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1、2.2.罗尔定理的几何意义：罗尔定理的几何意义：若连续曲线y=f(x)在AB上处处有不垂直于x轴的切线，且f(x)在A、B两点的纵坐标值相等，则在AB上至少可找到一点，使曲线在该点的切线平行于x轴)xy0aby=f(x)第1页/共19页例例1 验证罗尔定理对函数验证罗尔定理对函数f(x)=x2-2x+3在区间在区间-1,3上上的正确性的正确性显然函数显然函数f(x)=-2x+3在在-1,3上满足罗尔定理上满足罗尔定理的三个条件的三个条件,解由由f(x)=2x-2=2(x-1),可知可知f(1)=0,因此存在因此存在=1(-1,3),使使f(1)=0 第2页/共19页注意注意:罗尔定理的三个条件
2、是充分的，但不是必要的.若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可其结论可能不成立能不成立.例如例如,又例如又例如,第3页/共19页例2 设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导，f(a)=f(b),则曲线y=f(x)在(a,b)内平行于x轴的切线().A.仅有一条；B.至少有一条；C.不一定存在；D.不存在.由题目中所给的条件可知，函数y=f(x)在a,b上满足罗尔定理条件，可知至少存在一点 使得分析又由导数的几何意义可知曲线y=f(x)在处的切线斜率为零，即切线平行于x轴.因此本例应选B.第4页/共19页例例3 设函数 f(x)=(x1)(x
3、2)(x3),不求导数,试判 断方程 f x 有几个实根,它们分别在何区间?解解:f(x)在1,2上连续,在(1,2)上可导,且 f(1)=f(2);由罗尔定理:1,使 f (1;同理,2,注意到 f(x)=0为二次方程,使 f (2;它至多有两个实根,故 1,2是 f(x)=0 的全部实根.第5页/共19页二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理第6页/共19页几何解释几何解释:第7页/共19页例例 4问函数 f(x)=x3 3x 在 0,2 满足拉格朗日定理的条件吗？如果满足请写出其结论.解解显然 f(x)在 0,2 上连续,在(0,2)内可导,定理条件满足，且f (x
4、)=3x2 3，所以有以下等式：这个 是在开区间 (0,2)内的.由于 f(2)=2，f(0)=0，f ()=3 2 3，将这些值代入，可解得第8页/共19页例5 选择题.函数 在区间1,3上满足拉格朗日中值定理的 =().由于 在1,3上连续，在(1,3)内可导，因此f(x)在1,3上满足拉格朗日中值定理条件.分析由拉格朗日定理可知，必定存在由于f(b)=f(3)=16,f(a)=f(1)=4,而 因此有可解得 .第9页/共19页例例6.设f(x)=3x2+2x+5，求f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理的 值.解解：f(x)为多项式，在a,b上满足拉格朗日中值定理条件,故由此解得,(即此
5、时 为区间a,b的中点)第10页/共19页例例7.设 ab0 n1.证明证明:令 f(x)=x n 显然 f(x)在 b,a上满足拉格朗日定理条件,证明:nbn1(ab)an bn nan1(a b)有 f(a)f(b)=f()(ab)(b a)即 an bn=n n1(a b)又 0b 1所以 bn1 n1 an1 nbn1(a b)n n 1(a b)nan1(a b)即 nbn1(ab)an bn nan1(a b)分析分析 将所证不等式变形为将所证不等式变形为 ,可见可见,此题类型为利用拉格朗日中值定理证明不等式。只要对只要对 在在 上应用拉格朗日中值定理即可上应用拉格朗日中值定理即可
6、.第11页/共19页例例8 证明：当0ab时，证证 即要证则 f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理条件，故第12页/共19页例例9 9证证由上式得由上式得第13页/共19页推论推论1 1设f(x)在区间I上可导，且f(x)=0,xI.则f(x)=C,xI.证证：x1,x2I,不妨令x1x2,则f(x)在x1,x2上满足拉格朗日中值定理条件，故有而 f()=0,故 f(x2)=f(x1)由x1,x2 的任意性，f(x)=C,xI.(C为常数)(C为常数)第14页/共19页分析分析 证明函数恒等式，主要是利用拉格朗日定理的推论：证明函数恒等式，主要是利用拉格朗日定理的推论：上是一个常数上是一个常数.如果函数 在区间 上的导数恒为零，那么 在区间第15页/共19页例例11 证明：证：证：取x=0,计算C值：即第16页/共19页又 x=1时，x=1时，综上所述第17页/共19页三、柯西中值定理定理3.若f(x),g(x)都在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 g(x)0.则至少存在一点(a,b),使得第18页/共19页感谢您的观看。第19页/共19页
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