宁更新-信号与系统-第二章

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1、 LTI系 统 的 框 图 结 构 表 示主 要 内 容 ： 信 号 的 时 域 分 解 用 表 示 离 散 时 间 信 号 用 表 示 连 续 时 间 信 号 LTI系 统 的 时 域 分 析 卷 积 积 分 与 卷 积 和 LTI系 统 的 微 分 方 程 及 差 分 方 程 表 示 奇 异 函 数( )t第 2章 线 性 时 不 变 系 统 基 本 思 想 ： 如 果 能 把 任 意 输 入 信 号 分 解 成 基 本 信 号的 线 性 组 合 ， 那 么 只 要 得 到 了 LTI系 统 对 基 本 信 号的 响 应 ， 就 可 以 利 用 系 统 的 线 性 特 性 ， 将 系 统

2、对 任意 输 入 信 号 产 生 的 响 应 表 示 成 系 统 对 基 本 信 号 的 响应 的 线 性 组 合LTI系 统 特 点 : 齐 次 性 和 可 加 性 ， 具 有 时 不 变 性信 号 与 系 统 分 析 理 论 与 方 法 的 基 础 问 题 的 实 质 ：1. 研 究 信 号 的 分 解 ： 即 以 什 么 样 的 信 号 作 为 构 成 任意 信 号 的 基 本 信 号 单 元 ， 如 何 用 基 本 信 号 单 元 的 线性 组 合 来 构 成 任 意 信 号2. 如 何 得 到 LTI系 统 对 基 本 单 元 信 号 的 响 应 作 为 基 本 单 元 的 信 号

3、应 满 足 以 下 要 求 ：1. 本 身 尽 可 能 简 单 ， 并 且 用 它 的 线 性 组 合 能 够 表 示（ 构 成 ） 尽 可 能 广 泛 的 其 它 信 号2. LTI系 统 对 这 种 信 号 的 响 应 易 于 求 得 如 果 解 决 了 信 号 分 解 的 问 题 ， 即 ： 若 有( ) ( )i iix t a x t ( ) ( )i ix t y t则 ( ) ( )i iiy t a y t将 信 号 分 解 可 以 在 时 域 进 行 ， 也 可 以 在 频 域 或 变 换域 进 行 ， 相 应 地 就 产 生 了 对 LTI系 统 的 时 域 分 析 法 、

4、频 域 分 析 法 和 变 换 域 分 析 法分 析 方 法 ： 离 散 时 间 信 号 中 ,最 简 单 的 是 ,可 以 由 它 的 线 性 组合 构 成 ， 即 ：一 . 用 单 位 脉 冲 表 示 离 散 时 间 信 号 对 任 何 离 散 时 间 信 号 ,如 果 每 次 从 其 中 取 出 一 个点 ， 就 可 以 将 信 号 拆 开 来 ， 每 次 取 出 的 一 个 点 都 可以 表 示 为 不 同 加 权 、 不 同 位 置 的 单 位 脉 冲 （ Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum） 于 是 有 ：上 式 把 任 意

5、一 个 序 列 表 示 成 一 串 移 位 的 单 位脉 冲 序 列 的 线 性 组 合 ， 其 中 是 权 因 子二 . 卷 积 和 （ Convolution sum） 定 义 ： 离 散 时 间 LTI系 统 的 单 位 脉 冲 响 应 ( impulse response ) LTI n h n l 时 不 变 性l齐 次 性 LTI n n k h n h n kLTI x k n k x k h n kl可 加 性 LTI k x k n k k x k h n k LTI系 统 对 任 何 输 入 信 号 的 响 应 ：上 面 这 种 求 得 系 统 响 应 的 运 算 关 系

6、称 为 卷 积 和（ The convolution sum）这 表 明 ： 一 个 LTI系 统 对 任 意 输 入 的 响 应 都 可 以 由 它的 单 位 脉 冲 响 应 来 表 示卷 积 的 意 义 ： 单 位 脉 冲 响 应 完 全 表 征 LTI系 统 的 特 性 三 . 卷 积 和 的 计 算计 算 方 法 ：有 图 解 法 、 列 表 法 、 解 析 法 （ 包 括 数 值 解 法 ） 解 析 法 求( ) ( )kf k a u k ( ) ( )kh k b u k例 ： ( )fy k( ) ( )* ( ) ( ) ( )f iy k f k h k f i h k i

7、 ( ) ( )i k ii a u i b u k i 0, ( ) 0; , ( ) 0i u i i k u k i 当 当 10 0 1 ( ) ( ),( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( )( 1) ( ),kkk ki k i k if i i k abb u k a ba ay k a b u k b u kb bb k u k a b 例 ： 求 ( )* ( ) ( )* ( )iu k u k u i u k i 0( ) 1 ( 1) ( )kiu k k u k ( )* ( )u k u k例 ： 求 ( ) ( 4)ka u k u k ( ) ( 4) ( )

8、 ( 4 ) k iia u k u k a u k u k i 4 2 40( 4) (1 . ) ( 4)k i kiu k a a a a u k 4 1 ( 4)1ka u ka 10( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 ( )1 kk knn kky n x n h nx k h n k u k u n ku n 0 1 k( ) ( )kx k u k . 01 n k( ) ( )h n k u n k 例 ： ( ) ( )nx n u n 0 1 ( ) ( )h n u n 图 解 法 将 一 个 信 号 不 动 ， 另 一 个 信 号 经 反 转 后 为

9、 ,再 随 参 变 量 移 位 。 在 每 个 值 的 情 况 下 ， 将 与 对 应 点 相 乘 ， 再 把 乘 积 的 各 点 值 累 加 ， 即 得 到 时 刻 的 可 分 解 为 四 步 ， 对 f (n) =x(n) h(n) （ 1） 换 元 ： n换 为 k得 x(k)， h(k) （ 2） 反 转 平 移 ： 由 h(k)反 转 h(k)右 移 n位 h(n k) （ 3） 乘 积 ： x(k) h(n k) （ 4） 求 和 ： k 从 到 对 乘 积 项 求 和注 意 ： n 为 参 变 量( )x k ( )h kn n ( )x k( )h n kn ( )y n 例

10、2：解 ：（ 1） 换 元 ： k换 为 i得 f1(i)， f2(i)（ 2） 反 转 平 移 ： 由 f2(i)反 转 f2(i)， 再 右 移 k f2(k i) （ 3） 乘 积 ： f1(i) f2(k i) （ 4） 求 和 ： i 从 到 对 乘 积 项 求 和 1 k0 时 ，0n 时 ，所 以 例 3： 时 ，0n 时 ，0 4n 时 ，4 6n 时 ， 6 10n 时 ，10n 分 析 卷 积 和 的 过 程 ， 可 以 发 现 有 如 下 特 点 ： 与 的 所 有 各 点 都 要 遍 乘 一 次 ( )x n ( )h n ( ) ( )k x k h n k 在 遍

11、乘 后 ， 各 点 相 加 时 ， 根 据 ，参 与 相 加 的 各 点 都 具 有 与 的 宗 量 之和 为 的 特 点 。 ( )x k ( )h n kn列 表 法 1 0 2 11 0 2 12 0 4 20 0 0 0 3 0 6 31 0 2 112031( )h n ( )x n (0)x (1)x (2)x (3)x( 1)h (0)h(1)h(2)h(3)h ( 1)y (0)y(1)y(2)y(3)y (4)y (5)y (6)y 通 过 图 形 帮 助 确 定 反 转 移 位 信 号 的 区 间 表 示 ， 对于 确 定 卷 积 和 计 算 的 区 段 及 各 区 段 求

12、 和 的 上 下 限 是很 有 用 的 。 四 . 卷 积 和 运 算 的 性 质1. 交 换 律 ：结 论 ： 一 个 单 位 冲 激 响 应 是 hn的 LTI系 统 对 输 入 信号 xn所 产 生 的 响 应 ， 与 一 个 单 位 冲 激 响 应 是 xn的 LTI系 统 对 输 入 信 号 hn所 产 生 的 响 应 相 同 。 2. 结 合 律 : 两 个 LTI系 统 级 联 可 以 等 效 为 一 个 单 一 系 统 ， 该 系统 的 单 位 脉 冲 响 应 等 于 两 个 级 联 系 统 的 单 位 脉 冲 响应 的 卷 积两 个 级 联 的 LTI系 统 总 的 单 位

13、脉 冲 响 应 与 其 中 各 部分 级 联 的 次 序 无 关结 论 ： 3. 分 配 律 ： 结 论 ： 两 个 LTI系 统 并 联 可 以 用 一 个 单 一 的 LTI系 统 来等 效 ， 该 单 个 系 统 的 单 位 脉 冲 响 应 等 于 并 联 的 各 个子 系 统 的 单 位 脉 冲 响 应 之 和 4. 卷 积 运 算 还 有 如 下 性 质 ：卷 积 和 满 足 差 分 、 求 和 及 时 移 特 性 ： 连 续 时 间 信 号 一 . 用 冲 激 信 号 表 示 连 续 时 间 信 号2.2 连 续 时 间 LTI系 统 ： 卷 积 积 分基 本 信 号 的 线 性

14、组 合如 何 分 解 ？ 用 基 本 脉 冲 表 示 任 意 位 置 、 高 度 的 脉 冲( )t01 t ( )f t0A t1/ 0( ) 0 tt otherwise ?( ) ( )f t t ( ) ( ) ( )kx t x k t k 用 基 本 脉 冲 表 示 连 续 时 间 信 号 l 时 不 变 性l齐 次 性 LTI t t k h t h t k LTI x k t k x k h t k l可 加 性 LTI k x k t k k x k h t k ( )x t ( )y t, ( )0 ( ) ? x ty t 当 LTI系 统 0() lim ( ) ( )

15、kx t x k t k x t d 二 . 卷 积 积 分 （ The convolution integral）定 义 ： 连 续 时 间 LTI系 统 的 单 位 冲 激 响 应LTI t h t 0() lim ( ) ( )ky t x k h t k x h t d ( )t01 t 10 ( )t t0( )x t ( )y t () ( ) ( ) () ()y t x h t d x t h t 表 明 :连 续 时 间 LTI系 统 可 以 完 全 由 它 的 单 位 冲 激 响 应 来 表 征 。( )h t 卷 积 积 分 三 . 卷 积 积 分 的 计 算 卷 积 积

16、 分 的 计 算 ： 图 解 法 、 解 析 法 和 数 值 解 法 。 运 算 过 程 ： 1.参 与 卷 积 的 两 个 信 号 中 ， 一 个 不 动 ， 另 一 个反 转 后 随 参 变 量 移 动 。 2 对 每 一 个 的 值 ， 将 和 对 应 相 乘 3 再 计 算 相 乘 后 曲 线 所 包 围 的 面 积 。 注 意 ： 确 定 积 分 区 间 和 积 分 上 下 限tt ( )x ( )h t 01 ( )x 例 1: ( ) ( ), 0atx t e u t a ( ) ( )h t u t 当 时 ，0t ( ) 0y t 当 时 ，所 以 ： 例 2 : 1 0(

17、 ) 0 t Tx t otherwise 0 2( ) 0t t Th t otherwise ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )y t x t h t x h t dx t h d 0 2T 2T ( )h ( )x t 01t T t 当 时 ，0t ( ) 0y t 当 时 ，0 t T 20 1( ) 2ty t d t 当 时 ，2T t T 21( ) 2tt Ty t d Tt T 当 时 ，2 3T t T 2 2 21( ) 2 ( )2Tt Ty t d T t T 当 时 ，3t T ( ) 0y t 212T232T T 3T2T0 t( )y t

18、四 . 卷 积 积 分 运 算 的 性 质1. 交 换 律 ：结 论 ： 一 个 单 位 冲 激 响 应 是 h(t)的 LTI系 统 对 输 入 信号 x(t)所 产 生 的 响 应 ， 与 一 个 单 位 冲 激 响 应 是 x(t)的LTI系 统 对 输 入 信 号 h(t)所 产 生 的 响 应 相 同 。 2. 分 配 律 ：结 论 ： 两 个 LTI系 统 并 联 ， 其 总 的 单 位 冲 激 响 应 等 于各 子 系 统 单 位 冲 激 响 应 之 和 。 3. 结 合 律 : 两 个 LTI系 统 级 联 时 ， 系 统 总 的 单 位 冲 激 响 应 等 于各 子 系 统

19、单 位 冲 激 响 应 的 卷 积 。 由 于 卷 积 运 算 满 足 交 换 律 ， 因 此 ， 系 统 级 联 的 先 后次 序 可 以 调 换 。结 论 ： 4. 卷 积 运 算 还 有 如 下 性 质 ： 若 ， 则( ) ( ) ( )x t h t y t 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t h t x t h t t y t t 卷 积 积 分 满 足 微 分 、 积 分 及 时 移 特 性 ：( ) ( ) ( )x t h t y t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t tx t h t x t h

20、t y tx d h t x t h d y d 若 ， 则 将 微 分 一 次 有 :( )x t ( ) ( ) ( )x t t t T ( )x t tT0 (1) ( 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )y t x t h t t t T h th t h t T 例 如 ： 2.2 中 的 例 2根 据 微 分 特 性 有 : 0 2T 2T t( )h t* 0 T t1 0 2( ) 0t t Th t otherwise T 2TT2T ( )y t 3T2T T0 t 212T232T T 3T2T0 t( )y t( ) ( )ty t y d

21、 利 用 积 分 特 性 即 可 得 : 2.3 线 性 时 不 变 系 统 的 性 质1. 无 记 忆 性 和 记 忆 性 ： LTI 系 统 可 以 由 它 的 单 位 冲 激 /脉 冲 响 应 来 表 征 ，因 而 其 特 性 （ 记 忆 性 、 可 逆 性 、 因 果 性 、 稳 定 性 ）都 应 在 其 单 位 冲 激 /脉 冲 响 应 中 有 所 体 现 。因 此 必 须 有 ：即 ：（ Properties of Linear Time-Invariant Systems） 所 以 ， 无 记 忆 系 统 的 单 位 脉 冲 /冲 激 响 应 为 ： 如 果 LTI系 统 的 单

22、 位 冲 激 /脉 冲 响 应 不 满 足 上 述 要 求 ，则 系 统 是 记 忆 的 。2. 可 逆 性 ： 如 果 LTI系 统 是 可 逆 的 ， 一 定 存 在 一 个 逆 系 统 ， 且逆 系 统 也 是 LTI系 统 ， 它 们 级 联 起 来 构 成 一 个 恒 等 系统 。 ( )x t ( )x t( )h t ( )g t h n k n 因 此 有 ：例 如 ： 延 时 器 是 可 逆 的 LTI系 统 ， ， 其逆 系 统 是 ， 显 然 有 ： 0( ) ( )h t t t 0( ) ( )g t t t 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )h t g t

23、 t t t t t 累 加 器 是 可 逆 的 LTI系 统 ， 其 ， 其 逆系 统 是 ， 显 然 也 有 ： 3. 因 果 性 ：对 连 续 时 间 系 统 有 :这 是 LTI系 统 具 有 因 果 性 的 充 分 必 要 条 件 。( ) 0, 0h t t 因 此 必 须 有 ：即 ： 根 据 稳 定 性 的 定 义 ， 由 ，若 有 界 ， 则 ;若 系 统 稳 定 ， 则要 求 必 有 界 ， 由对 连 续 时 间 系 统 ， 相 应 有 : ( )h t dt 这 是 LTI系 统 稳 定 的 充 分 必 要 条 件 4. 稳 定 性 ：可 知 ， 必 须 有 : 5. L

24、TI系 统 的 单 位 阶 跃 响 应 ： 在 工 程 实 际 中 ， 也 常 用 单 位 阶 跃 响 应 来 描 述 LTI系统 。 单 位 阶 跃 响 应 就 是 系 统 对 或 所 产 生的 响 应 。 因 此 有 : ( )u tLTI系 统 的 特 性 也 可 以 用 它 的 单 位 阶 跃 响 应 来 描 述 。 在 工 程 实 际 中 有 相 当 普 遍 的 一 类 系 统 ， 其 数 学 模 型可 以 用 线 性 常 系 数 微 分 方 程 或 线 性 常 系 数 差 分 方 程 来描 述 。 分 析 这 类 LTI系 统 ， 就 是 要 求 解 线 性 常 系 数 微分 方

25、程 或 差 分 方 程 。 ( Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations ) 回 顾 ： 分 析 动 态 电 路 的 过 渡 过 程例 ： 求 uc根 据 KVL 列 出 回 路 方 程 为 ： 由 于 电 容 的 VCR 为 ： 得 到 以 电 容 电 压 为 变 量的 电 路 方 程 ： 解 ：一 阶 RC串 联 电 路 系 统 分 析 ： 根 据 KCL、 KVL和 VCR关 系 建 立 电 路 方 程 来 描 述 电 路 系 统 回 顾 ： 一 阶 微 分 方 程 的 求 解)()()(

26、twtKxdttdx 解 的 结 构 ： 齐 次 通 解 特 解 )()()( txtxtx ph ( ) KKt hx t Ae通 解 ： 由 特 征 方 程 求 得( ) ( )px t w t特 解 ： 形 式 由 的 形 式 确 定 )cos(cos )1( 10 btQbtP QePe tQQPt QP ttl特 解 中 的 系 数 ， 由 特 解 代 入 方 程 求 出l通 解 中 的 系 数 由 初 始 条 件 求 出 二 阶 系 统 的 微 分 方 程 描 述(1)以 iL为 变 量(2)以 uc为 变 量 回 顾 ： 二 阶 RLC串 联 电 路 系 统 求 解 该 微 分

27、方 程 ， 通 常 是 求 出 通 解 和 一 个 特解 ， 则 。( )py t ( )hy t( ) ( ) ( )p hy t y t y t 一 .线 性 常 系 数 微 分 方 程 (LCCDE)（ Linear Constant-Coefficient Differential Equation）0 0( ) ( ),k kN Mk kk kk kd y t d x ta bdt dt ,k ka b 均 为 常 数例 ： 已 知 LTI系 统 ， )()()( txtydttdy 2 )()( tuetx t3且 系 统 满 足 初 始 松 弛 条 件 ， 即 if t0， x(

28、t) 0 then t0， y(t) 0 零 状 态 数 字 系 统 描 述 ： 三 阶 数 字 回 声 系 统延 时 p1p0数 字语 音信 号xn 延 时延 时 p 2p3 延 时-d2-d1 延 时-d3 有 回声 的数 字语 音yn延 时 3130 l lk k lnydknxpny 二 . 线 性 常 系 数 差 分 方 程 (LCCDE):(Linear Constant-Coefficient Difference Equation) 一 般 的 线 性 常 系 数 差 分 方 程 可 表 示 为 ：可 以 将 其 改 写 为 ：若 要 求 除 了 要 知 道 所 有 的 输 入

29、 外 ， 还 必 须 知 道 。 由 于 这 种 差 分 方 程 可 以 通 过 递 推求 解 ， 因 而 称 为 递 归 方 程 （ recursive equation） 当 时 ， 差 分 方 程 变 为 ：0, 0ka k 求 解 方 程 不 再 需 要 迭 代 运 算 ， 因 而 称 为 非 递 归 方 程（ nonrecursive equation） ， 其 系 统 单 位 脉 冲 响 应 为 ：系 统 单 位 脉 冲 响 应 是 有 限 长 的 LTI系 统 称 为 FIR（ Finite Impulse Response） 系 统 当 时 ， 为 递 归 方 程 描 述系 统

30、 的 单 位 脉 冲 响 应 是 一 个 无 限 长 的 序 列 ， 称 该LTI系 统 为 IIR（ Infinite Impulse Response)系 统0,0 kakFIR系 统 与 IIR系 统 是 离 散 时 间 LTI系 统 中 两 类 重 要 系 统 1. 离 散 时 间 系 统 的 三 种 基 本 网 络 单 元 ： 相 加 器 单 位 延 迟 乘 以 系 数例 ： 因 果 系 统 ， 建 立 该 系 统 的方 框 图 表 示 nbxnayny 1三 .系 统 的 方 框 图 表 示 2. 连 续 时 间 系 统 的 基 本 网 络 单 元 相 加 器 乘 以 系 数 微

31、分 器 积 分 器 但 由 于 微 分 器 不 仅 在 工 程 实 现 上 有 困 难 ， 而 且 对误 差 及 噪 声 极 为 灵 敏 ， 因 此 ， 工 程 上 通 常 使 用 积 分器 而 不 用 微 分 器 。 t daybxty )()()( )()()( tbxtaydttdy 例 ： 已 知 因 果 LTI系 统 ： 在 第 一 章 介 绍 单 位 冲 激 时 ， 采 用 极 限 的 观 点 ，将 视 为 在 时 的 极 限 。 这 种 定 义 或 描述 的 方 法 在 数 学 上 仍 然 是 不 严 格 的 ， 因 为 可 以有 许 多 不 同 函 数 在 时 都 表 现 为

32、与 有 相 同的 特 性 。( )t ( )t 0( )t 0 ( )t 例 如 :以 下 信 号 的 面 积 都 等 于 1， 而 且 在 时 ， 它 们 的 极 限 都 表 现 为 单 位 冲 激 。 02.5 奇 异 函 数 0 1 t( )t 0 21 t( ) ( ) ( )r t t t 0 2 41 t( ) ( )r t r t 之 所 以 产 生 这 种 现 象 ， 是 因 为 是 一 个 理 想 化的 非 常 规 函 数 ， 被 称 为 奇 异 函 数 。 通 常 采 用 在 卷 积或 积 分 运 算 下 函 数 所 表 现 的 特 性 来 定 义 奇 异 函 数 。( )

33、t一 . 通 过 卷 积 定 义 ( )t ( )t 根 据 定 义 可 以 得 出 的 如 下 性 质 ： 定 义 为 一 个 信 号 ， 对 任 何 信 号 有 ： ( )t ( ) ( ) ( )x t x t t 0 0( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t x tt t t t t t t t 当 时 ， 有( ) 1x t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1x t t x t d d ( ) 1t dt 采 样 性 ： 原 点 采 样 公 式 )()()()( tgttg 0 )()()()()()()( 000 gdttgdttgd

34、tttg 此 式 即 可 作 为 在 积 分 运 算 下 的 定 义 式 。 二 . 通 过 积 分 定 义 ( )t(0) ( ) ( )g g t t dt ( )t 是 偶 函 数 ， 即 ： ( )t ( ) ( )t t 根 据 积 分 下 的 定 义 有 ： 三 . 单 位 冲 激 偶 及 其 他 奇 异 函 数 理 想 微 分 器 的 单 位 冲 激 响 应 应 该 是 的 微 分 ，记 为 ， 从 卷 积 运 算 或 LTI系 统 分 析 的 角度 应 该 有 ： ( )t1( ) ( )du t tdt 1( ) ( ) ( )dx t u t x tdt 1( )u t 0

35、 t(1)( 1)1( )u t 所 以 称 为 单 位 冲 激 偶（ Unit doublet）微 分 器( )x t ( )dx tdt 奇 异 函 数 的 定 义 ： 由 ， 的 各 阶 导 数 及 的 各 次 积 分 组 成 的一 个 函 数 族 。奇 异 函 数 的 符 号 表 示 ： ( )t ( )t( )t )()()()()()(! ttttutRtunt nn ，11 )()()()()()( tutututututu nn 1012 ， 运 算 定 义 ： t dxtutx )()()( 1 个nn tutututu )()()()( 个nn tutututu )()()

36、()( 111 性 质 ： )()()( tututu rkrk LTI系 统 的 时 域 分 析 卷 积 和 与 卷 积 积 分 LTI系 统 的 描 述 方 法 ： 用 描 述 系 统 （ 也 可 用 描 述 ） 用 LCCDE连 同 零 初 始 条 件 描 述 LTI系 统本 章 主 要 讨 论 了 以 下 内 容 ： 信 号 的 时 域 分 解 : 奇 异 函 数 。 ( )h t 、 用 方 框 图 描 述 系 统 （ 等 价 于 LCCDE描 述 ） 。 记 忆 性 、 因 果 性 、 稳 定 性 、 可 逆 性 与 的 关 系 ； 系 统 级 联 、 并 联 时 ， 与 各 子 系 统的 关 系 。 LTI系 统 的 特 性 与 的 关 系 ： 见 黑 板