高中数学解题的理论与技巧第一篇理论篇

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1、高 中 数 学 解 题 方 法 与 技 巧 专 题 研 究 数 学 究 竟 是 由 什 么 组 成 的 ？ 定 理 吗 ？ 证 明吗 ？ 概 念 ？ 定 义 ？ 理 论 ？ 公 式 ？ 诚 然 ， 没有 这 些 组 成 部 分 ， 数 学 就 不 存 在 ， 这 些 都是 数 学 的 必 要 组 成 部 分 ， 但 是 ， 它 们 中 的任 何 一 个 都 不 是 数 学 的 心 脏 ， 数 学 家 存 在的 主 要 理 由 就 是 解 决 问 题 。 因 此 ， 数 学 的真 正 的 组 成 部 分 是 问 题 和 解 ， 问 题 才 是 数学 的 心 脏 。 哈 尔 莫 斯 掌 握 数 学

2、 就 意 味 着 善 于 解 题 ， 解 题 就 是 在原 先 是 隔 开 的 事 物 或 想 法 （ 已 有 的 事 物 与要 求 的 事 物 、 已 知 量 和 未 知 量 、 假 设 与 结论 ） 之 间 去 找 出 联 系 这 种 联 系 就 像 一座 桥 像 是 一 条 由 一 系 列 结 论 组 成 的 链 。解 题 是 一 种 本 领 ， 不 仅 要 能 解 决 普 通 的 问题 ， 而 且 要 能 解 决 需 要 某 种 程 度 的 独 立 思考 、 判 断 力 、 独 创 性 和 想 象 力 的 问 题 。 波 利 亚 美 国 全 国 数 学 管 理 者 大 会 在 21世

3、纪的 数 学 基 础 （ 1988） 中 指 出 ： 学 习数 学 的 主 要 目 的 在 于 问 题 解 决 。 并 把“ 问 题 解 决 ” 定 义 为 “ 将 先 前 已 获 得的 知 识 用 于 新 的 、 不 熟 悉 的 情 境 的 过程 。 这 就 是 说 ， 问 题 解 决 是 一 个 发 现的 过 程 、 探 索 的 过 程 、 创 新 的 过 程 。 中 学 数 学 教 学 的 首 要 任 务 就 是 加 强 解题 能 力 的 训 练 。 解 题 是 一 种 实 践 性 的技 能 ， 没 有 万 能 的 方 法 ， 只 能 采 用 探索 、 尝 试 或 试 验 的 方 法 ，

4、 只 能 通 过 模仿 和 实 践 来 学 到 。 波 利 亚 寻 找 题 解 不 能 教 会 ， 而 只 能 靠 自 己 学会 。 弗 里 德 曼 学 数 学 如 同 下 围 棋 ， 必 须 实 践 (做 习 题 )，必 须 和 较 高 水 平 的 人 切 磋 (做 有 一 定 难度 的 题 )， 棋 力 (数 学 水 平 )才 有 长进 此 外 ， 还 需 揣 摩 成 局 (学 习 定 理 的证 明 或 著 名 问 题 的 解 法 )， 领 会 其 精 髓(深 刻 的 数 学 思 想 ) 。 单 墫 开 设 数 学 课 程 的 主 要 目 的 是 教 会 学 生 如 何思 考 。 “ 教

5、会 思 考 ” 意 味 着 数 学 教 师 不 仅 仅 应 该传 授 知 识 ， 而 且 也 应 当 去 发 展 学 生 运 用 所传 授 的 知 识 的 能 力 数 学 的 发 现 第 二 卷 教 师 必 须 通 晓 他 所 要 讲 授 的 内 容 。 他 应 该指 导 学 生 如 何 解 题 。 但 是 ， 如 果 连 他 自 己都 搞 不 清 楚 ， 又 怎 么 能 教 他 的 学 生 呢 ？ 教师 应 该 提 高 学 生 们 的 才 智 和 推 理 能 力 ； 教师 应 该 能 发 现 并 鼓 励 创 造 性 的 见 解 。 但 是 ，教 师 往 往 对 自 己 所 学 的 课 程 并

6、 没 有 充 分 掌握 ， 而 且 也 没 有 考 虑 到 如 何 发 扬 他 自 己 的技 能 、 推 理 能 力 、 解 题 能 力 以 及 创 造 性 。依 我 看 ， 这 就 是 现 在 对 中 学 数 学 教 师 的 培养 中 存 在 的 最 大 缺 陷 。 波 利 亚 应 当 给 学 生 以 适 合 他 们 程 度 的 问 题 去引 起 他 们 的 好 奇 心 ， 并 且 用 一 些 吸 引人 的 问 题 来 帮 助 他 们 解 题 ， 这 样 做 会引 起 学 生 们 对 独 立 思 考 的 兴 趣 并 教 给他 们 一 些 方 法 。 波 利 亚 数 学 解 题 案 例 渗 透

7、 着 对 特 定 数 学 问 题的 深 刻 反 思 ,反 映 了 数 学 解 题 实 践 的 经验 与 方 法 ,蕴 涵 着 一 定 程 度 的 理 论 原 理 ,是 了 解 解 题 教 学 的 窗 口 ,数 学 问 题 解 决的 源 泉 ,是 数 学 解 题 理 论 的 故 乡 ,是 数 学教 师 发 展 的 阶 梯 . 1995年 北 京 文 科 高 考 状 元 段 楠 说 :“我能 学 好 数 学 是 背 例 题 背 出 来 的 .我 不 喜欢 题 海 战 术 ,我 喜 欢 从 每 一 种 类 型 的 题中 找 出 一 两 道 典 型 “ 背 ” 下 来 .刚 开 始的 例 题 可 能

8、不 会 ,但 “ 背 ” 过 一 两 次 ,理解 之 后 ,再 看 到 这 种 类 型 就 拿 着 “ 例 题 ”往 里 套 了 .” 成 功 的 数 学 家 大 都 有 乐 而 不 疲 多 做 题 的 经 历 . 解 题 就 是 把 题 归 结 为 已 经 解 过 的 题 . 前 苏 联 著 名 数 学 家 雅 诺 夫 斯 卡 娅 寻 找 题 解 就 好 像 去 抓 石 堆 里 的 老 鼠 .这 有 两种 方 法 :一 种 是 可 以 把 这 个 石 堆 的 石 头 一 块接 一 块 地 逐 渐 地 搬 开 ,直 到 露 出 老 鼠 来 .这 时 ,再 扑 上 去 ,抓 住 它 .另 一 种

9、 就 是 围 绕 石 堆 不 停止 地 来 回 走 动 ,并 留 心 观 察 ,看 看 什 么 地 方 露出 老 鼠 尾 巴 没 有 .一 旦 发 现 老 鼠 尾 巴 ,就 用 手抓 住 它 ,并 把 老 鼠 从 石 堆 里 拖 出 来 . 前 苏 联 著 名 数 学 家 塔 尔 塔 科 夫 斯 基 在 数 学 教 学 中 ， 出 于 巩 固 知 识 内 容 和 熟 练 常 规 思 路 的 目 的 ， 大 多 使 用 结 构 良 好 的 封 闭 题 ， 其 内 容 是 熟 知 的 ， 形 式 是 标 准 的 ， 方 法 是 现 成 的 ， 答 案 是确 定 的 ， 条 件 恰 好 不 多 不

10、少 ， 学 生 通过 对 教 材 的 模 仿 和 操 作 性 练 习 ， 基 本上 就 能 完 成 的 常 规 性 “ 练 习 题 ” 。 例 1: (1995年 全 国 高 考 数 学 理 科 题 ) 在 复 平 面 上 ,一 个 正 方 形 的 四 个 顶 点 按 照 逆 时 针 方 向 依 次 为 Z1,Z2,Z3,O(其 中 O是 原 点 ), 已 知 Z2复 数 对 应 ,求 Z1和 Z3对 应的 复 数 . y Z2 Z3 Z1 o x 2 1 3z i 解 法 1: 如 图 ,由 复 数 乘 法 的 几 何 意 义 有解 法 2:由 复 数 运 算 的 几 何 意 义 有加 减

11、消 元 即 得 .1 21 3 1 3 1cos( ) sin( )4 4 2 22z z i 3 21 1 3 1 3(cos sin )4 4 2 22z z i 3 1 2 1 3z z z i 3 1 2 3z z z i i 例 2: （ 1999年 全 国 理 科 高 考 题 ）若则 ( ) A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 例 3: (2004年 天 津 理 科 高 考 题 )若则例 4: (2007年 安 徽 高 考 数 学 题 )已 知则 ( )4 2 3 40 1 2 3 4(2 3) ,x a a x a x a x a x 2 20 2 4 1 3( ) ( )

12、a a a a a 2004 2 20040 1 2 2004(1 2 ) ( )x a ax a x a x x R 0 1 0 2 0 3 0 2004( ) ( ) ( ) ( )a a a a a a a a 5 2 3 4 50 1 2 3 4 5(1 )x a ax a x a x a x a x 0 2 4 1 3 5( )( )a a a a a a 例 5: 已 知 点 P在 椭 圆 b2x2+a2y2=a2b2上 ,F,F 为 这 曲 线 的 焦 点 , , 的 面 积 为 S,求 证 :解 : 由 , 得 ,则 FPF FPF2 tan 2S b 2PF PF a 2 2

13、24 2 cosc PF PF PF PF 2 22( )1 cosa cPF PF 2 2 21 1 2( )sin sin tan2 2 1 cos 2a cS PF PF b 例 6： “ 糖 水 加 糖 变 甜 了 ” ， 请 以 这 一 生 活常 识 为 背 景 提 炼 出 一 个 数 学 命 题 ， 然 后 给出 严 格 的 数 学 证 明 。答 案 ： 若 ba0,m0， 则 a/ba10, b2a20,则 有a1/b1a2/b2 a1/b1a1+a2/b1+b2a2/b2.拓 展 情 境 3:取 浓 度 不 等 的 两 杯 糖 水 ， 它 们 有一 个 平 均 浓 度 ， 合

14、在 一 起 后 又 有 一 个 浓 度 ，这 两 个 浓 度 哪 个 大 ？答 案 ： 这 是 一 个 有 挑 战 性 的 问 题 ， 需 比 较 与 的 大 小 。 1 21 21 ( )2 a ab b 1 21 2a ab b 变 式 2： （ 1989年 广 东 数 学 高 考 题 ） 如 果 0mbb0),自 中 心 作 两条 互 相 垂 直 的 弦 AC,BD.顺 次 连 结 A,B,C,D得一 四 边 形 ,记 其 面 积 为 S,在 所 有 这 样 的 四 边 形中 ,求 S的 最 大 值 .解 :由 对 称 性 知 ,只 须 求 出 AOB的 面 积 .设 A的 坐 标为 ,

15、( ),由 OA OB得 B的 坐 标 为则 S=4S AOB=2OAOBOA2+OB2=(a2cos2+ b2sin2)+ (a2sin2+ b2cos2)=a2 + b2 2 22 2 1x ya b 11 cossinx aA y b 0 2 22 cos( ) sin2sin( ) cos2x a aB y b b 例 8:求 函 数 (a0)的 最 大 值 与 最 小 值 . 解 :题 目 的 结 构 像 斜 率 公 式 ,故 取 A(a2x2,ax), B(-2,1),则 A在 抛 物 线 y2=x上 ,问 题 转 化 为 求抛 物 线 上 动 点 A与 定 点 B的 连 线 的

16、斜 率 的 最 大值 与 最 小 值 .设 过 B(-2,1)的 直 线 方 程 为 y=k(x+2)+1,代 入抛 物 线 方 程 y2=x得 其 判 别 式 非 负解 得 ,所 以 最 大 值 为 ,最 小 值为 2 2 12axy a x 2 1 1( 2) 0y yk k 21 14( 2) 0k k 1 3 1 34 4k 1 34 1 34 例 9:设 , 是 已 知 的 复 数 (| |1),解 关 于 z的 方 程解 :对 已 知 式 求 共 轭 复 数与 上 式 联 立 可 解 得z z z z 21z 例 10:(1995年 数 学 高 考 题 ) 等 差 数 列 an ,

17、 bn 的 前 n项 和 分 别 为Sn与 Tn,若 ,则 等 于 ( )解 :由 极 限 的 性 质 有23 1nnS nT n lim nn nab 1 11 1( )lim lim lim ( )n n nn n nn n na a a n a ab b b n b b 2 2lim lim2 3n nn nn nS ST T 例 11: (1992年 数 学 高 考 理 科 题 )在 (x2+3x+2)5的 展 开 式 中 x的 系 数 为 ( )A. 160 B. 240 C. 360 D. 800解 :因 为 x2乘 以 式 中 的 另 两 项 不 会 产 生 一 次 项x,故 确

18、 定 x的 系 数 与 x2项 无 关 ,只 须 考 虑(3x+2)5展 开 式 中 的 x项 就 够 了 :C54(3x) 24=240 x,选 B. 例 12: (1992年 数 学 高 考 题 )如 果 函 数 f(x)=x2+bx+c对 任 意 实 数 t都 有f(2+t)=f(2-t),那 么 ( )A. f(2)f(1)f(4) B. f(1)f(2)f(4)C. f(2)f(4)f(1) D. f(4)f(2)0, 根 据 椭 圆 的 定 义 ,原 点 到 两 焦 点 距 离 之 和 为2a,则 2a= | 0-z1|+ | 0-z2|= | z1|+ | z2|= 2| z1|

19、 1 1 1 22 2 2z z zz q 1z 例 10: 已 知 abc0, , ,m,n Z,且 , 求 证 :证 明 : 已 知 表 明 不 同 的 两 点都 在 直 线 ax+by=c上 ,但 A,B又 决 定 一 条 直 线方 程即因 为 两 点 确 定 唯 一 一 条 直 线 ,所 以 ,上 述 两 条直 线 重 合 ,得 对 应 系 数 成 比 例 ,即 得 证 .cos sin cos2 2 2a b c m n cos sina b c cos sina b c (cos ,sin ), (cos ,sin )A B (cos cos )( sin ) (sin sin )

20、( cos )y x cos sin cos2 2 2x y 例 11: (2004年 广 东 数 学 高 考 题 )设 直 线 与 椭 圆 相 交 于 A、 B两 点 ,又 与 双 曲 线 x2-y2=1相 交 于 C、 D两 点 , C、 D三 等 分 线 段 AB,求 直 线 的 方 程 .解 :从 题 设 的 椭 圆 方 程 与 双 曲 线 方 程 可 知 ,它 们 的 图 形 既 关 于 x轴 ,又 关 于 y轴 对 称 ,既 然C、 D三 等 分 线 段 AB,则 有 AC=CD=DB,则 直线 也 应 该 关 于 x轴 、 y轴 或 坐 标 原 点 对 称 .设 直 线 的 方

21、程 为 y=kx+b,则l 2 2 125 16x y ll l l (1)当 k=0时 ,y=b,直 线 轴 .分 别 把 y=b代 入椭 圆 与 双 曲 线 的 方 程 得因 为 AB=3CD,所 以 x2-x1=3(x4-x3),即 ,从 而 ,所 以 直 线的 方 程 为(2)当 斜 率 k不 存 在 时 ,直 线 的 方 程 x=c,直 线 轴 ,类 似 (1)可 得 ,直 线 的 方 程 为(3)当 斜 率 k0时 ,由 图 形 的 对 称 性 可 知 b=0,则 y=kx,此 时 直 线 通 过 坐 标 原 点 ,类 似 (1)得l x 2 21,2 3,45 16 , 14x

22、b x b 2 210 16 6 14 b b 1613b l1613y ll y l 25241x l1,2 3,42 220 1,16 25 1x xk k 根 据 x2-x1=3(x4-x3),可 得 ,从 而 直 线 的 方 程 为 1625k l1625y x 例 12: 对 a,b,c,d,m R,m-1,且 (a-c)2+ (b-d)20,求 证 :证 法 1:由 柯 西 不 等 式 有证 法 2:在 坐 标 平 面 上 取 点 A(a,b),B(c,d),直 线 AB上的 其 他 点 为 又 与 AB平 行 且 过 原 点 的 直 线 为 l:(b-d)x-(a-c)y=0.则

23、 M到 l的 距 离 不 大 于 OM,得 ,得 证 .2 22 2 ( ) ( )1 1( ) ( )ad bc a mc b mdm ma c b d 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1b md a mc b md a mcad bc a c d b a c d bm m m m ( , )1 1a mc b mdM m m 2 22 2( ) ( )1 1 ( ) ( )1 1( ) ( )a mc b mdb d a c a mc b mdm m m ma c b d 例 13: (1994年 全 国 数 学 高 考 文 科 试 题 )设 数 列

24、 an 的 前 n项 和 为 Sn,若 对 于 所 有 的正 整 数 n,都 有 ,证 明 : an 是 等差 数 列 .证 明 :当 n2时 ,变 形 为而 为 了 证 明 an 是 等 差 数 列 ,只 须 证 (1,a1),(n-1, an-1), (n,an)3点 共 线 ,写 成 表 达 式 就 是 ,只 需 将 上 式 两 边 同 时 减 去 (n-2)a 1即 得 证 .即 1( )2 nn n a aS 1 1 1( ) ( 1)( )2 2n nn n a a n a aa 1 1( 1) ( 2)n nn a a n a 1 1 11 ( 1) 1n na a a an n

25、 1 1 1 3 1 2 11 2 2 1n na a a a a a a an n 例 14:设 mn,mn 0,a1, 求分 析 :由 已 知 有 , ,代 入 求 值 式 ,数 字 繁 多 ,运 算 复杂 ,若 用 x表 示 a,则 由 已 知 有 , ,则得 证 . 22( 1) mnm nx a a 1 1 1 12 2( ) 4m n m nx x a x 1 22( 1) nm m nx a a 1 22( 1) mn m nx a a 1 1 2( )2( 1) m nm n m nx a a 2 21 m nmna a x 2 21 n mmna a x 2 22 m n n

26、 mmn mna x x 1 1 1 1 1 12 2 2 22 2 2 2 24 ( ) ( ) ( )m n n m m n n m m nm n mn mn m n mn mn mn n max x x x x x x x x 例 15: 当 正 数 a为 何 值 时 ,抛 物 线 与 椭 圆 有 4个 不 同 的 交 点 .解 :作 出 抛 物 线 与 椭 圆 的 图 形 如 图 ,抛 物 线 与 y o xx轴 的 交 点 为 M(4,0), M1(-4,0);椭 圆 与 x轴 的 交点 为 A(a,0), A1(-a,0).要 它 们 有 4个 交 点 ,须A,A 1位 于 M,

27、M1之 外 ,故 得 a4. 2 44xy 2 22 2 13x ya 评 析 :由 于 图 形 未 反 映 出 精 确 的 数 量 关 系 ,直 观 造 成了 错 觉 ,以 为 “ A,A1位 于 M, M1之 外 ” 是 两 曲 线有 4个 交 点 的 充 要 条 件 .其 实 ,这 只 是 充 分 而 不 必 要 条 件 .事 实 上 ,联 立 两 方 程 消 去 x得 关 于 y的 二 次 方 程a2y2-36y+(144-9a2)=0.其 两 根 在 (-3,3)内 .记 f(y)= a2y2-36y+(144-9a2),这 是 一 个 开 口 向 上 的抛 物 线 .方 程 f(y

28、)= 0的 两 根 在 (-3,3)内 的 充 要 条 件 为 , 解 得 22( 3 ) 0( 3 ) 01 83 31 8( ) 0ff af a 7 1a 例 16:已 知 椭 圆 ,直 线 l: .P是 l上 一 点 ,射 线 OP交 椭 圆 于 点 R,又 点 Q在 OP上且 满 足 |OQ|OP|= |OR|2.当 点 P在 L上 移 动 时 ,求 点 Q的 轨 迹 ,并 说 明 轨 迹 是 什 么 曲 线 .解 :问 题 的 难 度 在 于 Q(x,y)同 时 受 到 两 个 动 点P(xP,yP), R(xR,yR)的 约 束 ,为 了 化 解 这 个 难 点 ,我 们 引 进

29、 辅 助 参 数 (0,1),使 则 ,则 ,2 2 124 16x y 11 2 8x y OQ OROR OP 2OQOR OR OQOP RR xx yy 22PP xx yy 分 别 代 入 所 在 的 曲 线 方 程 得相 减 即 得 Q的 轨 迹 方 程其 中 0知 ,不 包 括 原 点 . 2 2 222 4 1 61 2 8x yx y 2 224 16 12 8x y x y 例 17: 已 知 ,求 证 :证 法 1:已 知 条 件 表 明 点 在 单 位圆 上 ,又 由 显 然 的 恒 等 式知 ,A点 在 过 B(cos,sin)(也 在 单 位 圆 上 )的切 线 x

30、cos+ysin=1上 .由 切 点 的 唯 一 性 得A,B重 合 .则 ,即代 入 则 得 证 . 4 42 2cos sin 1cos sin 4 42 2co s sin 1co s sin 2 2cos sin( , )cos sinA 2 2cos sincos sin 1cos sin 22cos coscossin sinsin 2 22 2cos cossin sin 证 法 2: 由 平 均 不 等 式 有则所 以代 入 即 得 证 .4 2 22cos cos 2 coscos 4 2 22sin sin 2sinsin 4 42 2 2 2cos sin2 cos si

31、n 2cos sin 4 224 22cos coscossin sinsin 货 源 充 足 和 组 织 良 好 的 知 识 仓 库 是 一 个 解题 者 的 重 要 资 本 .解 题 所 做 的 脑 力 工 作 就 在于 回 忆 他 的 经 验 中 用 得 上 的 东 西 ,并 且 和 他的 解 题 思 维 联 系 起 来 . 如 果 你 希 望 从 自 己 的 努 力 中 ,取 得 最 大 的 收获 ,就 要 从 已 经 解 决 了 的 问 题 中 找 出 那 些 对将 来 的 问 题 可 能 有 用 的 特 征 .解 题 中 ,一 个 好念 头 的 基 础 是 过 去 的 经 验 和

32、已 有 的 知 识 . 波 利 亚 教 学 生 解 题 是 意 志 的 教 育 .当 学 生 求 解 那 些对 他 来 说 并 不 太 容 易 的 题 目 时 ,他 学 会 了 败而 不 馁 ,学 会 了 赞 赏 微 小 的 进 展 ,学 会 了 等 待主 要 的 念 头 ,学 会 了 当 主 要 念 头 出 现 后 全 力以 赴 .如 果 学 生 在 学 校 里 没 有 机 会 尝 尽 为 求解 而 奋 斗 的 喜 怒 哀 乐 ,那 么 他 的 数 学 教 育 就在 最 重 要 的 地 方 失 败 了 . 波 利 亚 “怎 样 解 题 表 ”弄清题意 拟定计划 执行计划 检验回顾 变 换 ,

33、推 广 ,类比 ,作 出 新 的数 学 发 现 .概 括 方 法 论 因素 ,建 立 数 学模 型 . 弄 清 问 题1) 已 知 是 什 么 ? 2) 未 知 是 什 么 ? 3) 题 目 要 求 你 干 什 么 ? 4) 可 否 画 一 个 图 形 ? 5) 可 否 数 学 化 ? 拟 定 计 划6)你 能 否 一 眼 看 出 结 果 ?7)是 否 见 过 形 式 上 稍 有 不 同 的 题 目 ?8) 你 是 否 知 道 与 此 有 关 的 题 目 ,是 否 知 道 用 得 上 的定 义 ,定 理 公 式 ?9) 有 一 个 与 你 现 在 的 题 目 有 关 且 你 已 解 过 的 题

34、 目 ,你 能 利 用 它 吗 ?10) 已 知 条 件 A,B,C可 否 转 化 ?可 否 建 立 一 个等 式 或 不 等 式 ?11) 你 能 否 引 入 辅 助 元 素 ?12) 如 果 你 不 能 解 这 个 题 ,可 先 解 一 个 有 关 的 题 ,你能 否 想 出 一 个 较 易 下 手 的 ,较 一 般 的 ,特 殊 的 ,类 似的 题 ? 实 现 计 划13)把 你 想 好 的 解 题 过 程 具 体 地 用 术 语 ,符 号 ,图 形 ,式 子 表 述 出 来 .14)修 正 解 题 方 向 以 及 原 来 拟 定 的 不 恰 当 的 方案 .15)解 题 要 求 是 :

35、严 密 具 有 逻 辑 性 . 回 顾 反 思16)你 能 拟 定 其 它 解 题 方 案 吗 ?17)你 能 利 用 它 吗 ?你 能 用 它 的 结 果 吗 ?你 能用 它 的 方 法 吗 ?18)你 能 找 到 什 么 方 法 检 验 你 的 结 果 吗 ? 正 如 波 利 亚 所 说 ， 这 是 “ 领 会 方 法 的 最 佳时 机 ” ， “ 当 读 者 完 成 了 任 务 ， 而 且 他 的体 验 在 头 脑 中 还 是 新 鲜 的 时 候 ， 去 回 顾 他所 做 的 一 切 ， 可 能 有 利 于 探 究 他 刚 才 克 服困 难 的 实 质 ， 他 可 以 对 自 己 提 出

36、 许 多 有 用的 问 题 ： 关 键 在 哪 里 ？ 重 要 的 困 难 是 什么 ？ 什 么 地 方 我 可 以 完 成 得 更 好 些 ？ 我 为什 么 没 有 觉 察 到 这 一 点 ？ 要 看 出 这 一 点 我必 须 具 备 哪 些 知 识 ？ 应 该 从 什 么 角 度 去 考虑 ？ 这 里 有 没 有 值 得 学 习 的 诀 窍 可 供 下 次遇 到 类 似 问 题 时 应 用 ？ ” 怎 样 解 题 表 是 波 利 亚 在 分 解 解 题 的 思 维过 程 得 到 的 ， 看 似 很 平 常 的 解 题 步 骤 或 方法 ， 其 实 却 已 包 含 几 代 人 的 智 慧 结

37、 晶 和 经验 总 结 。 在 这 张 包 括 “ 弄 清 问 题 ” 、 “ 拟定 计 划 ” 、 “ 实 现 计 划 ” 和 “ 回 顾 反 思 ”四 大 步 骤 的 解 题 全 过 程 的 解 题 表 中 ， 对 第二 步 即 “ 拟 定 计 划 ” 的 分 析 是 最 为 引 人 入胜 的 。 他 把 寻 找 并 发 现 解 法 的 思 维 过 程 分 解 为 五条 建 议 和 二 十 三 个 具 有 启 发 性 的 问 题 ， 它们 就 好 比 是 寻 找 和 发 现 解 法 的 思 维 过 程 进行 分 解 ， 使 我 们 对 解 题 的 思 维 过 程 看 得 见 ，摸 得 着

38、， 易 于 操 作 。 波 利 亚 推 崇 探 索 法 ， 他 认 为 现 代 探 索 法 力求 了 解 解 题 过 程 ， 特 别 是 解 题 过 程 中 典 型有 用 的 智 力 活 动 。 他 说 怎 样 解 题 这 本书 就 是 实 现 这 种 计 划 的 初 步 尝 试 ， “ 怎 样解 题 表 ” 实 质 上 就 是 试 图 诱 发 灵 感 的 “ 智力 活 动 表 ” 。 波 利 亚 的 怎 样 解 题 表 的精 髓 是 启 发 你 去 联 想 。 联 想 什 么 ？ 怎 样 联想 ？ 让 我 们 看 一 看 他 在 表 中 所 提 出 的 建 议和 启 发 性 问 题 吧 。

39、“你 以 前 见 过 它 吗 ？ 你 是 否 见 过 相 同 的 问 题而 形 式 稍 有 不 同 ？ 你 是 否 知 道 与 此 有 关 的问 题 ？ 你 是 否 知 道 一 个 可 能 用 得 上 的 定理 ？ ”波 利 亚 说 他 在 写 这 些 东 西 时 ， 脑子 里 重 现 了 他 过 去 在 研 究 数 学 时 解 决 问 题的 过 程 ， 实 际 上 是 他 解 决 和 研 究 问 题 时 的思 维 过 程 的 总 结 。 这 正 是 数 学 家 在 研 究 数学 ， 特 别 是 研 究 解 题 方 法 时 的 优 势 所 在 ，绝 非 “ 纸 上 谈 兵 ” 。 我 们 表

40、中 的 问 题 和 建 议 并 不 直 接 提 到 念 头 ；但 实 际 上 ， 所 有 的 问 题 和 建 议 都 与 它 有 关 。了 解 问 题 是 为 好 念 头 的 出 现 作 准 备 ； 制 定计 划 是 试 图 引 发 它 ； 在 引 发 之 后 ， 我 们 实现 它 ； 回 顾 此 过 程 和 求 解 的 结 果 ， 我 们 是试 图 更 好 地 利 用 它 。 波 利 亚 可 能 会 有 这 样 的 情 况 ： 一 个 学 生 想 出 了 一个 异 常 好 的 念 头 ， 于 是 跳 过 所 有 的 预 备 步骤 ， 解 答 就 脱 口 而 出 了 。 如 此 幸 运 的 念

41、 头当 然 是 求 之 不 得 的 ， 但 是 也 可 能 发 生 很 不如 愿 和 很 不 走 运 的 事 ， 即 学 生 通 过 上 述 4阶段 中 的 任 何 一 个 阶 段 都 没 有 想 出 好 念 头 。老 师 为 学 生 所 能 做 的 最 大 的 好 事 是 通 过 比较 自 然 的 帮 助 ， 促 使 他 自 己 想 出 一 个 好 念头 。 波 利 亚 解 题 的 成 功 要 靠 正 确 思 路 的 选 择 ， 要 靠 从可 以 接 近 它 的 方 向 去 攻 击 堡 垒 。 为 了 找 出哪 个 方 面 是 正 确 的 方 面 ， 哪 一 侧 是 好 接 近的 一 侧 ，

42、 我 们 从 各 个 方 面 、 各 个 侧 面 去 试验 ， 我 们 变 化 命 题 。 变 化 问 题 使 我 们 引 进了 新 的 内 容 ， 从 而 产 生 了 新 的 接 触 ， 产 生了 和 我 们 问 题 有 关 的 元 素 接 触 的 新 可 能 性 。如 果 我 们 不 用 “ 题 目 变 更 ” ， 几 乎 是 不 能有 什 么 进 展 的 。 波 利 亚 “解 题 系 统 ” 是 波 利 亚 解 题 思 想 的 整 体 轮 廓 ，“ 分 析 解 题 过 程 ” 是 波 利 亚 解 题 思 想 的 内在 核 心 ， “ 念 头 诱 发 ” 是 波 利 亚 解 题 思 想的

43、外 在 表 现 ， “ 问 题 转 换 ” 是 波 利 亚 解 题思 想 的 具 体 实 现 ， 这 张 表 体 现 了 解 题 过 程是 积 极 思 维 活 动 的 实 质 ， 也 抓 住 了 思 维 活动 中 最 富 于 创 造 性 的 成 分 提 出 问 题 ，并 且 为 不 断 提 出 问 题 、 不 断 解 决 问 题 的 积极 思 维 活 动 提 供 了 一 个 合 理 的 框 架 。 对 于 多 数 中 学 教 师 来 说 ,他 们 最 缺 乏 的 是 主动 的 、 创 造 性 的 数 学 工 作 经 验 ,而 没 有 一 定的 独 立 思 考 、 能 动 性 和 创 新 精 神

44、 ,也 就 谈 不上 才 智 .在 数 学 里 ,才 智 比 起 仅 仅 具 有 知 识 更为 重 要 ,而 且 重 要 得 多 .中 学 不 仅 应 当 向 学 生传 授 知 识 ,而 且 应 当 开 发 他 们 的 才 智 ,他 们 的独 立 性 、 能 动 性 和 创 新 精 神 .因 此 ,教 师 更 应当 具 有 某 种 创 造 性 工 作 的 经 历 . 不 能 要 求 一 般 的 教 师 都 去 从 事 某 个 非 常 高深 的 课 题 的 研 究 .所 谓 适 当 水 平 的 创 造 性 工作 ,对 大 多 数 教 师 来 说 ,就 是 解 题 ,尤 其 是 解非 常 规 性

45、的 数 学 问 题 .这 种 问 题 并 不 要 求 超出 中 学 水 平 的 知 识 ,却 要 求 一 定 程 度 的 (有 时要 求 高 度 的 )精 力 集 中 和 判 断 能 力 ,需 要 发 挥某 种 程 度 的 主 动 性 和 创 造 性 .解 这 种 问 题 时 ,不 仅 有 机 会 获 得 中 学 数 学 的 全 面 知 识 ,而 且能 享 受 到 发 现 的 喜 悦 . “如 果 你 没 有 解 过 这 样 的 问 题 ;如 果 你没 有 体 验 过 发 现 的 紧 张 与 胜 利 ;如 果 ,在多 年 执 教 后 ,你 还 没 有 在 一 个 学 生 身 上见 到 这 种

46、紧 张 与 胜 利 ,那 么 ,去 寻 找 其 他的 职 业 吧 ,别 再 教 数 学 了 .” 波 利 亚 例 18:已 知 , 为 锐 角 ,试 证 :证 法 1:将 条 件 变 形 为两 边 同 乘 ,再 移 项 得 (1)而 ,则结 合 (1)式 得 ,则3 3sec tan 1sec tan , 3 3csc cot 1csc cot 3 3 33 3sec tan cos sin cos1 sec tan cos sin cos 3coscos 3 3sin cos 1sin cos 3 2sin sin sin 2sinsin 3 2cos cos cos 2coscos 3 3

47、sin cos cos( ) 2sin cos cos( ) 1 证 法 2:由 已 知 得即 (1) (2)易 知 时 结 论 显 然 成 立 .若 ,由 (2)/(1)并 整 理 得即即 ,由 于 为 锐 角 得 ,即 ,即这 与 矛 盾 ,因 此 ,结 论 成 立 .3 3 2 2sec tan sec tansec tan 3 3 2 2sec tan sec tansec tan 2 2sec (sec sec ) tan (tan tan )sec tan 3 3 3 3s e c s e c t a n t a ns e c t a n 2 2 2 22 2sec sec sec

48、 sec tan tan tan tansec tan 2 22 2sec tan sec tan 0sec tan sec tan sec tan sec tan( )( 1) 0sec tan sec tan , sec tan 0sec tan cos sin cos 0cos cos sin sin sin 变 题 :已 知 ( 为 锐 角 ,n为 自 然数 ),试 证 :分 析 :由相 加 得 ,则2 2sin cos 1sin cosn nn n , 2 2sin cos 1sin cosn nn n 2 2sin sin sin sin sin sin sin ( 1)sinsi

49、n nnn n 2 2cos cos cos cos cos cos cos ( 1)coscos nnn n cos( ) 1 例 19、 若 抛 物 线 y=x2的 所 有 的 弦 都 不 能 被 直 线y=k(x-3)垂 直 平 分 ,试 求 常 数 k的 取 值 范 围 .解 ： 设 抛 物 线 y=x2上 存 在 两 点 (x1, x12)和 (x2, x22)关于 直 线 y=k(x-3)对 称 ， 则 即 消 去 x2， 得 ，因 为 k R ,所 以 ,即 (2k+1)(6k2-2k+1)0 又 恒 成 立 ,所 以 2k+11,a1, 求 证 : 分 析 :要 证 原 不 等

50、 式 成 立 ,只 要 证即 只 要 证即 只 要 证即 只 要 证由 a1及 (1-ak)(1-an-k) 0 (1kn-1)得 证 . 2 11 21n naa a a n 2 1( 1) ( 1) 2( )n nn n a a a a 2 1( 1) ( 1) 2( ) 0n nn n a a a a 2 1 2 1(1 ) (1 ) (1 ) ( ) ( ) ( ) 0n n n n na a a a a a a a a 1 2 2 1(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 0n n na a a a a a 12条 解 题 要 诀 单 墫 1 要 享 受 到 解 题 的

51、 乐 趣 对 解 题 有 浓 厚 的 兴 趣 ， 能 有 几 分 痴 迷 更 好 2 要 有 充 足 的 信 心 3 要 有 百 折 不 回 的 决 心 与 坚 韧 不 拔 的 毅 力 4 要 做 100道 有 质 量 的 题 目 5 反 复 探 索 ， 大 胆 地 跟 着 感 觉 走 6 从 简 单 的 做 起 7 从 不 同 的 角 度 看 问 题 8 学 、 思 结 合 ， 发 挥 创 造 性 ， 努 力 产 生 “ 好 想 法 ” 9 设 法 创 造 条 件 ， 不 断 变 更 问 题 10 引 入 适 当 字 母 ， 向 基 本 量 靠 拢 11 力 求 简 单 自 然 ， 直 剖

52、核 心 12 注 意 总 结 参 考 资 料 波 利 亚 著 怎 样 解 题 (阎 育 苏 译 ).北 京 :科 学 出版 社 ,1982年 . 波 利 亚 著 数 学 的 发 现 第 一 卷 ,欧 阳 绛 译 ,北 京 :科 学 出 版 社 ,1982年 .第 二 卷 ,刘 远 图 等 译 ,北 京 :科学 出 版 社 ,1987年 . 波 利 亚 著 数 学 与 猜 想 (第 一 卷 ,李 心 灿 等 译 ,第二 卷 ,李 克 尧 等 译 )北 京 :科 学 出 版 社 1984年 . 罗 增 儒 著 中 学 数 学 解 题 的 理 论 与 实 践 ,南 宁 :广 西 教 育 出 版 社 ,2008年 . 罗 增 儒 著 数 学 解 题 学 引 论 ,西 安 :陕 西 师 范 大学 出 版 社 ,2001年 . 思 考 与 练 习 设 计 一 个 解 决 某 类 问 题 的 解 题 表 根 据 你 的 解 题 经 历 ， 选 一 个 典 型 例 子 ， 详 细 介 绍解 题 的 具 体 过 程 实 践 解 题 表 对 解 题 表 ， 谈 谈 你 想 说 的 任 何 看 法 ， 写 一 篇 不 少于 1000字 的 小 论 文