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1、空间向量与其运算学问点1、向量共线、共面的判定. 1、共线: 对空间随意两个向量a, b(b0), ab的充要条件是. 2、共面: 假如两个向量a, b(不共线), 则向量p与向量a, b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x, y), 使. 答案: p.3、不共面: 假如三个向量a, b, c不共面, 则对空间任一向量p, 存在有序实数组x, y, z, 使得p, 把a, b, c叫做空间的一个基底. 学问点2、向量运算律 两向量的数量积已知两个非零向量a, b, 则叫做向量a, b的数量积, 记作, 即.数量积的坐标运算, 若a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), 则
2、ab. 空间向量数量积的运算律结合律: (a)b; 交换律: ab; 安排律: a(bc). 模、夹角和距离公式设a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), 则, a, b .若A(a1, b1, c1), B(a2, b2, c2), 则|.题型一直线的方程形式(1) 空间向量: 在空间中, 具有和的量叫做空间向量. (2) 相等向量: 方向且模的向量. (3) 共线向量定理1. 若a(2x,1,3), b(1, 2y,9), 且ab, 则()A. x1, y1 B. x, y C. x, y D. x, y解: 选C, ab, , x, y.2. (2016青岛月考)如图所
3、示, 在平行六面体A1B1C1D1中, M为与的交点, 若a, b, c, 则下列向量中与相等的向量是()A. abc abc abc D. abc解: 选A, ac(ab)abc.3. (2016广州调研)在平行六面体ABCD中, 已知AA60, 3, 4, 5, 则|.解: , |2222222324252234 60245 60235 6097, |.4. 有下列4个命题: 若p, 则p与a、b共面; 若p与a、b共面, 则p; 若, 则P、M、A、B共面; 若P、M、A、B共面, 则.其中真命题的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 选B, 正确. 中若a、b共线,
4、p与a不共线, 则p就不成立. 正确. 中若M、A、B共线, 点P不在此直线上, 则不正确. 5. A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17)这四个点(填共面或不共面). 5. 共面, 解: (3,4,5), (1,2,2), (9,14,16), 设, 即(9,14,16)(3xy,4x2y,5x2y). , 从而A、B、C、D四点共面. 题型二空间基向量的应用6、已知空间四边形中, M为的中点, N为的中点, P为的中点, Q为的中点, 若, 求证: .设a, b, c. ()(bc), ()(ac), a(bc)(bca), b(ac)(acb).
5、 c(ab)c(ab)c2(ab)2(|2|2)|, 0. 即, 故.7、如图, 在正四面体中, E、F分别为棱、的中点, 则异面直线和所成角的余弦值为. 设, , 为空间一组基底, 则, ().222222.又|, |2. , .异面直线与所成角的余弦值为.8、(2016合肥调研)两个边长为1的正方形与正方形相交于, 90, 点M、N分别在、上, 且.(1) 求证: 平面; (2) 求长度的最小值. 解: 如图所示, 建立坐标系后, 要证平行于平面, 只要证的横坐标为0即可. (1) 证明如图所示, 以、为单位正交基底建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0), D(1,1,0), E(0,0
6、,1), B(0,0,0), 设, 则(1,1,0)(0, 1,0)(1,0,1)(0, 1, ). 00, 则A(2,0,0), B(2,2,0), P(0,0, y), ,(0,0, y), . , .解得y2, E(1,1,1). B组专项实力提升题组9. 如图所示, 已知A1B1C1D1是棱长为3的正方体, 点E在1上, 点F在1上, 且11.(1) 求证: E、B、F、D1四点共面; (2) 若点G在上, , 点M在1上, , 垂足为H, 求证: 平面1B1.证明: (1) 建立如图所示的空间直角坐标系, 则(3,0,1), (0,3,2), (3,3,3). 所以. 故、共面. 又
7、它们有公共点B, E、B、F、D1四点共面. (6分)(2) 设M(0,0, z), 则. 而(0,3,2), 由题设, 得3z20, 得z1. M(0,0,1), E(3,0,1), (3,0,0). 又(0,0,3), (0,3,0), 0, 0, 从而1, .又1B, 平面1B1.10、如图所示, 已知正方形和矩形所在的平面相互垂直, , 1, M是线段的中点. 求证: (1) 平面; (2) 面.证: (1)建立如图所示的空间直角坐标系, 设N, 连接. 则点N、E的坐标分别为、(0,0,1). .又点A、M的坐标分别为(, , 0)、, .且与不共线. . 又平面, 平面, 平面.(
8、2) 由(1)得, , D(, 0,0), F(, , 1), B(0, , 0), (0, , 1), (, 0,1). 0, 0., , 即, . 又F, 平面.11、(2009福建)如图, 四边形是边长为1的正方形, 平面, 平面, 且1, E为的中点. (1) 求异面直线与所成角的余弦值；(2) 在线段上是否存在点S, 使得平面？若存在, 求线段的长；若不存在, 请说明理由. 解(1) 如图所示, 以点D为坐标原点, 建立空间直角坐标系D.依题意, 得D(0,0,0), A(1,0,0), M(0,0,1), C(0,1,0), B(1,1,0), N(1,1,1), ., (1,0,
9、1). , , 异面直线与所成角的余弦值为.(2) 假设在线段上存在点S, 使得平面.(0,1,1), 可设(0, , ), 又, . 由平面, 得即故, 此时, |.经检验, 当时, 平面. 故线段上存在点S, 使得平面, 此时.12. (2011汕头月考) 如图所示, 已知空间四边形的各边和对角线的长都等于a, 点M、N分别是、的中点. (1) 求证: , ；(2) 求的长；(3) 求异面直线与所成角的余弦值. (1) 证明设p, q, r.由题意可知: a, 且p、q、r三向量两两夹角均为60.()(qrp), (2分)(qrp)p(qprpp2)(a2 60a2 60a2)0.，又rq, (qrp)(rq)(qrq2r2qrprpq)(a2 60a2a2a2 60a2 60a2 60)0, .(2) 解由(1)可知(qrp), |22(qrp)2q2r2p22(qrpqrp)2a2.|a, 的长为a.(9分)(3) 解设向量与的夹角为.()(qr), qp, (qr).(12分)又|a, | 即aa . , 向量与的夹角的余弦值为, 从而异面直线与所成角的余弦值为.
高考总复习经典讲义---空间向量及其运算
