《数学物理方程-福州大学-江飞》1.2达朗贝尔公式、波的传播

《《数学物理方程-福州大学-江飞》1.2达朗贝尔公式、波的传播》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《数学物理方程-福州大学-江飞》1.2达朗贝尔公式、波的传播（23页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 ( , ) ( , )x xT u x x t u x t 福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 科 学 学 院 江 飞 :183 0595 05922sinT 1sinT 记 T T 2sinT 1sinT 记 T （ 3） 张 力 在 轴 方 向 上 的 合 力 为 ： u2 1(sin sin )T ( , ) ( , )x xT u x x t u x t ( ).ttxu x ( , ).xxT xu x x t 另 一 方 面 附 ： 牛 顿 第 二 定 律 方 法故 2( , ) ( , ),tt xxu x t a u x x t 关 于 x 取 极 限 ， 即 得 2 /

2、a T 2( , ) ( , ).tt xxu x t a u x t 小 段 平 均 加 速 度 ， 满 足0lim ( ) ( ).tt xxx u x u x x 微 分 中 值 定 理 1.叠 加 原 理 （ 思 想 ： 化 繁 为 简 ， 大 道 至 简 ） 2 达 朗 贝 尔 （ d Alembert） 公 式 、 波 的 传 播福 州 大 学 数 学 与 计 算 机 科 学 学 院 江 飞 :183 0595 0592*物 理 上 叠 加 现 象 ： 几 种 不 同 原 因 的 综 合 所 产 生 的 效 果等 于 这 些 不 同 原 因 单 独 （ 假 设 其 他 原 因 不

3、存 在 ） 产 生 的效 果 的 累 加 。 比 如 ， 声 学 中 把 弦 线 振 动 时 所 发 出 的 复 杂的 声 音 分 解 成 各 种 单 音 的 叠 加 （ 类 比 ： 三 原 色 ） 。它 对 于 用 线 性 方 程 和 线 性 定 解 条 件 描 述 的 物 理 现 象 来说 ， 都 是 成 立 的 。 例 如 ：若 是 方 程 的 解 ，而 是 方 程 的 解 ， 1( , )u x t 2 1( , )tt xxu a u f x t 2 ( , )u x t 2 2 ( , )tt xxu a u f x t 则 对 于 任 意 的 常 数 、 ， 函 数1C 2C 1

4、 1 2 2u C u C u 是 方 程 2 1 1 2 2( , ) ( , )tt xxu a u C f x t C f x t 的 解 。 2. 弦 振 动 方 程 的 达 朗 贝 尔 解 法 （ 理 想 化 研 究 ）*理 想 化 假 设 ： 考 察 边 界 的 影 响 可 以 忽 略 不 计 的 情 况 ，或 考 察 的 弦 线 长 度 很 长 ， 而 我 们 所 关 注 的 又 只 是 在 较短 时 间 内 且 距 离 边 界 较 远 的 一 段 范 围 中 的 运 动 情 况 ，那 么 边 界 条 件 的 影 响 就 可 以 忽 略 ， 并 不 妨 把 所 考 察 的物 体

5、的 长 度 视 为 无 限 长 。 这 样 的 情 况 下 ， 定 解 问 题 归结 为 如 下 形 式该 定 解 问 题 的 定 解 条 件 只 有 初 始 条 件 ， 故 柯 西（ Cauchy） 问 题 （ 或 初 值 问 题 ） 。 相 应 地 ， 定 解 问 题中 既 有 初 始 条 件 ， 又 有 边 界 条 件 ， 则 称 为 初 边 值 问 题 。 2( , ) ( , ) ( , ), 0, , ( , 0) ( ), ( , 0) ( ), . tt xx tu x t a u x t f x t t x Ru x x u x x x R 外 力 为 零 时 ， 称 为 自

6、 由 振 动 ，否 则 称 之 为 强 迫 振 动 。 这 样 求 解 弦 振 动 的 柯 西 问 题 就 转 化 为 分 别 求 解 齐 次 方 程带 非 齐 次 边 界 条 件 的 柯 西 问 题 (I)和 非 齐 次 方 程 带 齐 次初 始 条 件 的 柯 西 问 题 (II)2( , ) ( , ) ( , ), 0, , ( ,0) ( ), ( ,0) ( ), . tt xx tu x t a u x t f x t t x Ru x x u x x x R 柯 西问 题 2( , ) ( , ) 0, 0, , ( ,0) ( ), ( ,0) ( ), . tt xx tu

7、 x t a u x t t x Ru x x u x x x R 2( , ) ( , ) ( , ), 0, , ( ,0) 0, ( ,0) 0, . tt xxtu x t a u x t f x t t x Ru x u x x R 自 由 振 动零 初 始条 件 受迫 振 动利 用 叠 加 原 理 ， 进 行 半 齐 次 化 *下 面 用 自 变 量 变 换 的 方 法 求 解 自 由 振 动 情 况 的 柯 西问 题 (I) (2.1)柯 西 问 题 (I),x x xu U U U U ( ) ( ) 2 , xx x x xxu u U U U U U U U 类 似 地 ，

8、 2( ); ( 2 )t ttu a U U u a U U U 从 而 ， 方 程 (2.1)就 化 为 0.U 引 入 新 自 变 量 ： 。 利 用 复 合 函数 求 导 的 法 则 ， 有 x at x at ，( , ) ( , )u x y U 2( , ) ( , ) 0, 0, , ( ,0) ( ), ( ,0) ( ), . tt xx tu x t a u x t t x Ru x x u x x x R / 2, / (2 )x t a , d U f G ( , ) ( , ), , 0.u x y U x at x at U ，关 于 积 分 一 次 ， 可 得结

9、 果 ， 我 们 从 弦 振 动 方 程 就 推 导 其 通 解再 关 于 积 分 一 次 ， 就 可 以 得 到 它 的 通 解 , ( , ) .u x t U F x at G x at 下 面 我 们 来 确 定 和 函 数 表 达 式 。 F G , ( ).U f F G := ，显 然 属 于 可 微 函 数 时 ， 必 有 , F G 0.U 把 上 述 通 解 表 达 式 代 入 初 始 条 件 ， 得 到 ：对 （ 2.3） 进 行 积 分 ， 可 得 , , ( ,0) ( ), ( ,0) ( ), . tu x t F x at G x atu x x u x x x

10、 R 00 ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ).tt tu F x G x xu aF x aG x x 0( ) ( ) ( )d .xxaF x aG x C （ 2.2）（ 2.3）（ 2.4） 002 ( ) ( ) ( ) ,2 ( ) ( ) ( ) .xxxxaF x a x d CaG x a x d C 联 立 （ 2.2） 和（ 2.4） ， 可 得 001 1( ) ( ) ( ) ,2 2 21 1( ) ( ) ( ) .2 2 2xxxx CF x x da aCG x x da a 故 ( ) ( ) 1, ( )d .2 2 x atx atx at

11、 x atu x t a 定 理 2.1 设振 动 的 柯 西 问 题 (I)存 在 唯 一 的 解 ， 它 由 达 朗 贝尔 公 式 出 ： 2 1( ) ( ), ( ) ( )x C R x C R ， 那 么 自 由( , )u x t ( ) ( ) 1, ( )d .2 2 x at x atx at x atu x t a 注 ： 柯 西 问 题 (I)的 解 关 于 初 始 条 件 的 连 续 依 赖 性 （ 稳定 性 ） 也 可 以 很 容 易 地 从 达 朗 贝 尔 公 式 中 看 出 。 ,u F x at G x at 01 1 1( ) 2 ( ) (2 ) ( )

12、(2 ) .x atxG x at x at a d C a 01 1 1( ) 2 ( ) (2 ) ( ) (2 ) ,x atxF x at x at a d C a 2( , ) ( , ) 0.tt xxu x t a u x t ( ) ( ) 1, ( )d .2 2 x ati ii ix atx at x atu x t a 事 实 上 ， 令 任 意2 2 2( , ) ( , ) 0, (0, ), , ( ,0) ( ), ( ,0) ( ), . t i x ii i t iu x t a u x t t T x Ru x x u x x x R 则且 与 的 表 达

13、 式 相 减 ， 并 对 所 得 等 式 两 边 取 绝 对 值 ，最 后 对 右 边 用 三 角 不 等 式 ， 可 得1 2 1 2( ) ( ) / 2u u x at x at 1u 2u 1 2( ) ( ) / 2x at x at 1 2( ) ( ) /2 dx atx at a 1 2( ) ( ) ,y y 1 2( ) ( ) ,y y ,y R (1 ) .t T 故 在 有 限 时 间 内 ， 自 由 振 动 的 解 关 于 初 始 值 连 续 依 赖 。u ,0u x F x 0 0,u x t F x at 3. 传 播 波 , ( ) ( ) 1 ( )d .2

14、 2 x atx atu x t F x at G x atx at x at a 0a*考 察 情 况 ： ,u x t F x at ： 波 速 。由 左 图 可 知 振 动 的 波 形 以 常 速度 向 右 传 播 。 因 此 ， 的 所 描 述 的 运 动 规 律 称 为 右 传播 波 ， 同 样 形 如 的 解称 为 左 传 播 波 。 问 题 （ I） 的解 表 示 为 右 传 播 波 和 左 传 播 波相 叠 加 的 方 法 ， 称 为 传 播 波 法（ 行 波 法 ） 。 F x ata ( )G x at 4. 依 赖 区 间 、 决 定 区 域 和 影 响 区 域 ( )

15、( ) 1, ( )d .2 2 x atx atx at x atu x t a *依 赖 区 间 ： 点 处 的 值 由 初 始 条 件 和 在 轴 的 区 间 上 的 值 所 唯 一确 定 ,而 与 和 在 该 区 间 以 外 的 值 无 关 。 这个 区 间 称 为 点 的 依 赖 区 间 。 ( , )x t ( , )u x t ( )x( )x x x at x at ,( )x ( )x( , )x t 1 / a斜 率 ：1 / a斜 率 ： *决 定 区 域 ： 1 / a斜 率 ：1 / a斜 率 ： 交 点 ： 12 1 2 1( , ( ) ) / 2x x x x

16、a 这 个 三 角 形 区 域 内 任 意 一 点 的 依 赖 区 间 都 在 区 间内 部 ， 因 此 ， 解 在 此 三 角 形 区 域 内 部 的 数 值 完 全 由 区间 上 的 初 始 条 件 决 定 ， 与 该 区 间 外 的 初 始 条 件无 关 。 这 个 三 角 形 区 域 称 为 区 间 的 决 定 区 域 。 1 2 , x x1 2 , x x 1 2 , x x ( ) ( ) 1, ( )d .2 2 x atx atx at x atu x t a ( , )x t *影 响 区 域 ： 1 / a1 / a 斜 率 ：斜 率 ： 如 果 区 间 收缩 为 一 点

17、 ， 那 么就 得 到 了 点 的 影响 区 域 。 1 2 , x x 时 ， 初 始 条 件 和 的 值 在 区 间 上 1 2 , 0 ,x at x x at t 0t ( )x ( )x 1 2 , x xt所 限 定 ， 而 在 此 范 围 外 的 区 域 则 感 受 不 到 区 间 上 初 始 影 响 。 上 式 所 表 示 的 区 域 称 为 区 间 的 影响 区 域 。 1 2 , x x有 变 动 (初 始 扰 动 )。 那 么 ， 经 过 时 间 后 该 扰 动 所 影响 到 的 范 围 就 由 不 等 式 *特 征 线 ：我 们 看 到 ， 扰 动 实 际 上 沿 特

18、征 线 传 播 。 扰 动 以 有 限 速率 传 播 ， 是 弦 振 动 方 程 的 一 个 重 要 特 点 。1 / a斜 率 ： 1 / a斜 率 ：( , )x t 例 题 ： 利 用 行 波 法 来 讨 论 一 端 固 定 的 半 无 界 弦 的 自 由 振动 问 题 （ 自 由 振 动 Piston问 题 ）2 0, 0, 0 ,( , 0) ( ), ( , 0) ( ),(0, ) 0. tt xx tu a u t xu x x u x xu t 解 ： 设 想 在 的 左 侧 仍 然 有 弦 存 在 ,并 在 振 动 过程 中 点 始 终 不 动 。 问 题 于 是 转 化

19、为 ： 如 何 将 上 已 知 的 初 始 函 数 延 拓 为 整 个 直 线 上 的 函 数 ， 并 使得 用 延 拓 后 的 函 数 作 初 值 的 柯 西 问 题 的 解 在 点恒 为 零 。 0 x 0 x 0 x R R为 此 ， 记 及 是 由 和 分 别 延 拓而 得 到 的 函 数 。 由 达 朗 贝 尔 公 式 ， 以 及 为初 值 的 柯 西 问 题 的 解 为( )x ( )x ( )x ( )x( )x ( )x ( ) ( ) 1( , ) ( )d .2 2 x atx atx at x atU x t a 1 1( ( ) ( ) ( )d 02 2 atatat

20、 at a 要 使 在 点 恒 为 零 ， 就 应 当 成 立( , )U x t 0 x 为 此 只 需 要 将 和 分 别 作 奇 延 拓 :( )x ( )x( ), 0, ( ), 0,( ) ( )( ), 0, ( ), 0,x x x xx xx x x x ( ) ( ) 1( , ) ( )d .2 2 x atx atx at x atu x t a 则 当 时 ，x at ( ) ( ) 1( , ) ( )d .2 2 x atx atx at x atU x t a 综 上 即 知 ， 自 由 振 动 Piston问 题 的 解 为 ( , )u x t ( ) (

21、) 1 ( )d , ;2 2 x atx atx at x at x ata ( ) ( ) 1 ( )d , 0 .2 2 x atat xx at at x x ata ( ) ( ) 1( , ) ( )d , .2 2 x atx atx at x atu x t x ata 而 当 时 ，x at 00( ) ( ) 1 1( )d ( )d .2 2 2x at x atx at at xu a a 注 意 到 0 0 0 ( )( )d ( )d( ) ( )d( ).x at at x at x 5.齐 次 化 原 理现 在 我 们 考 察 零 初 值 条 件 强 迫 振 动

22、 情 形 的 初 值 问 题由 弦 振 动 方 程 的 推 导 过 程 来 看 ， 自 由 项 , , /f xt F xt 表 示 时 刻 时 在 处 单 位 质 量 受 到 的 外 力 ， 而 表示 速 度 。 如 果 我 们 把 一 个 时 间 段 划 分 成 若 干 小的 时 段 ， 在 每 一 个 小 的时 段 中 ， 可 以 看 作 与 时 间 无 关 ， 故 以 来表 示 。 于 是 在 时 段 中 自 由 项 所 产 生 的 速 度 改 变 量为 。 如 果 把 此 速 度 改 变 量 看 作 在 时 刻 时的 初 始 速 度 ， 它 所 产 生 的 振 动 可 以 由 下 面

23、 的 齐 次 方 程的 初 值 问 题 描 述 ： t x tu0, t 1 , 1, 2, ,j j jt t t j l jt ,f xt ( , )jf xtjt( , )j jf x t t jt t2( , ) ( , ) ( , ),( , 0) 0, ( , 0) 0,tt xxtu x t a u x t f x tu x u x 问 题 (II) 2 0, , ( , ) 0, ( , ) ( , ) ,tt xx jj t j j jW a W t tW x t W x t f x t t 将 其 解 记 为 ， 按 照 叠 加 原 理 ， 自 由项 所 产 生 的 效 果

24、 可 以 看 成 无 数 个 这 种 瞬 时 作用 的 叠 加 ， 这 样 柯 西 问 题 (II)的 解 应 表 示 为 ( , ; , )j jW x t t t( , )f x t ( , )u x t 0 1 ( , ) lim ( , ; , )j l j jt ju x t W x t t t 2( , ) ( , ) ( , ),( , 0) 0, ( , 0) 0,tt xxtu x t a u x t f x tu x u x (2.5)由 于 (2.5)为 线 性 方 程 ， 所 以 与 成正 比 ， 即 如 果 记 为 如 下 齐 次 方 程 的 定 解 问题 的 解 (

25、 , ; , )j jW x t t t jt( , ; )W x t 2 0, , ( , ) 0, ( , ) ( , ) ,tt xx jj t j j jW a W t tW x t W x t f x t t 2 0, ,( , ) 0, ( , ) ( , ),tt xx tW a W tW x W x f x 2( , ) ( , ) ( , ),( , 0) 0, ( , 0) 0,tt xxtu x t a u x t f x tu x u x (2.5)由 于 那 么 有 成 立 。 于 是 定解 问 题 (II)的 解 可 以 表 示 为 ( , ; , ) ( , ;

26、) j j jW x t t t t W x t 0 1 ( , ) lim ( , ; , )j l j jt ju x t W x t t t 00 1lim ( , ; ) ( , ; )d . j l tj jt j W x t t t W x t 问 题 (II) 定 理 2.2(齐 次 化 原 理 ) 若 是 下 列 问 题的 解 (其 中 是 参 数 )， 则 柯 西 问 题 (II)的 解 可 以 表 示 为2 0, ,( , ) 0, ( , ) ( , ),tt xx tW a W tW x W x f x 2( , ) ( , ) ( , ),( , 0) 0, ( ,

27、0) 0,tt xx tu x t a u x t f x tu x u x 0( , ) ( , ; )d .tu x t W x t ( , ; )W x t 问 题 (III)下 面 求 的 表 达 式 ， 在 (III)中 作 变 换 ( , ; )W x t :t t 2 0, 0,( , 0) 0, ( , 0) ( , ),t t xx tW a W tW x W x f x 可 得 2 0, ,( , ) 0, ( , ) ( , ),tt xx tW a W tW x W x f x 2( , ) ( , ) ( , ),( , 0) 0, ( , 0) 0,tt xxtu

28、x t a u x t f x tu x u x 0( , ) ( , ; )dtu x t W x t 利 用 达 朗 贝 尔 公 式 求 出 上 述 初 值 问 题 (I)的 解 为 ( )( )1 1( , ; ) ( , )d ( , )d2 2x at x a tx at x a tW x t f fa a 2 0, 0,( , 0) 0, ( , 0) ( , ),t t xx tw a w tw x w x f x ( , ; ) ( , ; )w x t W x t 再 代 入 (2.34)式 就 得 到 初 值 问 题 (II)的 解( )0 ( )1 1( , ) ( ,

29、)d d ( , )d d2 2t x a tx a t Gu x t f fa a 2( , ) ( , ) ( , ),( , 0) 0, ( , 0) 0,tt xxtu x t a u x t f x tu x u x ( )0 ( )1 1( , ) ( , )d d ( , )d d2 2t x a tx a t Gu x t f fa a 上 面 我 们 通 过 对 物 理 模 型 的分 析 ， 应 用 叠 加 原 理 ， 得 出了 定 解 问 题 (II)的 解 的 表 达式 。 它 究 竟 是 否 确 实 为 定 解 问 题 (II)的 解 ， 还 需 要 按照 解 的 定 义 进 行 数 学 上 的 验 证 。区 域 为 平 面 上 过点 向 下 作 两 特 征 线 与G ( , ) ( , )x t 轴 所 夹 的 三 角 形 区 域 ， 见右 图 。