《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数

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1、1 一 、 集 合二 、 函 数 概 念四 、 函 数 的 特 性五 、 反 函 数六 、 基 本 初 等 函 数七 、 复 合 函 数 初 等 函 数映 射 与 函 数第 一 节三 、 映 射 2 具 有 特 定 性 质xxM 有 限 集无 限 集 映 射 与 函 数第 一 节一 .集 合 :、 集 合1 , 9210 M如 ),( 1222 yxyxM如、 集 合 间 的 关 系 ：2 ） 子 集 ；（ 1 ） 集 合 相 等 ；（ 2 ） 空 集 ；（ 3 3 ） 集 合 运 算 ：（ 4 BxAxxBA 且如 BxAxxBA 或 者、 常 用 数 的 集 合 ：3 N-自 然 数 集

2、Z-整 数 集Q-有 理 数 集 R-实 数 集数 集 间 的 关 系 : ., RQQZZN 4 4.区 间 与 记 号 : ., baRba 且 , bxaxba 闭 区 间 ：o xa bo xa b开 区 间 ： ),( bxaba 5 ), bxaxba ,( bxaxba 半 开 区 间 ： ), xaxa ),( bxxb 无 限 区 间 ),( Rxx 6 5.邻 域 : ., 0 且是 两 个 实 数与设 a ),( aU记 作 ,叫 做 这 邻 域 的 中 心点 a .叫 做 这 邻 域 的 半 径 .),( axaxaU即 :邻 域的 去 心 的点 a .),( axxa

3、U 0 , 邻 域的称 为 点数 集 aaxx a )( aa 7 、 两 闭 区 间 的 直 积6 ,),(, dcybaxyxdcba 平 面 上 的 矩 形 区 域 。它 表 示 xoy 8 7.常 量 与 变 量 : 在 某 过 程 中 数 值 保 持 不 变 的 量 称 为 常 量 ,通 常 用 字 母 a, b, c等 表 示 常 量 ,而 数 值 变 化 的 量 称 为 变 量 .用 字 母 x, y, t等 表 示 变 量 . 9 二 、 函 数 概 念引 例 匀 速 直 线 运 动 : ), 0ttvs圆 的 面 积 与 半 径 的 关 系 ： ),(, 02 rrA 定 义

4、 ： 是 两 个 变 量 ，和设 yx 是 一 个 给 定 的 数 集 ，D 按 照 一 定 法 则变 量如 果 对 于 每 个 数 yDx , 应 ，总 有 确 定 的 数 值 和 它 对 的 函 数 ，是则 称 xy 10 )(xfy记 作x x D称 为 自 变 量 ， 的 取 值 范 围 称 为 定 义 域 ；1、 函 数 的 三 要 素 : 定 义 域 、 值 域 和 对 应 关 系 ；说 明 ： xy sin如 的 函 数 ，是 xy ), 0定 义 域 为 ., 11值 域 为 .2 2cos1)(,sin)( xxgxxf 如 ).()( xgxf 11 、 单 值 函 数 ：

5、2 4xy如多 值 函 数 ： 122 yx如 值 域 。、 会 求 函 数 的 定 义 域 及3例 1. 求 下 列 函 数 的 定 义 域 : ;)( 21 11 2 xxy解 , 02 1xx由 故 定 义 域 为 ),1()1,1()1,2 D 12 )(lg)(arccos)( xxy 2112 解 因 11 x 021 x 即 20 x21x故 定 义 域 为 ),0 21D 13 (1) 符 号 函 数 01 00 01 xxxxy 当当当sgn3、 几 个 特 殊 的 函 数 举 例1 -1 xyo xxx sgn( , ),D 定 义 域 1,0,1W 值 域图 形 ： 14

6、 (2) 取 整 函 数 ： y=x 1 2 3 4 5 -2 -4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3 xyo阶 梯 曲 线53如 ,0 3 ,1 8 ,8 8.3 .4( , ),D 定 义 域 W Z值 域图 形 ： x表 示 不 超 过 的 最 大 整 数x 15 （ 3） 分 段 函 数 函 数 。用 几 个 式 子 表 示 的 一 个 0,1 0,12)(, 2 xx xxxf例 如 12 xy12 xy ),( D定 义 域 )2(f ,3 )(3f .5 16 (4) 取 最 值 函 数 )(),(max xgxfy )(),(min xgxfy y xo )(xf

7、 )(xg y xo )(xf )(xg 是 无 理 数 时当 是 有 理 数 时当 xxxDy 01)( 有 理 数 点无 理 数 点 1 xyo(5) 狄 利 克 雷 (Dirichlet)函 数 6 例 2 .)3(,212 101)( 的 定 义 域求 函 数设 xfxxxf解 1 0 3 1( 3) 2 1 3 2xf x x 1 0 1( ) 2 1 2xf x x 122 231 xx 1,3: D故 19 例 3 试 将 函 数 ,min)( 2xxxf 用 分 段 函 数 表 示 .解 作 出 ,xy 2xy 的 图 形 , ,min)( 2xxxf 1, 11, 1,2 x

8、x xx xx三 、 映 射 （ 自 学 ） 20 四 、 函 数 的 特 性 ,)(, 成 立有若 MxfXxMDX 01 函 数 的 有 界 性 : ） 上 有 界 ，在 （如 22 xxy cos ） 上 有 界 ，在 （ 2112xy ） 上 无 界 。，在 （ 10 .)( 否 则 称 无 界上 有 界在则 称 函 数 Xxf 21 2 函 数 的 单 调 性 :, Ixx 21 当 21 xx 时 ,),()( 21 xfxf 若 上 的 单 调 增 加 函 数 ；为称 Ixf )(,)()( 21 xfxf 若 上 的 单 调 减 少 函 数 ；为称 Ixf )( 单 增如 3x

9、yxy , ?2xy 22 3 函 数 的 奇 偶 性 :偶 函 数 有对 于关 于 原 点 对 称设 , DxD )()( xfxf y x)( xf )(xfyo x-x )(xf;)( 为 偶 函 数称 xf 23 有对 于关 于 原 点 对 称设 , DxD )()( xfxf ;)( 为 奇 函 数称 xf 奇 函 数)( xf y x)(xfo x-x )(xfy 24 偶 函 数如 24 2xxxgxxf )(,cos)( )ln()(,ln)(,)( 111 23231 xxxfxxxfxxf 均 为 奇 函 数xxxf cos)( 都 不 是 25 4 函 数 的 周 期 性

10、 :通 常 说 周 期 函 数 的 周 期 是 指 其 最 小 正 周 期, 0 lDx )()( xflxf 使为 周 期 函 数 。称 )(xf x o2 y 2xy sin如 思 考 ： 狄 利 克 雷 (Dirichlet)函 数 的 周 期 性 26 五 、 反 函 数 )()( yxxfy 所 确 定 的 函 数由 ).(xy 也 可 记 作 为 12 xy如 ： ,2 1 yx反 函 数 ： ;2 1 xy也 可 写 成 ： xey ,ln yx反 函 数 ： .ln xy也 可 写 成 ： 27)(xfy 直 接 函 数 xyo ),( abQ ),( baP )(xy 反 函

11、 数说 明 ： 对 称 ；图 形 关 于） 原 函 数 与 其 反 函 数 的（ xy 1 28 一 定 是 单 值 函 数 ，） 单 值 函 数 的 反 函 数 不（ 2 2xy如 ： .yx 反 函 数 ：单 调 增 （ 减 ） ，） 若（ )(xfy3 ） 。其 反 函 数 也 单 调 增 （ 减 29 六 、 基 本 初 等 函 数1.幂 函 数 )( 是 常 数xy o xy )1,1(112xy xyxy 1 xy 30 2.指 数 函 数 ),( 10 aaay x xay xay )(1 )1( a)1,0( xey 31 3.对 数 函 数 ),(log 10 aaxy a

12、xy lnxy alog xy a1log )( 1a)0,1( 32 4.三 角 函 数正 弦 函 数 xy sinxy sin 33 xy cosxy cos余 弦 函 数 34 正 切 函 数 xy tan xy tan 35 xy cot余 切 函 数 xy cot 36 正 割 函 数 xy sec xy sec 37 xy csc余 割 函 数 xy csc 38 5.反 三 角 函 数 xy arcsinxy arcsin反 正 弦 函 数 39 xy arccosxy arccos反 余 弦 函 数 40 xy arctanxy arctan反 正 切 函 数 41 幂 函 数

13、 ,指 数 函 数 ,对 数 函 数 ,三 角 函 数 和 反三 角 函 数 统 称 为 基 本 初 等 函 数 . xarcy cot反 余 切 函 数 xarcy cot 42 七 、 复 合 函 数 初 等 函 数1.复 合 函 数 ,uy设 ,21 xu 21 xy 定 义 : 设 函 数 )(ufy 的 定 义 域 fD , 而 函 数)(xu 的 值 域 为 Z , 若 ZDf , 则 称函 数 )( xfy 为 x的 复 合 函 数 . ,自 变 量x ,中 间 变 量u ,因 变 量y 43 注 意 : 1.不 是 任 何 两 个 函 数 都 可 以 复 合 成 一 个 复 合

14、 函数 的 ; ,arcsinuy例 如 ;22 xu )arcsin( 22 xy 2.复 合 函 数 可 以 由 两 个 以 上 的 函 数 经 过 复 合 构 成 .,cot 2xy例 如 ,uy ,cotvu .2xv2.初 等 函 数 由 常 数 和 基 本 初 等 函 数 经 过 有 限 次 四 则 运 算 和 有限 次 的 函 数 复 合 步 骤 所 构 成 并 可 用 一 个 式 子 表 示 的 函数 ,称 为 初 等 函 数 . 44 例 1. 求 212 10 01 12 xe xx xxy x ,ln , 的 反 函 数 及 其 定 义 域 .解 时 ，当 01 x ,(

15、 102 xy 1,0(, yyx时 ，当 10 x ,0,(ln xy 时 ，当 21 x ,2,2(2 1 eey x ,(, 0 xey x即 反 函 数 ,(, 10 xxy即 反 函 数 0,(, yex y 45 反 函 数 y ,(,ln exx 221 2 ,(, 10 xx 0,(, xex定 义 域 为 ,(,( e221 2,2(,ln1 2 eyx y 反 函 数 2,2(,ln1 2 exy x 即 46 八 、 双 曲 函 数 与 反 双 曲 函 数2sinh xx eex 双 曲 正 弦 xy cosh xy sinh),(: D 奇 函 数 .2cosh xx

16、eex 双 曲 余 弦 ),(: D 偶 函 数 .1.双 曲 函 数 xey 21 xey 21 47 xx xx ee eexxx coshsinhtanh双 曲 正 切 奇 函 数 ,),(: D 有 界 函 数 , 48 双 曲 函 数 常 用 公 式 ;sinhcoshcoshsinh)sinh( yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh( yxyxyx ;1sinhcosh 22 xx ;coshsinh22sinh xxx .sinhcosh2cosh 22 xxx 49 九 、 小 结基 本 概 念集 合 , 区 间 , 邻 域 , 常 量 与 变 量 , 绝 对 值 .函 数 的 概 念函 数 的 特 性有 界 性 ,单 调 性 ,奇 偶 性 ,周 期 性 .反 函 数 50 函 数 的 分 类函数 初等函数非 初 等 函 数 (分 段 函 数 ,有 无 穷 多 项 等 函 数 )代数函数超 越 函 数 有理函数无 理 函 数有 理 整 函 数 (多 项 式 函 数 )有 理 分 函 数 (分 式 函 数 ) 51 2111 P习 题 18,17,16),5)(3)(1(14),5)(3)(1(12 ,11,10),1(7,6),3)(2(5),9)(7)(5)(3)(1(4 作 业