椭圆几何性质的应用一

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1、椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质2标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率 a a、b b、c c的关的关系系关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a,短半轴短半轴长为长为b.b.(ab)(ab)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；轴成轴对称；关于原点成中心对称关于原点成中心对称长半轴长为长半轴长为a a,短半轴短半

2、轴长为长为b.b.(ab)(ab)-a x a,-b y b-a y a,-b x ba2=b2+c2 a2=b2+c2例例4 4：点点M(x,y)M(x,y)与定点与定点F(4,0)F(4,0)的距离和它到定直的距离和它到定直线线l l:x=:x=的距离的比是常数的距离的比是常数 ，求点，求点M M的轨迹的轨迹。xyoFMlF1l(椭圆的第二定义椭圆的第二定义)准线方程：准线方程：解：解：如图，设如图，设d是点是点M到直线到直线L的距离，根据题意，所求轨的距离，根据题意，所求轨迹的集合是：迹的集合是：由此得由此得：这是一个椭圆的标准方程，所以点这是一个椭圆的标准方程，所以点M的的轨迹是长轴、

3、短轴分别是轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。的椭圆。点点M（x,y）与定点）与定点F（c,0）的距离）的距离 和它到定直线和它到定直线的距离比是常数的距离比是常数求求M点的轨迹。点的轨迹。平方，化简得平方，化简得：若点若点F F是定直线是定直线l外一定点，动点外一定点，动点M M到点到点F F的距离的距离与它与它到直线到直线l l的距离的距离之之比比等于常等于常数数e e(0(0e e1)1)，则点，则点M M的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆.M MF FH Hl新知探究新知探究动画动画第二定义第二定义椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质3直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系种类:相离(没有

4、交点)相切(一个交点)相交(二个交点)直线与椭圆的位置关系的判定代数方法代数方法1.1.位置关系：相交、相切、相离位置关系：相交、相切、相离2.2.判别方法判别方法(代数法代数法)联立直线与椭圆的方程联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组消元得到二元一次方程组 (1)0 (1)0直线与椭圆相交直线与椭圆相交有两个公共点；有两个公共点；(2)=0 (2)=0 直线与椭圆相切直线与椭圆相切有且只有一个公共点；有且只有一个公共点；(3)0 (3)0 直线与椭圆相离直线与椭圆相离无公共点无公共点通法通法知识点知识点1.1.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系例例1：直线：直线y=x+1与椭圆

5、与椭圆 恒有公共点恒有公共点,求求m的取值范围。的取值范围。题型一：直线与椭圆的位置关系题型一：直线与椭圆的位置关系变式练习变式练习：y=kx+1与椭圆与椭圆 恰有公共点，恰有公共点，则则m的范围（的范围（）A、（、（0，1）B、（、（0，5）C、1，5）（5，+）D、（、（1，+）练习练习1.K1.K为何值时为何值时,直线直线y=kx+2y=kx+2和曲线和曲线2x2x2 2+3y+3y2 2=6=6有两有两个公共点个公共点?有一个公共点有一个公共点?没有公共点没有公共点?练习练习2.2.无论无论k k为何值为何值,直线直线y=kx+2y=kx+2和曲线和曲线交点情况满足交点情况满足()()

6、A.A.没有公共点没有公共点 B.B.一个公共点一个公共点C.C.两个公共点两个公共点 D.D.有公共点有公共点Dlmm oxy oxy思考：最大的距离是多少？设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于P P1 1(x(x1 1,y,y1 1)，P P2 2(x(x2 2,y,y2 2)两点，直线两点，直线P P1 1P P2 2的斜率为的斜率为k k弦长公式：弦长公式：知识点知识点2：弦长公式：弦长公式可推广到任意二次曲线例例3 3：已知斜率为已知斜率为1 1的直线的直线L L过椭圆过椭圆 的右焦点，交椭圆于的右焦点，交椭圆于A A，B B两点，求弦两点，求弦ABAB之长之长例例5 ：已知椭圆：已知椭

7、圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.解：解：韦达定理韦达定理斜率斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题例例 5已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率出中点坐标和斜率点点作差作差知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题

8、点差法：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率差构造出中点坐标和斜率直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法 例例5已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.所以所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0从而从而A,B在直线在直线x+2y-4=0上上而过而过A,B两点的直线有且只有一条两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点中

9、点”这这一一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，练习：P49：A8例例6、如图，已知椭圆如图，已知椭圆 与直线与直线x+y-1=0交交于于A、B两点，两点，AB的中点的中点M与椭圆中心连线的与椭圆中心连线的斜率是斜率是 ，试求，试求a、b的值。的值。oxyABM练习：练习：已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直

10、线方程.练习：练习：已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直线方程.3、弦中点问题弦中点问题的两种处理方法：的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：、弦长的计算方法：弦长公式：弦长公式：|AB|=（适用于任何曲线）（适用于任何曲线）小小 结结解方程组消去其中一元得一元二次型方程解方程组消去其中一元得一元二次型方程 0 相交相交