 测 值(4)

25、样 本 k 阶 原 点 矩 )21(1 ,k,XnV n1i kik ni kik xnv 11 )21()(1 ,k,XXnU n1i kik ni kik xxnu 1 )(1 比 较 总 体 k 阶 原 点 矩 E(Xk)比 较 总 体 k 阶 中 心 矩 EX-E(X)k 2021-6-1 36 2.样 本 矩 的 性 质 ; , 2 DXEXX 方 差的 期 望设 总 体 则 有的 样 本为 来 自 总 体 ，XXXX n),( 21 )XE(o1 )(2 o XD )(3o 2SE ;1 2n .2 2021-6-1 37 例 8. n ppDXnXD )1(1 设 总 体 X 服

26、 从 两 点 分 布 B(1 , p),),( 21 nXXX 是 来 自 于 总 体 分 布 的 样 本 ，是 样 本 均 值 与 样 本 方 差 ， 试 计 算 ：2SX和 ., 2ESXDXE 和解 :利 用 样 本 矩 的 性 质 得 pEXXE 由 两 点 分 布 知 E(X)=p, D(X)=p(1-p),).1(2 ppDXES 2021-6-1 38 内 容 小 结1. 理 解 总 体 和 个 体 、 样 本 和 样 本 值 、 样 本 函 数和 统 计 量 的 概 念 ；说 明 :一 个 总 体 对 应 一 个 随 机 变 量 X, 我 们 将 不 区 分 总 体和 相 应

27、的 随 机 变 量 , 统 称 为 总 体 X.总 体 (理 论 分 布 )样 本 样 本 值总 体 、 样 本 、 样 本 值 的 相 互 关 系 :(抽 样 ) (推 断 ) 2021-6-1 39 2. 掌 握 样 本 的 分 布 、 常 用 统 计 量 的 概 念 及 性 质 ； 样 本 均 值 ;1 1 ni iXnX 样 本 方 差 ni i XXnS 1 22 )(11两 个 重 要 统 计 量 :;)(1o XE ;1)(2 2o nXD 22o )(3 SE两 个 重 要 统 计 量 的 性 质 ： 2021-6-1 40 3.了 解 样 本 频 率 直 方 图 、 样 本

28、分 布 函 数 .通 过 样 本 频 率 直 方 图 或 样 本 分 布 函 数 图 来 推 断 总 体的 分 布 情 况 . 2021-6-1 41 作 业习 题 五 (P145): 1、 2、 15习 题 六 （ P180） 2中 ， 求 样 本 的 概 率 密 度 函 数 . 2021-6-1 42 备 用 题A. 独 立 但 分 布 不 同 ； B. 分 布 相 同 但 不 相 互 独 立 ;C. 独 立 同 分 布 ; D. 不 能 确 定 .1.设 X1,X2 ,Xn是 来 自 总 体 X的 简 单 随 机 样 本 ,则 X1,X2 ,Xn必 然 满 足 （ ） . ;1.);,m

29、ax(. 121 ni in XnXBXXXA 的 简 单是 来 自 正 态 总 体设 ),(, 221 NXXX n，2. ).下 面 不 是 统 计 量 的 是 (未 知 ，其 中随 机 样 本 ， 2, 2021-6-1 43 3. .)(.;)(11. 1 21 22 ni ini i XDXXnSC 2 2, ( ), ( )X S E X E S别 样 样 ， 则 为分 是 本 均 值 和 本 方 差1 2, , , nX X X e 设 来 数 ( ) 样 ，是 自 指 分 布 的 本2 21 1. , ; . , ;1 1 1. , ; . , .A BC D n ( ). 2

30、021-6-1 44 分 析 ： 1.由 简 单 随 机 样 本 的 定 义 知 ,应 选 C.2. 由 于 统 计 量 中 不 含 任 何 未 知 参 数 ， 应 选 D.3. 由 样 本 矩 的 性 质 ,SE)XE( 22 )(, 22 1)(,1)(,)( XDXEeX又 ,1)(,1)( 222 SEXE故 应 选 B. 2021-6-1 45 设 总 体 X 服 从 参 数 为),( 21 nXXX 是 来 自 于 总 体 的 样 本 ,的 联 合 概 率 密 度 函 数 .解 : 总 体 X 的 概 率 密 度 函 数 为所 以 ),( 21 nXXX 的 联 合 概 率 密 度 函 数 为因 为 nXXX , 21 独 立 同 分 布 ， 4. .0,0 ;0,)( xxexf x )(1 ixni e 的 指 数 分 布 ,求 此 样 本 ni ixf1 )(),( 21 nxxxf 且 服 从 指 数 分 布 . .,2,1,0 nixi ni ixne 1