教学课件第4章材料的力学性能应力应变关系

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1、第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-1 材料的力学性能与基本实验材料的力学性能与基本实验 材料在外力作用下所表现出的变形和破坏方面的特性，材料在外力作用下所表现出的变形和破坏方面的特性，称为称为材料的力学性能。材料的力学性能。材料不同，其力学性能也不同。材料不同，其力学性能也不同。同一种材料，随着加载速率、温度等所处的工作环同一种材料，随着加载速率、温度等所处的工作环境的不同，其力学性能也不相同。境的不同，其力学性能也不相同。本章只介绍材料在常温、静载、通常工作环境下的本章只介绍材料在常温、静载、通常工作环境下的力学性能。力学性能。最基本的实验是材料的轴向拉

2、伸和压缩实验。最基本的实验是材料的轴向拉伸和压缩实验。第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-1 材料的力学性能与基本实验材料的力学性能与基本实验 试验时首先要把待测试的材料加工成试件，试件的形状、试验时首先要把待测试的材料加工成试件，试件的形状、加工精度和试验条件等都有具体的国家标准或部颁标准规定。加工精度和试验条件等都有具体的国家标准或部颁标准规定。例如，国家标准例如，国家标准 GB6397 1986金属拉伸试验试样中规金属拉伸试验试样中规定拉伸试件截面可采用圆形和矩形两种。定拉伸试件截面可采用圆形和矩形两种。拉伸试件拉伸试件压缩试件压缩试件短圆柱试件短圆柱

3、试件第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验（1 1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 将试件装卡在材料试验机上进行常温、静载拉伸试验，直将试件装卡在材料试验机上进行常温、静载拉伸试验，直到把试件拉断为止，试验机的绘图装置会把试件所受的拉力到把试件拉断为止，试验机的绘图装置会把试件所受的拉力 F 与试件的伸长量与试件的伸长量 l 之间的关系自动记录下来，绘出一条曲线之间的关系自动记录下来，绘出一条曲线 F-l曲线，称为拉伸图。曲线，称为拉伸图。除去尺寸因素，除去尺寸因素，变为变为 应力应力-应应变曲线。变曲线。即即-曲线

4、。曲线。第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验（1 1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 分析曲线，有几个特征点，把曲线分成分析曲线，有几个特征点，把曲线分成 四四 部分，说明低碳部分，说明低碳钢拉伸时，变形分为钢拉伸时，变形分为 四个阶段。四个阶段。将试件装卡在材料试验机上进行常温、静载拉伸试验，直将试件装卡在材料试验机上进行常温、静载拉伸试验，直到把试件拉断为止，试验机的绘图装置会把试件所受的拉力到把试件拉断为止，试验机的绘图装置会把试件所受的拉力 F 与试件的伸长量与试件的伸长量 l 之间的关系自动记录下来，绘出

5、一条曲线之间的关系自动记录下来，绘出一条曲线 F-l曲线，称为拉伸图。曲线，称为拉伸图。第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验（1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 第一阶段第一阶段弹性变形阶段弹性变形阶段 （曲线曲线ob段段）在此阶段任一时刻时，将载荷慢慢减少（称在此阶段任一时刻时，将载荷慢慢减少（称卸载卸载）为零，变）为零，变形会消失。形会消失。b 点对应的应力称材料的点对应的应力称材料的弹性极限。弹性极限。即，材料处即，材料处于弹性变形阶段时所能承受的最大应力，用于弹性变形阶段时所能承受的最大应力，用 表示，即表

6、示，即第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验（1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 第一阶段第一阶段弹性变形阶段弹性变形阶段 （曲线曲线ob段段）该阶段，曲线有很大一段是直线段（该阶段，曲线有很大一段是直线段（oa直线段），说明应直线段），说明应力应变成正比关系力应变成正比关系，即，即 E 为比例常数，是材料的为比例常数，是材料的弹性弹性模量模量，它反映了材料抵抗弹性，它反映了材料抵抗弹性变形的能力。变形的能力。胡克定律胡克定律第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实

7、验轴向拉伸与压缩实验（1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 第一阶段第一阶段弹性变形阶段弹性变形阶段 （曲线曲线ob段段）a 点对应的应力称材料的点对应的应力称材料的比例极限。比例极限。即，材料应力应变处于即，材料应力应变处于正比例关系阶段时所能承受的最大应力，用正比例关系阶段时所能承受的最大应力，用 表示，即表示，即第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验（1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 第二阶段第二阶段屈服（流动）阶段屈服（流动）阶段 （曲线曲线bc段段）外力在小范围内波动，但变形显著增加外力在小范围内波动，

8、但变形显著增加。即，材料暂时失去即，材料暂时失去了抵抗变形的能力。了抵抗变形的能力。在此阶段某一时刻卸载为零，弹性变形消失，而还有一部分在此阶段某一时刻卸载为零，弹性变形消失，而还有一部分变形被永久地保留下来，称此变形为变形被永久地保留下来，称此变形为塑性变形。塑性变形。试件表面出试件表面出现现滑移线滑移线（与试件轴线成（与试件轴线成45度角度）。度角度）。第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验（1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 第二阶段第二阶段屈服（流动）阶段屈服（流动）阶段 （曲线曲线bc段段）曲线最低点所对应

9、的应力，称为材料的曲线最低点所对应的应力，称为材料的屈服点屈服点，用，用 表示，表示，即即第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验（1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 第三阶段第三阶段强化阶段强化阶段 （曲线曲线ce段段）过了屈服阶段，材料又恢复了抵抗变形的能力，称为强过了屈服阶段，材料又恢复了抵抗变形的能力，称为强化。曲线最高点所对应的应力，称为材料的化。曲线最高点所对应的应力，称为材料的强度极限强度极限，用用 表示。强度极限是材料在整个拉伸过程中所能承表示。强度极限是材料在整个拉伸过程中所能承受的最大应力，即受的最

10、大应力，即第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验（1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 第四阶段第四阶段颈缩破坏阶段颈缩破坏阶段 （曲线曲线 ef 段段）过了强化阶段，试件某一局部处直径突然变小，称此现象为过了强化阶段，试件某一局部处直径突然变小，称此现象为颈缩颈缩。此后，试件的轴向变形主要集中在颈缩处。此后，试件的轴向变形主要集中在颈缩处。颈缩处试件横截面面积急剧减小，试件所承受的载荷也迅速颈缩处试件横截面面积急剧减小，试件所承受的载荷也迅速降低，最后在颈缩处试件被拉断。降低，最后在颈缩处试件被拉断。第第4章章 材料

11、的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验（1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 延伸率延伸率其中，其中，是试件试验前的横截面面积是试件试验前的横截面面积;是颈缩处的最小是颈缩处的最小横截面面积。横截面面积。其中，其中，是试件包括塑性变形的长度，是试件包括塑性变形的长度，是试件试验前的长度。是试件试验前的长度。断面收缩率断面收缩率第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验（1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 冷作硬化现象冷作硬化现象 经经过过弹弹性性阶阶段段以以后后

12、，若若从从某某点点（例例如如d点点）开开始始卸卸载载，则则力力与与变变形形间间的的关关系系将将沿沿与与弹弹性性阶阶段段直直线线大大体体平平行行的的 dd 线回到线回到 d 点。点。若若卸卸载载后后从从d 点点开开始始继继续续加加载载，曲曲线线将将首首先先大大体体沿沿dd 线线回回至至d点点，然然后后仍仍沿沿未未经经卸卸载载的的曲曲线线def 变变化化，直直至至 f 点点发发生断裂为止。生断裂为止。可可见见，在在再再次次加加载载过过程程中中，直直到到 d 点点以以前前，试试件件变变形形是弹性的，过是弹性的，过 d 点后才开始出现塑性变形。点后才开始出现塑性变形。第第4章章 材料的力学性能材料的力

13、学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验（1）低碳钢的拉伸试验）低碳钢的拉伸试验 冷作硬化现象冷作硬化现象 比比较较这这两两个个图图形形中中的的曲曲线线，说说明明在在第第二二次次加加载载时时，材材料料的的比比例例极极限限得得到到提提高高（），而而塑塑性性变变形形和和伸伸长长率有所降低。率有所降低。在在常常温温下下，材材料料经经加加载载到到产产生生塑塑性性变变形形后后卸卸载载，由由于于材材料料经经历历过过强强化化，从从而而使使其其比比例例极极限限提提高高、塑塑性性降降低低的的现现象象称称为为冷冷作作硬硬化。化。第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应

14、变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验（2）铸铁的拉伸试验）铸铁的拉伸试验 铸铸铁铁拉拉伸伸时时，没没有有屈屈服服阶阶段段，也也没没有有颈缩现象。颈缩现象。铸铸铁铁的的应应力力应应变变曲曲线线没没有有明明显显的的直直线线段段，通通常常在在应应力力较较小小时时，取取 图图上上的的弦弦线线近近似似地地表表示示铸铸铁铁拉拉伸伸时时的的应应力应变关系，并按弦线的斜率近似地确定弹性模量力应变关系，并按弦线的斜率近似地确定弹性模量 E。反反映映强强度度的的力力学学性性能能只只能能测测得得强强度度极极限限，而而且且拉拉伸伸时强度极限时强度极限 的值较低。的值较低。由由于于铸铸铁铁的

15、的抗抗拉拉强强度度较较差差，一一般般不不宜宜选选做做承承受受拉拉力力的的构件。抗拉强度差，这是脆性材料共同的特点。构件。抗拉强度差，这是脆性材料共同的特点。第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验（3）低碳钢的压缩试验）低碳钢的压缩试验 低碳钢试件压缩时的应力应变曲线低碳钢试件压缩时的应力应变曲线。与与拉拉伸伸曲曲线线相相比比，屈屈服服阶阶段段以以前前曲曲线线基基本本重重合合，即即低低碳碳钢钢压压缩缩时时，弹弹性性模模量量 E、屈服点屈服点 均与拉伸时大致相同。均与拉伸时大致相同。过过了了屈屈服服阶阶段段，继继续续压压缩缩

16、时时，试试件件的的长长度度愈愈来来愈愈短短，而而直直径径不不断断增增大大，由由于于受受试试验验机机上上下下压压板板摩摩擦擦力力的的影影响响，试试件件两端直径的增大受到阻碍，因而变成鼓形。两端直径的增大受到阻碍，因而变成鼓形。压压力力继继续续增增加加，直直径径愈愈益益增增大大，最最后后被被压压成成薄薄饼饼，而而不不发生断裂，因而低碳钢压缩时测不出强度极限发生断裂，因而低碳钢压缩时测不出强度极限 。第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-2 轴向拉伸与压缩实验轴向拉伸与压缩实验（4）铸铁的压缩试验）铸铁的压缩试验 与与拉拉伸伸时时相相比比，铸铸铁铁压压缩缩时时强强度

17、度极极限限很很高高，例例如如，HT150 压压缩缩时时的的强强度度极极限约为拉抻时强度极限的限约为拉抻时强度极限的四四倍。倍。抗抗压压强强度度远远大大于于抗抗拉拉强强度度，这这是是铸铸铁铁力力学学性性能能的的重重要要特特点点，也是脆性材料的共同特点。也是脆性材料的共同特点。铸铸铁铁试试件件受受压压缩缩发发生生断断裂裂时时，断断裂裂面面与与轴轴线线大大致致成成45的的倾角，这表明铸铁试件受压时断裂是因最大切应力所致。倾角，这表明铸铁试件受压时断裂是因最大切应力所致。第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-3 没有明显屈服阶段的塑性材料没有明显屈服阶段的塑性材料 工

18、工程程中中，有有一一类类塑塑性性材材料料，其其应应力力应应变变曲曲线线中中没没有有明明显显的的屈屈服服阶阶段。例如，中碳钢、合金钢等。段。例如，中碳钢、合金钢等。对对于于没没有有明明显显屈屈服服阶阶段段的的塑塑性性材材料料，通通常常人人为为地地规规定定，把把产产生生0.2%塑塑性性应应变变时时所所对对应应的的应应力力称称为为材料的材料的屈服强度屈服强度，并用，并用 表示表示。第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-4 各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律 由由材材料料的的拉拉伸伸试试验验可可知知，在在材材料料的的比比例例极极限限范范围围内内加加载

19、载，受单向应力作用的一点，其正应力与线应变成正比，即受单向应力作用的一点，其正应力与线应变成正比，即 实实验验表表明明，在在比比例例极极限限内内，横横向向（与与应应力力 垂垂直直的的方方向向）线线应应变变（或或 ）与与纵纵向向应应变变 之之比比为为一常量。用一常量。用 v 表示这一比值的绝对值，则表示这一比值的绝对值，则（1）简单胡克定律）简单胡克定律 简单拉、压胡克定律简单拉、压胡克定律第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-4 各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律 由由材材料料的的拉拉伸伸试试验验可可知知，在在材材料料的的比比例例极极限限范范

20、围围内内加加载载，受单向应力作用的一点，其正应力与线应变成正比，即受单向应力作用的一点，其正应力与线应变成正比，即 实实验验表表明明，在在比比例例极极限限内内，横横向向（与与应应力力 垂垂直直的的方方向向）线线应应变变（或或 ）与与纵纵向向应应变变 之之比比为为一常量。用一常量。用 v 表示这一比值的绝对值，则表示这一比值的绝对值，则（1）简单胡克定律）简单胡克定律 简单拉、压胡克定律简单拉、压胡克定律v 称称为为横横向向变变形形系系数数或或泊泊松松比比，是是材材料料常常数数，其其值值可通过实验进行测定。可通过实验进行测定。第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4

21、-4 各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律 由由试试验验（扭扭转转试试验验）还还可可指指出出，在在材材料料的的比比例例极极限限范范围围内，一点的切应力与相应的切应变成正比，即内，一点的切应力与相应的切应变成正比，即 G 称称为为材材料料的的切切变变模模量量，其其值值与与材材料料有有关关，可由实验测得。可由实验测得。剪切胡克定律剪切胡克定律（1）简单胡克定律）简单胡克定律 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-4 各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律 空空间间应应力力状状态态下下，对对于于各各向向同同性性材材料料，在在线线弹弹性性

22、范范围围内内，坐坐标标轴轴方方向向的的正正应应力力只只引引起起坐坐标标轴轴方方向向的的线线应应变变，而而不不引引起起切切应应变变；同同样样，各各坐坐标标面面内内的的切切应应力力只只引引起起该该坐坐标标面面内内的的切切应应变变，而而不不引引起线应变。由简单胡克定律，应用叠加原理起线应变。由简单胡克定律，应用叠加原理，即，即（2）广义胡克定律）广义胡克定律 （1）简单胡克定律）简单胡克定律 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-4 各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律（2）广义胡克定律）广义胡克定律 同理得同理得叠加得叠加得（1）简单胡克定律）简单

23、胡克定律 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-4 各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律广义胡克定律广义胡克定律（2）广义胡克定律）广义胡克定律 据剪切胡克定律据剪切胡克定律 同理同理 综上所综上所述，对述，对于原三于原三向应力向应力状态，状态，有 （1）简单胡克定律）简单胡克定律 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-4 各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律（2）广义胡克定律）广义胡克定律 若单元体的三个主应力已知时，其广义胡克定律可写成 （1）简单胡克定律）简单胡克定律 第第4章章 材料的力

24、学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-5 应变能应变能（1）体变应变与形状变形体变应变与形状变形 变变形形分分为为两两类类：体体积积变变形形与与形形状状变变形形。单单元元体体如如果果原原是是立立方方体体，变变形形后后仍仍为为立立方方体体，或或单单元元体体原原是是球球体体，变变形形后后仍仍为为球球体体。这这种种变变形形只只是是体体积积发发生生了了变变化化，而而形形状状没没有有变变化化，称称为为纯纯体体积积变变形形。如如果果原原是是立立方方体体的的单单元元体体，变变形形后后为为体体积积相相等等的的长长方方体体，或或原原是是球球形形单单元元体体，变变形形后后为为体体积积相相等等的的椭椭

25、球球体体。这这种种变变形形只只是是形形状发生了变化，而体积没有变化，称为状发生了变化，而体积没有变化，称为纯形状变形纯形状变形。为为方方便便起起见见，在在主主轴轴坐坐标标系系中中进进行行考考察察。取取一一主主单单元元立立方方体体，变变形形前前各各棱棱边边的的长长度度均均为为da，则则变变形前体积形前体积变形后体积变形后体积第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-5 应变能应变能代入广义胡克定律，得代入广义胡克定律，得体变应变体变应变体变应变胡克定律体变应变胡克定律其中其中平均应力平均应力体体 变变 应应 变变 弹性模量弹性模量（忽略高阶微量）（忽略高阶微量）（1

26、）体变应变与形状变形体变应变与形状变形 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-5 应变能应变能体变应变体变应变 各各主主应应力力1、2、3偏偏离离平平均均应应力力m的的量量用用s1、s2、s3表示，即即s1=1-m，s2=2-m，s3=3-m。形形状状变变形形是是由由这这些些应应力力偏偏离离量量引起的。引起的。主主单单元元体体在在主主应应力力1、2、3作作用用下下，不不仅仅体体积积发发生生了了变变化化，而而且且形形状状也也发发生生了了变化，由原来的立方体变为长方体。变化，由原来的立方体变为长方体。体变应变量是由体变应变量是由单元体各面上单元体各面上平均应平均应

27、力力引起的。引起的。形状变形形状变形（1）体变应变与形状变形体变应变与形状变形 第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-5 应变能应变能（2）应变能分析应变能分析 在弹性体变形过程的同时弹性体变形过程的同时,外力要做功，并且转变为能量外力要做功，并且转变为能量储存于该弹性体中。这种能量储存于该弹性体中。这种能量称为称为弹性变形势能弹性变形势能，简称，简称变形变形能能。当逐渐卸去外力，弹性体。当逐渐卸去外力，弹性体又将所储存的变形能逐渐释放又将所储存的变形能逐渐释放而做功，使变形逐渐消失。若而做功，使变形逐渐消失。若外力增加十分缓慢时，可忽略外力增加十分缓慢时，可

28、忽略弹性体内的动能及其他能量损弹性体内的动能及其他能量损失，可以认为外力功失，可以认为外力功W全部转全部转变为变形能变为变形能 ，即，即 轴轴向向拉拉伸伸直直杆杆，当当拉拉力力从从零零开开始始缓缓慢慢地地增增加加到到最最终终值值 F 时时，则则杆杆的的变变形形亦亦同同时时从从零零开开始始慢慢慢慢地地增增加加到到最最终终值值 l。在在比比例例极极限限内内，外外力力F与与变变形形量量 l 之之间间成成正正比比关关系，系，Fl 图呈一过原点的斜直线图呈一过原点的斜直线 单向应力状态下的应变能单向应力状态下的应变能第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-5 应变能应变能

29、（2）应变能分析应变能分析 在在逐逐渐渐加加力力的的过过程程中中，当当拉拉力力为为F1时时，杆杆的的变变形形量量为为l1，假假如如此此时时拉拉力力再再增增加加一一个个 dF1，那那么么杆杆的的变变形形将将含含有有一一增增量量 d(l1)。于于是是已已作作用用于于杆杆件件上上的的拉拉力力F1因因位位移移 d(l1)而而做做功功 dW，就就等等于于图图中中画画阴影线部分的微分面积。阴影线部分的微分面积。单向应力状态下的应变能单向应力状态下的应变能dW=F1d(l1)把把最最终终的的拉拉力力 F 和和最最终终的的变变形形量量 l分分别别视视为为一一系系列列 dF1和和 d(l1)的的积积累累，这这样

30、样，拉拉力力 F 所所作作的的总总功功 W 便便等等于于这这些些微微分分面面积积总总和和，即即图图中中直直线线下下三三角角形形的的面面积。于是总功为积。于是总功为整个杆件的变形能整个杆件的变形能第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-5 应变能应变能（2）应变能分析应变能分析 储储存存在在单单元元体体内内的的变变形形能能一一般般亦亦称称应应变变能能。单单位位体体积积中中积积蓄蓄的的应应变变能能称称为为应变比能应变比能或或应变能密度应变能密度。单向应力状态下的应变能单向应力状态下的应变能 该该图图表表示示单单元元体体受受单单向向应应力力x作作用用，右图给出了相应的

31、变形。右图给出了相应的变形。单单元元体体内内的的应变能密度应变能密度 将将从从杆杆件件拉拉伸伸得得到到的的结结论论应应用用于于该该单单元元体体中中，那那么么，x 方方向向的的力力xdydz 在在 x 方方向向位位移移 xdx上上所所做做的的功功，即即为为储储存存在在该单元体内的应变能，即该单元体内的应变能，即第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-5 应变能应变能（2）应变能分析应变能分析 对对于于纯纯切切应应力力状状态态，仿仿照照上上述述分分析析，作作用用在在单单元元体体的的上上表表面面 x 方方向向的的力力 ，在在 x 方方向向位位移移 上上所所做做的的功功

32、，即即为为储存在单元体内的应变能，即储存在单元体内的应变能，即 单向应力状态下的应变能单向应力状态下的应变能单单元元体体内内的的应变能密度应变能密度 纯切应力状态下的应变能纯切应力状态下的应变能第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-5 应变能应变能（2）应变能分析应变能分析 在在三三向向应应力力1、2、3作作用用下下，变变形形固固体体内内一一点点的的应应变变能能只只与与最最终终的的力力学学状状态态（应应力力、应应变变）有有关关，与与加加载载的的历历史史（应应力力变变化化的的历历史史）无无关关，故故总总应应变变能能等等于于各各应应力力分分量量分分别别在在自自己己

33、方方向向的的应应变变上上所所做做功功的的代代数数和和。因因此，相应的应变能密度为此，相应的应变能密度为 单向应力状态下的应变能单向应力状态下的应变能代入广义胡克定律代入广义胡克定律 纯切应力状态下的应变能纯切应力状态下的应变能 空间应力状态下的应变能空间应力状态下的应变能 总总变变形形包包括括体体积积变变形形与与形形状状变变形形，故故而而，总总应应变变能能密密度度 e 等等于于体体变变应应变变能能密密度度 和和形形变变应应变变能能密度密度 的总和的总和，即，即第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-5 应变能应变能（2）应变能分析应变能分析 体体变变应应变变能能

34、密密度度等等于于三三个个坐坐标标轴轴方方向向的的平平均均应应力力 m 在在自自己己方方向向的应变的应变 m 上所做功的代数和，即上所做功的代数和，即 单向应力状态下的应变能单向应力状态下的应变能 纯切应力状态下的应变能纯切应力状态下的应变能 空间应力状态下的应变能空间应力状态下的应变能则，体变应变能密度为则，体变应变能密度为代入体变应变胡克定律代入体变应变胡克定律则，形变应变能密度为则，形变应变能密度为或或第第4章章 材料的力学性能材料的力学性能 应力应变关系应力应变关系 4-6 各向同性材料弹性常数之间的关系各向同性材料弹性常数之间的关系 各向同性材料，材料常各向同性材料，材料常数数E、v、G 间存在如下关系间存在如下关系 考考虑虑纯纯切切应应力力状状态态，单单元元体体只只有有形形状状变变形形，而而无无体体积积变变形形，形形变变应应变变能能密密度度就就是总的应变能密度。是总的应变能密度。证明证明 纯纯切切应应力力状状态态为为一一种种特特殊殊的的二二向向应应力力状状态态：1=xy，2=0，3=-xy，应应用用形形变应变能密度表达式变应变能密度表达式，得，得上两式右端相等，得证上两式右端相等，得证