微专题 正态分布

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1、一、内容回顾1. 正态分布x)2(1)定义：函数申冷=扇2o2,xW(8, +呵，其中实数“和o(c0)为参数,称作X)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.(2)正态曲线的特点： 曲线位于X轴上方，与X轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线X= U对称； 曲线在乂= U处达到峰值=；o #2n 曲线与x轴之间的面积为1； 当。一定时，曲线的位置由H确定，曲线随着卩的变化而沿x轴平移； 当U 一定时，曲线的形状由。确定，。越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集 中，o越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 若EN(卩，Q 2)，则Eg =卩,D=O 2(3)正态分布中的3o原则：3o准

2、则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有 随机误差，对其进行计算处理得到标准偏差，按一定概率确定一个区间，认为凡超过这个区 间的误差，就不属于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除。且3o适用于 有较多组数据的时候。Y的取值几乎全部集中在(y-3o,u+3o )区间内，超出这个范围的 可能性仅占不到0.3%.在正态分布中o代表标准差，卩代表均值x=卩即为图像的对称轴 P( u oXW u+o) =0. 682 6；P( u2o XW u+2o) =0.954 4；3P( u3o XW u+3o) =0.997 4二、典型例题题型一：正态分布的概念与性质1. (2018年河北衡

3、水调研)衡水市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正(X 80)21 200态分布，其密度函数为(p(x)=e(xR)，则下列命题不正确的是()2花10A. 该市这次考试的数学平均成绩为80分B. 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C. 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D. 该市这次考试的数学成绩标准差为10【解析】由密度函数知，均值(期望) =80，标准差o=10.因为曲线关于直线x=80对称， 故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以选项B是错误的.故选 B.已知三个正态分布密度函数_(x_ “)21202(p.(x) e

4、 1(xWR , z = 1,2,3)的图象如图 3 所示，贝9()12tu.i图3A“103B“1“2 “3， 01 0203C“1 “2“3， 0102 03D“1“2 “3， 01 0203【解析】 由于曲线关于x=“对称，由图知，“V“2=“3，Vo越小曲线越瘦高，O = 024) =10.682 6 ,2 =0.158 7.故选 B.答案： B题型三：正态分布及其应用3.(2019年安徽A10联盟3月模拟)某小区有1 000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N(300,102),贝9用电量在320度以上的户数约为() (参考数据：若随机变量E服从正态分布N, 02),则戶30+0)

5、 = 68.26%, P 2og+2o) = 95.44%, P(p 3o320)=|x1-P(280 - oo O0.02 -0 160164168172176180184身高口町图6(1)由频率分布直方图估计该校高三年级男生平均身高状况(2)求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数.在这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高 排名(从高到低)在全市前130名的人数记为乙求E的数学期望.参考数据：若EN, 02),则P3o0,则 P（Xv“一b）=1P（“bXW“ + b）21(2015湖北)设X N(片,N(打2)，这两个正

6、态分布密度曲线如图所3. 无论是正态分布的正向或逆向的应用问题，关键都是先确定“，e然后利用对称性，将所 求概率转化到三个特殊区间四、高考链接C12)，A. P（Y上卩）上P（Y上卩）21B P(X W a ) W P(X W a )21C对任意正数t, P(X W t) 2 P(Y W t)D对任意正数t, P(X 21) 2 P(Y 21)【答案】C【解析】由正态分布密度曲线的性质可知，X N(卩，a2), Y N(卩Q2)的密度曲线分别 1 1 2 2关于直线x卩，x卩对称，因此结合题中所给图象可得，卩卩，所以 1 2 1 2 P(Y 2卩)P(Y 2 ”)，故A错误又X N(卩Q2)得

7、密度曲线较Y N(卩Q2) 2 1 1 1 2 2 的密度曲线“瘦高”，所以a a，所以P(X W a ) P(X W a )，B错误对任意正 1 2 2 1数 t，P(X W t) 2 P(Y W t)，P(X 21) 2 P(Y21)，C正确，D 错误. 2. (2015山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6) 内的概率为(附：若随机变量E服从正态分布N(卩,a2)，则P(pagp+a) = 68.26%，P(卩-2a p + 2a) = 95.44% )A 4.56% B 13.59%C 27.18%D 31.74

8、%【答案】 B【解析】P(3 6) =1 (95.44% 68.26%) = 13.59% .24. (2011湖北)已知随机变量E服从正态分布NC,a 2)，且P 4)= 0.8，贝IP(0 7 2)=A 0.6B 0.4 C 0.3 D 0.2所以选C.5-（2017新课标I）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条 生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（卩Q2）.（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（卩-3。，卩+ 3。） 之外的零件数，求P（X 1）

9、及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（卩-3。,卩+ 3。）之外的零件，就认为这条生 产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ii ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9. 9510. 129. 969. 9610. 019. 929. 9810. 0410. 269. 9110. 1310. 029. 2210. 0410. 059. 95经计算得x 二存 X - 9.97，s =：护（X，- x）2 =护x2 -16x2）i=11 i=1Ti=1沁0.212，其中x为抽取的第i个零件的尺寸

10、，i =1, 2,，16.i用样本平均数X作为卩的估计值h，用样本标准差s作为。的估计值利用 估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除- -之外的数据，用剩下的数据估计卩和。（精确到0. 01）.附：若随机变量Z服从正态分布N（卩,。2），则P（卩-3。 Z 卩+ 3。）=0. 997 4, 0.997416 沁 0.9592，0.008 沁 0.09 .【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在（卩-3。，卩+ 3。）之内的概率为0. 9974，从而零件的尺寸在（卩-3。,卩+ 3。）之外的概率为0. 0026，故XB（16,0.0026）.因此P（X 1） = 1 - P（X = 0） =

11、 1 - 0.9974 = 0.0408 .X 的数学期望为EX = 16x0.0026 = 0.0416.（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（卩-3。，卩+ 3。）之外的概率只有0. 0026,天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（卩-3。，卩+ 3。）之外的零件的概率只有 00408，发生的概率很小因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产 过程的方法是合理的(ii)由x = 9.97 , s0.212，得卩的估计值为n二9.97 , 的估计值为川=0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在

12、(卩-36,卩+ 36)之外，因此需 对当天的生产过程进行检查剔除(n-36, n + 36)之外的数据9. 22,剩下数据的平均数为1(16x 9.97 - 9.22) = 10.02 ,因此 n 的估计值为 10. 02.兰 x2 = 16X 0.2122 +16X 9.972 沁 1591.134 ,ii=1剔除(n-36, n + 36)之外的数据9. 22,剩下数据的样本方差为1 (1591.134-9.222 -15x 10.022)沁 0.008 ,因此6的估计值为0.008沁0.09 .6.(2014 新课标 1)从某企业生产的某种产品中抽取500 件,测量这些产品的一项质量指

13、标值由测量结果得如下频率分布直方图：(I)求这500件产品质量指标值的样本平均数X和样本方差s2 (同一组数据用该区间的中点值作代表)；(ii)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值z服从正态分布Nn,62), 其中卩近似为样本平均数x , b 2近似为样本方差s2.(i) 利用该正态分布，求P(187.8 Z 212.2)；(ii) 某用户从该企业购买了 100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8, 212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX .附：150 12.2 .若 Z N (卩 Q2)，则 P( yb Z p+b) =0.6826,P(卩一

14、 2b Z p + 2b) =0.9544.【解析】(I)抽取产品的质量指标值的样本平均数X和样本方差s 2分别为X = 170 X 0.02 +180 X 0.09 +190 x 0.22 + 200 x 0.33+210 x 0.24 + 220 x 0.08 + 230 x 0.02 =200s2 二(-30)2 x 0.02 + (20)2 x 0.09 + (-10)2 x 0.22+0x 0.33 +102 x 0.24 + 202 x 0.08 + 302 x 0.02 = 150.(II)仃)由(I)知，Z N(200,150)，从而P(187.8Z212.2)=P(200-1

15、2.2Z200+12.2)=0.6826.(ii)由(i)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6， 依题意知 X-B(100, 0.682 6),所以 EX = 100x0.6826 = 68.26.五、巩固提高1、（2019 届山东省潍坊模拟）某校 有 1000 人参 加某 次模 拟考试，其中数学 考试 成绩 近似 服从正态 分布戸，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人1数占总人数的打则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A150 B200 C300 D400解析】P(X 120) = j P(90 X 12

16、0) = 1-| = |P（90 X 0）和111N（卩,c 2）（c 0）的密度函数图像如图所示。则有（）2 2 2A.卩 卩，c c B.卩 c12121212C. P P ,c p ,c c12121212【解析】根据正态分布N（p,c 2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于x =p对称，在x =R处取得最大值的连续钟形曲线；b越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过 来，b越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A。5、(2019 届广西柳州模拟)在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布门代厂，若:在 内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为( )A0.2

17、5B0.1 C0.125D0.5【解析】由题意得，区间关于”丨“对称，1 -P(85 115) = 0.125所以 故选C.6、假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量,若- 天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0,则p0的值为()A. 0.954 4 B. 0.682 6 C. 0.997 4 D. 0.977 2【试题来源】人教版高中数学选修2-3同步练习：2.4正态分布【解析】由于随机变量X服从正态分布N (800，502)，故有口=800,。=50, P (700VXW900)=0.9544.1 1由正态分布的对称性，可得 p= (P (

18、XW900) =P (XW800) +P (800VXW900) =?+和(7000VXW900) =0.9772故选：D.7、下面给出了关于正态曲线的4个叙述:曲线在X轴上方，且与X轴不相交;当xu时,曲线下降，当xu时,曲线上升;当 u 一定时，。越小，总体分布越分散，。越大，总体分布越集中;曲线关于直线X=u对 称，且当X=u时,曲线的值位于最高点.其中正确的个数为 ()A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【解析】只有不正确，因为曲线的形状由。确定，当u 一定时，。越小，曲线越“瘦 高”，总体分布越集中；。越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散.故选：C8 、 ( 20 1 8届山东省德

19、州市模拟)设其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷100000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是()注：若，贝|gP(p- u X 5 + 鈕26，P(|i-2c X p, + 2a) 0.9544A60380 B65870 C70280 D75390【解析】解：N(1J),且 P(U0.6S26,向正方形ABCD中随机投掷1个点，则点落入阴影部分的概率为P = 1 P(01 0.3413 = O,65S7一向正方形ABCD中随机投掷100000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是100000x0.658765870故选：B.9、(2018-2019学年黑龙江牡丹

20、江市模拟)若随机变量XFQ品，且P&贬，则中 戈v句-【解析】解：因为随机变量 i-，所以正态分布曲线关于直线X=3对称所以丨- .： - - - .： ： - 故答案为：0. 6.1 0、(20 1 9届安徽省六安模拟)已知某次数学考试的成绩服从正态分布汽小二此，则114分以上的成绩所占的百分比 为( 附 ：V X転H + )一 碍2五 ，P(桃09544 ,. I -)【解析】因为数学考试的成绩服从正态分布:,所以:- - :.】i因为变量在“二:内取值的概率约为：l：l；1,所以成绩在 n 内的考生所占的百分比约* ,1-(1 -0.9974) = 0.13%所以成绩在114分以上的考生

21、所占的百分比为。1 1、为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(u,22),且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1000 名男生中属于正常情况的人数约为【解析】由题意，P （58. 5VXV62. 5） =0.683,在这1000名男生中不属于正常情况的人数是1000X0.683=683,故答案为：683.12、（2019届重庆市第一中学模拟）某地区高二女生的体重（单位:）服从正态分布若该地区共有高二女生人,则体重在区间3皿吶

22、的女生人数约为【解析】由题意可得i:, 所以体重在区间（50,65）内概率1I0,9974P（jO 65） -6! - r - 3tr X -；：；：:： Z)频率/组距f0.01500.01250.010 -0.C07S,.0.00500 M 4060 80 lflfl标碁解析】(I)该工业区被调査的化工企业的污染情况标准分的平均值:(10 x 0.0050+ 30 x 0.0125 + 50* 0.0150 + 7Qx 0.010 + 90 0.0075) x 30 = 51,故该工业区的化工企业的治污平均值水平基本达标；(II)化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N (50, 162)0.954 - 0.683P(18 X 34) = QJ 355标准分在18, 34)内的概率，60的标准分在18,34)内的化工企业,每月可减少的直接损失为:、- ；：. | :. .万元，1 - 0.954P(X IS) = 0,023标准分低于18分的概率，3,.*： m - :; - I 二万元故长沙市决定关停80的标准分低于 18 分的化工企业和60的标准分在1 8 ， 34)内的化工企业，每月可减少的直接损失约有