《建立数学模型》课件

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1、第 一 篇 建 立 数 学 模 型1.1 从 现 实 对 象 到 数 学 模 型1.2 数 学 建 模 的 重 要 意 义1.3 数 学 建 模 示 例1.4 数 学 建 模 的 基 本 方 法 和 步 骤1.5 数 学 模 型 的 特 点 和 分 类1.6 数 学 建 模 能 力 的 培 养 玩 具 、 照 片 、 飞 机 、 火 箭 模 型 实 物 模 型水 箱 中 的 舰 艇 、 风 洞 中 的 飞 机 物 理 模 型地 图 、 电 路 图 、 分 子 结 构 图 符 号 模 型模 型 是 为 了 一 定 目 的 ， 对 客 观 事 物 的 一 部 分进 行 简 缩 、 抽 象 、 提

2、炼 出 来 的 原 型 的 替 代 物模 型 集 中 反 映 了 原 型 中 人 们 需 要 的 那 一 部 分 特 征1.1 从 现 实 对 象 到 数 学 模 型我 们 常 见 的 模 型 你 碰 到 过 的 数 学 模 型 “ 航 行 问 题 ”用 x 表 示 船 速 ， y 表 示 水 速 ， 列 出 方 程 ：75050)( 75030)( yx yx 答 ： 船 速 每 小 时 20千 米 /小 时 .甲 乙 两 地 相 距 750千 米 ， 船 从 甲 到 乙 顺 水 航 行 需 30小 时 ，从 乙 到 甲 逆 水 航 行 需 50小 时 ， 问 船 的 速 度 是 多 少 ?

3、x =20y =5求 解 航 行 问 题 建 立 数 学 模 型 的 基 本 步 骤 作 出 简 化 假 设 （ 船 速 、 水 速 为 常 数 ） ； 用 符 号 表 示 有 关 量 （ x, y表 示 船 速 和 水 速 ） ； 用 物 理 定 律 （ 匀 速 运 动 的 距 离 等 于 速 度 乘 以 时 间 ） 列 出 数 学 式 子 （ 二 元 一 次 方 程 ） ； 求 解 得 到 数 学 解 答 （ x=20, y=5） ； 回 答 原 问 题 （ 船 速 每 小 时 20千 米 /小 时 ） 。 数 学 模 型 (Mathematical Model) 和数 学 建 模 （ M

4、athematical Modeling)对 于 一 个 现 实 对 象 ， 为 了 一 个 特 定 目 的 ，根 据 其 内 在 规 律 ， 作 出 必 要 的 简 化 假 设 ，运 用 适 当 的 数 学 工 具 ， 得 到 的 一 个 数 学 结 构 。建 立 数 学 模 型 的 全 过 程（ 包 括 表 述 、 求 解 、 解 释 、 检 验 等 ）数 学 模 型数 学建 模 1.2数 学 建 模 的 重 要 意 义 电 子 计 算 机 的 出 现 及 飞 速 发 展 ； 数 学 以 空 前 的 广 度 和 深 度 向 一 切 领 域 渗 透 。数 学 建 模 作 为 用 数 学 方

5、法 解 决 实 际 问 题 的 第 一 步 ，越 来 越 受 到 人 们 的 重 视 。“ 所 谓 高 科 技 就 是 一 种 数 学 技 术 ” 在 一 般 工 程 技 术 领 域 数 学 建 模 仍 然 大 有 用 武 之 地 ；以 声 、 光 、 热 、 力 、 电 这 些 物 理 学 科 为 基 础 的 机 械 、 电 机 、土 木 、 水 利 等 工 程 技 术 领 域 .例 如 大 型 水 坝 的 应 力 计 算 ， 中 长 期 天 气 预 报 等 这 八 个 技 术 领 域 是 ： 生 物 技 术 领 域 、 航 天 技 术 领 域 、信 息 技 术 领 域 、 激 光 技 术

6、领 域 、 自 动 化 技 术 领 域 、能 源 技 术 领 域 、 新 材 料 . 在 高 新 技 术 领 域 数 学 建 模 几 乎 是 必 不 可 少 的 工 具 ； 数 学 进 入 一 些 新 领 域 ， 为 数 学 建 模 开 辟 了 许 多 处 女 地 。交 叉 学 科 如 计 量 经 济 学 、 人 口 控 制 论 、 数 学 生 态 学 、数 学 地 质 学 等 . 数 学 建 模 的 具 体 应 用 分 析 与 设 计 预 报 与 决 策 控 制 与 优 化 规 划 与 管 理数 学 建 模 计 算 机 技 术知 识 经 济如 虎 添 翼 1.3 数 学 建 模 示 例1.3

7、.1 椅 子 能 在 不 平 的 地 面 上 放 稳 吗问 题 分 析模型假设 通 常 三 只 脚 着 地 放 稳 四 只 脚 着 地 四 条 腿 一 样 长 ， 椅 脚 与 地 面 点 接 触 ， 四 脚连 线 呈 正 方 形 ; 地 面 高 度 连 续 变 化 ， 可 视 为 数 学 上 的 连 续曲 面 ; 地 面 相 对 平 坦 ， 使 椅 子 在 任 意 位 置 至 少 三只 脚 同 时 着 地 。 模 型 构 成用 数 学 语 言 把 椅 子 位 置 和 四 只 脚 着 地 的 关 系 表 示 出 来 椅 子 位 置 利 用 正 方 形 (椅 脚 连 线 )的 对 称 性 xB A

8、DC O DC B A 用 (对 角 线 与 x轴 的 夹 角 )表 示 椅 子 位 置 四 只 脚 着 地 距 离 是 的 函 数四 个 距 离(四 只 脚 )A,C 两 脚 与 地 面 距 离 之 和 f()B,D 两 脚 与 地 面 距 离 之 和 g()两 个 距 离 椅 脚 与 地 面 距 离 为 零 正 方 形 ABCD绕 O 点 旋 转正 方 形对 称 性 用 数 学 语 言 把 椅 子 位 置 和 四 只 脚 着 地 的 关 系 表 示 出 来f() , g()是 连 续 函 数对 任 意 , f(), g()至 少 一 个 为 0数 学问 题 已 知 ： f() , g()是

9、 连 续 函 数 ; 对 任 意 ， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证 明 ： 存 在 0， 使 f(0) = g(0) = 0. 模 型 构 成地 面 为 连 续 曲 面 椅 子 在 任 意 位 置至 少 三 只 脚 着 地 模 型 求 解给 出 一 种 简 单 、 粗 糙 的 证 明 方 法将 椅 子 旋 转 900， 对 角 线 AC和 BD互 换 。由 g(0)=0， f(0) 0 ， 知 f(/2)=0 , g(/2)0.令 h()= f()g(), 则 h(0)0和 h(/2)0.由 f, g的 连 续 性 知 h为 连 续 函 数 , 据 连 续 函

10、 数 的 基 本 性质 , 必 存 在 0 , 使 h(0)=0, 即 f(0) = g(0) .因 为 f() g()=0, 所 以 f( 0) = g(0) = 0.评 注 和 思 考 建 模 的 关 键 假 设 条 件 的 本 质 与 非 本质 考 察 四 脚 呈 长 方 形 的 椅 子和 f(), g()的 确 定 1.3.2 商 人 们 怎 样 安 全 过 河问 题 (智 力 游 戏 ) 3名 商 人 3名 随 从随 从 们 密 约 , 在 河 的 任 一岸 , 一 旦 随 从 的 人 数 比 商人 多 , 就 杀 人 越 货 .但 是 乘 船 渡 河 的 方 案 由 商 人 决 定

11、 .商 人 们 怎 样 才 能 安 全 过 河 ?问 题 分 析 多 步 决 策 过 程决 策 每 一 步 (此 岸 到 彼 岸 或 彼 岸 到 此 岸 )船 上 的 人 员要 求 在 安 全 的 前 提 下 (两 岸 的 随 从 数 不 比 商 人 多 ),经 有限 步 使 全 体 人 员 过 河 . 河 小 船 (至 多 2人 ) 模 型 构 成xk第 k次 渡 河 前 此 岸 的 商 人 数yk第 k次 渡 河 前 此 岸 的 随 从 数 xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)过 程 的 状 态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3,

12、y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允 许 状 态 集 合uk第 k次 渡 船 上 的 商 人 数vk第 k次 渡 船 上 的 随 从 数d k=(uk , vk)决 策 D=(u , v) u+v=1, 2 允 许 决 策 集 合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k 状 态 转 移 律求 dkD(k=1,2, n), 使 skS, 并 按转 移 律 由 s1=(3,3)到 达 sn+1=(0,0).多 步 决 策问 题 模 型 求 解 xy3 3221 10 穷 举 法 编 程 上 机 图 解 法状 态 s=(x,y) 16个 格 点 10个 点允

13、 许 决 策 移 动 1或 2格 ; k奇 ,左 下 移 ; k偶 ,右 上 移 . s1s n+1d1, ， d11给 出 安 全 渡 河 方 案评 注 和 思 考规 格 化 方 法 ,易 于 推 广 考 虑 4名 商 人 各 带 一 随 从 的 情 况d1d11允 许 状 态 S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2 第 一 步 ： 由 此 岸 渡 河 到 彼 岸 ， 船 上 有 两 个 随 从 ；第 二 步 ： 由 彼 岸 渡 河 到 此 岸 ， 船 上 有 一 个 随 从 ；第 三 步 ： 由 此 岸 渡 河 到 彼 岸 ， 船

14、 上 有 两 个 随 从 ；第 四 步 ： 由 彼 岸 渡 河 到 此 岸 ， 船 上 有 一 个 随 从 ；第 五 步 ： 由 此 岸 渡 河 到 彼 岸 ， 船 上 有 两 个 商 人 ；第 六 步 ： 由 彼 岸 渡 河 到 此 岸 ， 船 上 有 一 个 随 从 和 一 个 商 人 ；第 七 步 ： 由 此 岸 渡 河 到 彼 岸 ， 船 上 有 两 个 商 人 ；第 八 步 ： 由 彼 岸 渡 河 到 此 岸 ， 船 上 有 一 个 随 从 ；第 九 步 ： 由 此 岸 渡 河 到 彼 岸 ， 船 上 有 两 个 商 人 ；第 十 步 ： 由 彼 岸 渡 河 到 此 岸 ， 船 上

15、有 一 个 随 从 ；第 十 一 步 ： 由 此 岸 渡 河 到 彼 岸 ， 船 上 有 两 个 随 从 ； 背 景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人 口 (亿 ) 5 10 20 30 40 50 60世 界 人 口 增 长 概 况中 国 人 口 增 长 概 况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人 口 (亿 ) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研 究 人 口 变 化 规 律 控 制 人 口 过 快 增 长1.3.3 如 何 预 报 人 口 的 增 长 指 数 增

16、长 模 型 马 尔 萨 斯 提 出 (1798)常 用 的 计 算 公 式 kk rxx )1(0 x(t) 时 刻 t的 人 口基 本 假 设 : 人 口 (相 对 )增 长 率 r 是 常 数 trtx txttx )( )()(今 年 人 口 x0, 年 增 长 率 rk年 后 人 口 0)0(, xxrxdtdx rtextx 0)( trextx )()( 0 trx )1(0 随 着 时 间 增 加 ， 人 口 按 指 数 规 律 无 限 增 长 指 数 增 长 模 型 的 应 用 及 局 限 性 与 19世 纪 以 前 欧 洲 一 些 地 区 人 口 统 计 数 据 吻 合 适

17、用 于 19世 纪 后 迁 往 加 拿 大 的 欧 洲 移 民 后 代 可 用 于 短 期 人 口 增 长 预 测 不 符 合 19世 纪 后 多 数 地 区 人 口 增 长 规 律 不 能 预 测 较 长 期 的 人 口 增 长 过 程19世 纪 后 人 口 数 据 人 口 增 长 率 r不 是 常 数 (逐 渐 下 降 ) 阻 滞 增 长 模 型 (Logistic模 型 )人 口 增 长 到 一 定 数 量 后 ， 增 长 率 下 降 的 原 因 ：资 源 、 环 境 等 因 素 对 人 口 增 长 的 阻 滞 作 用且 阻 滞 作 用 随 人 口 数 量 增 加 而 变 大假 设 )0

18、,()( srsxrxr r固 有 增 长 率 (x很 小 时 )xm人 口 容 量 （ 资 源 、 环 境 能 容 纳 的 最 大 数 量 ） )1()( mxxrxr r是 x的 减 函 数mxrs 0)( mxr rxdtdx )1()( mxxrxxxrdtdx dx/dt x0 xmxm/2 xmx t xx x emm rt( ) ( ) 1 10 tx0 x(t)S形 曲 线 , x增 加 先 快 后 慢x0 xm/2 阻 滞 增 长 模 型 (Logistic模 型 ) 参 数 估 计 用 指 数 增 长 模 型 或 阻 滞 增 长 模 型 作 人 口预 报 ， 必 须 先 估

19、 计 模 型 参 数 r 或 r, xm 利 用 统 计 数 据 用 最 小 二 乘 法 作 拟 合例 ： 美 国 人 口 数 据 （ 单 位 百 万 ） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专 家 估 计阻 滞 增 长 模 型 (Logistic模 型 )r=0.2557, xm=392.1 模 型 检 验用 模 型 计 算 2000年 美 国 人 口 ， 与 实 际 数 据 比 较 /)1990(1)1990()1990()1990()2000( mxxrxxxxx 实 际 为 2

20、81.4 (百 万 )5.274)2000( x模 型 应 用 预 报 美 国 2010年 的 人 口加 入 2000年 人 口 数 据 后 重 新 估 计 模 型 参 数Logistic 模 型 在 经 济 领 域 中 的 应 用 (如 耐 用 消 费 品 的 售 量 )阻 滞 增 长 模 型 (Logistic模 型 )r=0.2490, x m=434.0 x(2010)=306.0 数 学 建 模 的 基 本 方 法机 理 分 析测 试 分 析 根 据 对 客 观 事 物 特 性 的 认 识 ，找 出 反 映 内 部 机 理 的 数 量 规 律将 对 象 看 作 “ 黑 箱 ” ,通

21、过 对 量 测 数 据 的统 计 分 析 ， 找 出 与 数 据 拟 合 最 好 的 模 型机 理 分 析 没 有 统 一 的 方 法 ， 主 要 通 过 实 例 研 究 (Case Studies)来 学 习 。 以 下 建 模 主 要 指 机 理 分 析 。二 者 结 合 用 机 理 分 析 建 立 模 型 结 构 ,用 测 试 分 析 确 定 模 型 参 数1.4 数 学 建 模 的 基 本 方 法 和 步 骤 数 学 建 模 的 一 般 步 骤模 型 准 备 模 型 假 设 模 型 构 成模 型 求 解模 型 分 析模 型 检 验模 型 应 用模型准备 了 解 实 际 背 景 明 确

22、建 模 目 的搜 集 有 关 信 息 掌 握 对 象 特 征 形 成 一 个比 较 清 晰的 问 题 模型假设 针 对 问 题 特 点 和 建 模 目 的作 出 合 理 的 、 简 化 的 假 设在 合 理 与 简 化 之 间 作 出 折 中模型构成 用 数 学 的 语 言 、 符 号 描 述 问 题发 挥 想 像 力 使 用 类 比 法尽 量 采 用 简 单 的 数 学 工 具 数 学 建 模 的 一 般 步 骤 模 型求 解 各 种 数 学 方 法 、 软 件 和 计 算 机 技 术如 结 果 的 误 差 分 析 、 统 计 分 析 、模 型 对 数 据 的 稳 定 性 分 析模 型分 析

23、模 型检 验 与 实 际 现 象 、 数 据 比 较 ，检 验 模 型 的 合 理 性 、 适 用 性模 型 应 用 数 学 建 模 的 一 般 步 骤 数 学 建 模 的 全 过 程现 实 对 象 的 信 息 数 学 模 型现 实 对 象 的 解 答 数 学 模 型 的 解 答表 述 求 解解 释验 证 (归 纳 ) (演 绎 )表 述求 解解 释验 证 根 据 建 模 目 的 和 信 息 将 实 际 问 题 “ 翻 译 ” 成 数 学 问题 选 择 适 当 的 数 学 方 法 求 得 数 学 模 型 的 解 答将 数 学 语 言 表 述 的 解 答 “ 翻 译 ” 回 实 际 对 象用 现

24、 实 对 象 的 信 息 检 验 得 到 的 解 答实 践现实世界 数学世界理 论 实 践 1.5 数 学 模 型 的 特 点 和 分 类模 型 的 逼 真 性 和 可 行 性模 型 的 渐 进 性模 型 的 强 健 性模 型 的 可 转 移 性 模 型 的 非 预 制 性模 型 的 条 理 性模 型 的 技 艺 性模 型 的 局 限 性 数 学 模 型 的 特 点 数 学 模 型 的 分 类应 用 领 域 人 口 、 交 通 、 经 济 、 生 态 数 学 方 法 初 等 数 学 、 微 分 方 程 、 规 划 、 统 计 表 现 特 性 描 述 、 优 化 、 预 报 、 决 策 建 模

25、目 的了 解 程 度 白 箱 灰 箱 黑 箱确 定 和 随 机 静 态 和 动 态线 性 和 非 线 性离 散 和 连 续 1.6 怎 样 学 习 数 学 建 模数 学 建 模 与 其 说 是 一 门 技 术 ， 不 如 说 是 一 门 艺 术技 术 大 致 有 章 可 循 艺 术 无 法 归 纳 成 普 遍 适 用 的 准 则想 像 力 洞 察 力 判 断 力 学 习 、 分 析 、 评 价 、 改 进 别 人 作 过 的 模 型 亲 自 动 手 ， 认 真 作 几 个 实 际 题 目 怎 样 撰 写 数 学 建 模 的 论 文 ？1、 摘 要 :问 题 、 模 型 、 方 法 、 结 果2

26、、 问 题 重 述4、 分 析 与 建 立 模 型5、 模 型 求 解6、 模 型 检 验7、 模 型 推 广8、 参 考 文 献9、 附 录3、 模 型 假 设 2d墙室内 T1 室外 T2d d墙 l室内 T1 室外 T2问题 双 层 玻 璃 窗 与 同 样 多 材 料 的 单 层玻 璃 窗 相 比 ， 减 少 多 少 热 量 损 失假设 热 量 传 播 只 有 传 导 ， 没 有 对 流T1,T2不 变 ， 热 传 导 过 程 处 于 稳 态材 料 均 匀 ， 热 传 导 系 数 为 常 数建模 热 传 导 定 律 dTkQ Q1Q2Q 单 位 时 间 单 位 面 积 传 导 的 热 量

27、T温 差 , d材 料 厚 度 , k热 传 导 系 数双 层 玻 璃 窗 的 功 效 d d墙 l室内 T1 室外 T2Q1Ta Tb记 双 层 玻 璃 窗 传 导 的 热 量 Q1Ta内 层 玻 璃 的 外 侧 温 度Tb外 层 玻 璃 的 内 侧 温 度k1玻 璃 的 热 传 导 系 数k2空 气 的 热 传 导 系 数 d TTkl TTkd TTkQ bbaa 212111 dlhkkhssd TTkQ ,)2( 212111 建 模 记 单 层 玻 璃 窗 传 导 的 热 量 Q 2dTTkQ 2 2112 2d墙室内 T1 室外 T2Q2双 层 与 单 层 窗 传 导 的 热 量

28、 之 比 dlhkkhssQQ ,22 2121 21 QQ k1=410-3 8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 32对 Q1比 Q2的 减 少 量作 最 保 守 的 估 计 ，取 k1/k2 =16 dlhhQQ ,18 121 )2( 2111 sd TTkQ建 模 hQ1/Q2 4200.060.030.02 6模 型 应 用取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03即 双 层 玻 璃 窗 与 同 样 多材 料 的 单 层 玻 璃 窗 相 比 ，可 减 少 97%的 热 量 损 失 。结 果 分 析Q1/Q2所 以 如 此 小 ， 是 由 于 层 间 空 气 极 低 的 热 传导 系 数 k2, 而 这 要 求 空 气 非 常 干 燥 、 不 流 通 。房 间 通 过 天 花 板 、 墙 壁 损 失 的 热 量 更 多 。dlhhQQ ,18 121双 层 窗 的 功 效 不 会 如 此 之 大