大学物理第六章题解

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1、第六章经典质点系动力学Or6-1.如图，半圆柱立在光滑水平面上从静止开始到下，试判断 质心C的运动方向.解 建立如图x轴，由于水平方向外力分量之和为零工F = ix 所以水平方向动量守恒P =C 因初始时静止，故xP = mv = 0xCxdx由v = C = 0，可知x =常量，质心C竖直向下运动.CxdtC6-2 如图，船的质量为5000kg，当质量为1000kg的汽车相对船静止时，船尾螺旋桨 的转动可使船以加速度02mfs2前进在船行进中，汽车相对于船以加速度05mJs2沿船 前进的相反方向加速运动，求此时船的加速度的大小.解 将船与汽车作为质点系.当汽车相对于船静止时，船的 加速度即为

2、质点系质心的加速度，根据质心运动定理可知船尾螺 旋桨转动时的推力F (e)= ma =(5000 +1000) x 0.2 = 1200(N)C在船的行进过程中，以船的行进方向为x、x轴正方向设船相对于岸的速度、加速 度用x、x表示，汽车相对于船的速度、加速度用x、x表示，则汽车相对于岸的速度、 加速度为x+x、x+x根据质点系的动量定理m x + m (x + x) = F(e) dt 船车即m x + m (x + x)二 F()船车5000x +1000x -1000 x 0.5 二 1200可求出此时船的加速度的大小x = 0.28m S2.6-3.三只质量均为m的小船鱼贯而行，速率都

3、是v，中间一船同时以相对本船的速率 0u沿水平方向把两个质量均为m的物体抛到前后两只船上，求两物体落入船后三只船的速 率(忽略水对船的阻力).解 以船行方向为速度正方向，设两物体落入船后三只船的速率为v、V、v .123以中间船及两物体为质点系，因为在抛出物体的过程中水平方向不受外力，所以质点系 水平方向动量守恒(m + 2m)v = m v + m(v + u) + m(v 一 u)0 0 2 2 2所以v = v2以前船与抛入物体为质点系，因为在抛入物体的过程中水平方向不受外力，所以质点系 水平方向动量守恒m v + m (v + u) = (m + m)v0 0 1所以muv = v +

4、 1m + m0以后船与抛入物体为质点系，同样，根据质点系水平方向动量守恒m v + m (v 一 u) = (m + m)v003muv = v 一一3 m + m06-4.质量为70kg的人和质量为210kg的小船最初处于静止，后来人从船尾向船头走 了 3.2m，不计船所受阻力，问船向那个方向运动，移动了几米？（用质心运动定理求解.） 解 建立与地面固连的坐标系Ox , x轴的方向为从船尾指向船头.人视为质点1，坐标为x ；船视为质点2，坐标为x ；此二质点构成质点系.1 2质点系所受合外力为零，由质心运动定理可知质点系质心加速度为零；由于质心速度为 常量，质点系初始状态静止，所以质心速度

5、为零，即质心位置保持不变m x + m xm x + m x1-22 x x 1-0-20m + m CC0m + m1 2 1 2m Ax + m Ax 01 1 2 2由于Ax 3.2 + Ax，代入上式得3.2 x 7070 + 2100.8(m)1 2.3.2 mAx i 2 m + m6-5.试证明质量为m，ml 2 .12证明以杆中心为原点，m1 2 即船向后移动了 08米.沿杆建立坐标系Oxy如图.长为l的匀质细杆对过杆中点且与杆垂直的轴的转动惯量为杆的线密度P （即单位长度的质量）.l l用一系列与杆垂直的不同x的面，把杆分割成无限多个无限小的质元，图中画出了在m_xx + d

6、x范围内的小质元此小质元质量dm P dx dx，到Oy轴的距离为I xI，对l lmOy轴的转动惯量为dI x2dm x2dx 则整个细杆对Oy轴的转动惯量lml 2T/212丁 l/2 m 1 mI J x2dx x3 l/2l/2 l3 l6-6 .如图，半径R 0lm的定滑轮，可绕过轮心的z轴转动，转动惯量为 J 0.1kg- m2 一不可伸长之轻绳无滑地跨过定滑轮，一端竖直地悬一质量m 1kg的重 物，另一端a受竖直向下的力F作用，F 20.8N 试用质点系角动量定理求a点加速度.解 用滑轮、绳、重物构成质点系，质点系所受外力为F、重物 重力mg和轮轴处所受支撑力Fn根据质点系对z轴

7、的角动量定理dd(J + Rmv) (J + mR 2) FR mgRdtdtdFR mgR所以，a点加速度为dtJ + mR 2d -F mg -a Ri R 2 idtJ + mR 20.0120.8 1x 9.8 i 1.0f (m;s2)0.1 + 1x 0.016-7.可利用阿特伍德机（例题6-3-4）测滑轮转动惯量.设m二0.46kg , m二0.50kg ,1 2滑轮半径R二0.05m .由静止开始释放重物测得m在5.0s内下降0.75m .求滑轮转动惯2量J .解（因为不要求求出绳内张力，故可用质点系角动量定理求解.）用滑轮、绳、重物构成质点系，质点系所受外力为重物和滑轮的重力

8、、以及轮轴处所受支撑力F 根据质点系对z轴的角动量定理N(Jw + Rm v + Rm v )dt1122dw=J + (m + m )R2= m gR 一m gR1 2dt21(m 一 m ) gR2+, m下降加速度的大小为2dw所以 2dtJ + (m + m )R21 2厂 dw(m - m ) ga R 22 dtm + m + J R212一A1可见质点m作匀加速直线运动.由Ax a t2，求出a22220.060 m s2 .由上式可知(m m ) gJ R221-m -m a122(0.50 0.46) x 9.80.052 x 0.50 0.46 1.39 x10-2 kg

9、- m20.066-8.匀质细杆长21，质量为m，杆上穿有两个质量均为m的小球初始时杆以角速 0度w 0绕过杆中点O且与杆垂直的光滑竖直轴转动，两小球均位于距O点1/2处.求当两个 小球同时滑动到杆的两端点时杆的角速度的大小.解将杆和两个小球作为质点系.由于竖直轴光滑，轴受到的约束力对竖直转动轴力矩 为零；细杆和小球的重力与竖直转动轴平行，对竖直转动轴力矩为零.由于质点系所受外力 对竖直转动轴合力矩为零，所以质点系对竖直转动轴角动量守恒，设末态角速度为w，则J w + 2ml 丄 w02 2 0J w + 2ml 1w由于 J m (21 )2 1 m 12,12 03 0(2 m + 3m)

10、w所以w-00.2(m + 6m)06-9.工程上常用摩擦啮合器使两个飞轮以相同的转速转动，如图，飞轮A、B可绕同 一固定轴转动，C为啮合器.设飞轮A、B对轴的转动惯量J 10kg m2，AJ 20kg m2，开始A轮转速n - 600r/min （转每分），B轮静止，求两轮啮合后的转BA速.解 将二飞轮A、B作为质点系由于二飞轮所受重力和支撑力对固定轴力矩均为零,飞轮所受外阻（动）力矩比二飞轮啮合时飞轮间的相互作用力矩小得多，故啮合过程中质点系对固定轴的角动量近似守恒，有J 2n 兀-(J + J )2n兀A AABJ n 10 x 600fn - a a - 200( r mm)J + J

11、 10 + 20A B6-10.有两根原长为l、劲度系数为k的轻弹簧串接于O点，另两端各系一质量为m的0滑块，置于光滑水平面上现将两滑块拉开，使其相距21( l l)，从静止放手，求两弹 0簧恢复原长时，弹簧弹性力对两滑块做功之和.(用三种方法求解)解法一 由于在运动过程中O点为质心，由质心运动定理可知O点固定不动.利用弹簧弹性势能求解.弹簧弹性力对两滑块做功之和等于两弹簧弹性势能增量的负值W = -2 X 0 -1 k (1 -1 )2 = k (1 - 1 )22 0 0解法二 由于在运动过程中O点为质心，由质心运动定理可知O点固定不动.在惯性系中积分求功以弹簧自由伸长处为原点、沿弹簧建立

12、x轴，则 W = 2xf0 (-kx)dx = 2X1 k(1 -1 )2 = k(1 -1 )21 -1o200解法三 由于在运动过程中O点为质心，由质心运动定理可知O点固定不动.利用求一对力做功之和的方法，在与一个滑块相对静止的参考系中积分求功.以一个滑 x块为原点、沿弹簧建立x轴，当另一滑块位于X处时，每个弹簧的伸长量为K-120 W = f210 - k (x -1 )dx = -2k f210( - -1 )d(-)212 021 2 0 21x= -2k -(- - 1 )2 |21。= k(1 - 1 )22 2 0 21 06-11 两个滑冰运动员质量均为70kg，均以6.5m

13、Js速率沿相反方向滑行，滑行路线 间的垂直距离为10m 当彼此相错时，各抓住10m长绳的一端，然后开始旋转.(1)在抓 住绳端之前，各自对绳中点的角动量多大？抓住后又为多大？(2)他们各自收绳，到绳长5m 时，各自速率多大？(3)绳长5m时绳内张力多大？(4)收绳过程中二人总动能如何变化？(5)二人共做多少功？解(1)抓绳之前，每个运动员对绳中心角动量均为L = 5x70x6.5 = 2275(kg-m s).抓绳之后，视两个运动员和绳为质点系，所受外力矢量和为零，所以质点系质心(绳中 心)位置不变，绳中心仍为固定点，每个运动员对绳中心的角动量仍为2275kg mVs .(2) 绳的张力Ft为

14、质点系内力收绳过程中质点系所受外力对绳中心的力矩为零，所 以质点系的角动量守恒，设收绳后运动员速率为v，则2 x 2.5 x 70 x v = 2 x 2275所以 v = 13m.s (3) 当绳长5m时，对每一个运动员，由牛顿第二定律可得F = 702.53 =4732(N)4)质点系总动能的增量等于组成质点系的每个质点动能增量之和E - E = 2x1 x70x (132 - 6.52) = 8873(J)k k0 25)根据质点系的动能定理，二运动员总共做功等于质点系动能增量，W = E - E = 8873(J)k k076-12.匀质细杆长1 = -m，质量为m，可绕过其一端的光滑

15、水平轴在竖直平面内转动,在杆自由下垂时有一质量为mi6的黏性小球沿水平方向飞来并黏附于杆的中点，使杆摆动 的最大角度为60 o求小球飞来时的速率.(g =10m s2)解 在小球与杆的碰撞过程中，以小球和杆为质点系质点系所受外力中，杆的重力mg 和杆所受轴的支撑力对轴o的力矩为零；小球重力mg对轴o的力矩近似为零；所以质 点系的角动量近似守恒mvL=mvL=1 mi 2+m( L 讣26 236 29tttjXi故v = -h .在小球和杆一起上摆的过程中，以小球和杆为质点系, 仅有小球和杆所受重力做功，而重力为保守力，所以机械能守恒11 7 mJm、 l ml2 +()2血 2 = (m +

16、 一)g cos60。2 36 262二 21(m. s).14 g因此2 = | 根据以上结果即可求出V6-13在光滑水平桌面上，有一质量为m的滑块，滑块与一弹簧相连，弹簧另一端固定 于O点，劲度系数为k 当弹簧处于原长l时，一质量为m的子弹以速度V垂直于弹簧地 0 0 0射入滑块，并嵌在其中之后当滑块运动到B点时，弹簧长度为l，如图所示求滑块于B 时的速度V.解 在子弹射入滑块的过程中，由子弹和滑块构成质点系. 力，故质点系沿v方向动量守恒0m v = (m + m )v 0 0 0所以 v = m v /(m + m ).0 0 0在子弹和滑块由A T B的过程中，视子弹和滑块为一 个质

17、点由于过程中只有弹簧弹性力做功，弹簧弹性力为 保守力，故质点机械能守恒；又因质点受力对过O点的竖 直轴力矩为零，所以质点对过0点的竖直轴角动量守恒.(m + m )v 2 =(m + m )v2 +k(l -1 )2202020(m + m )v 7 = (m + m )vl sin 0000所以rm2v2k(l 一 l )2v = -901 2(m + m )2m + m00.m v l0 二 arcsin-0-0lm2v2 (m + m )k(l l )2120 0006-14大容器内水的自由表面的高度为h，放在水平地面上，离自由表面h深处有一小0孔A，小孔横截面积远小于容器横截面积求：(

18、1)由小孔A流出的水流到达地面的水平 射程x ； (2)与小孔A在同一竖直线上，距自由表面多深处再开一孔，可使水流的水平射 程与前者相等？(3)在多深处开孔，可使水流具有最大水平射程？最大水平射程是多少？解 (1)由于容器横截面积远大于小孔横截面积，水流稳定后可认为容器中水面高度 不变认为水是理想流体水流稳定后，取一条从容器中水自由表面到小孔的流线，以容器底为重力势能零点，由伯努利方程p gh + p 二 p g (h - h) +1 pv2 + p 00020所以小孔流速v二叮2gh .流体微团从流出小孔到落地降落的高度h -h = 2gt 2,可知降落时间间=因此水平射程X二vt二2,：(

19、h0 h)h .(2) 在hh深处另开一孔而水平射程相同，则由2 Jh(h h)二 2jh，(h h，)可求出h = h h .(略去h，二h .)0dx2(h 2h)门71 7(3) 根据(1) x = 2p(h h)h，由匸=0= 0，有唯一极值点h = h使-0dh2j(h h)h2 071 770水流具有最大射程.当h = h时，x = x = h .2 0max 06-15.如图是测量液体流量的流量计原理图.已知细管和粗管的横截面积为S、S，1 2 使用时把它串接在水平液流管道中，稳定流动时两竖直管内液体自由表面高度差为h .求流 量表达式.解 沿管道中心轴取一流线，对该流线上1、2

20、两点，根据伯努利方程，因h = h，故1 21 1PV 2 + p =pv 2 + p(1)2 1 1 2 2 2连续性方程1、2两点压强差由(1)、(3)式，可得vS = v S1 1 2 2p p = P gh2 1(2)(3)由(2)v 2 一 v 2 = 2 gh1 2vS式，得v =甘，代入上式2 S2V 2(1 1，即 V1S 2 S 22 12 gh所以Q = vS = v S1 1 2 22=SS1 2S 2 S 22 12 gh可得所以6-16 .如图装置，出口处堵塞时，注满可视为理想流体的水.水平细管横截面积处处相 等，其直径远小于大容器直径.打开塞子在水流稳定后，求两竖直

21、细管内水面高度.解由于细管直径远小于大容器直径，水流稳定后可认为大容器中水面高度不变.在水 流稳定之前，竖直细管内的水会流出，而水流稳定后竖直细管内水面高度不变.根据伯努利方程作从大容器水面开始经水平细管的流线，取水平细管处为势能零点,7 1 1 1 p + p gh = p + pv 2 = p +0 1 2 2 一因为S = S = S，根据连续性方程34S v =Sv =S v2 23 34 4v = v = v23 4p = p = p230两竖直细管内为静止流体，根据p = p = p +P gh2002p = p = p +P gh3 0036-17 .如题6-16图，若其中装有密

22、度为1000kg m3的黏性流体，流动稳定后 h二0.18m， h二0.1m，h二0.05m .求出口流速.（不计大容器内内能量损失）123解由于细管直径远小于大容器直径，水流稳定后可认为大容器中水面高度不变.在水 流稳定之前，竖直细管内的水会流出，而水流稳定后竖直细管内水面高度不变.作从大容器水面开始经水平细管的流线，取水平细管处为势能零点.根据连续性方程, 因为水平细管横截面处处相等，故水平细管中的2、3、4点流速相等，以v表示其流速.根据不可压缩黏性流体作稳定流动时的功能关系式，对3、4点，有P + 1 pV 2 = p + 1 pv 2 + W320234竖直细管内为静止流体，可知p = p +p gh，3 03所以W = p gh343根据不可压缩黏性流体作稳定流动时的功能关系 式，对1、4点，有p + p gh = p + pv 2 + W010214由于水平细管横截面处处相等，不计大容器内内能量损失，故可知3W =W，所以 3414V = 2g（h -3h ）.2X9.8x（0.18-3x0.05） = 0.767（m；s）（第六章题解结束）13