高数求极限的方法小结

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1、高数求极限的方法小结高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.1 利用等价无穷小求极限#这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷代替)小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小设aa、卩且1耳l吐；则：卩与a是等价3a a无穷小的充分必要条件为：肌a+0(a) 常用等价无穷小：当变量x - 0时，sin x x,tanx x,arcsin x x,arctan x x,ex 一 1 x,ln(1 + x)x,1 一cosx x2,故,原式=lim1 +

2、 x 一 1 一 x “ x,(1 + x)a-1a x 例1求 1一 cos x limx-0 x arctan x解x 0时,1 一 cos x x2 ,arctan x x，2例2求讪(1+ X 2)1 一 1XTO COS x -1X T 0时,(1 + X2)3 -1 1一 COS X X22,因此:原式二im匸X t0 X 22例3lim31 + 3 -1 -XT0tan XX T 0时，31 + X 一 1 1x, tan x X3故:原式=.imb =X T0 XX，故:原式=limX2XT02X2例 4 求 lim a 一 J .XTO 2x ln(1+ x)例5试确定常数a

3、与n，使得当XT 0时，axn与 ln(1-X3)+ X3为等价无穷小ln(1- X3)+ X34lim= 1XT0aXn而左边 lim1X3+3X 23x5x to naxn-1二 limXTO naxn-1.lim -3 二 1a3 二 1A a 一 丄XT0 6a6a22.2 利用洛必达法则求极限#利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者巴型等未定式类型.洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无 穷比无穷的时候直接用. （2）0乘以无穷，无穷 无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就 能变成（1）中形式了. （3）0的0次方，1的无 穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函

4、数） 形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂 函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无 穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当x - a时，函 数f （x）及F（x）都趋于0；在点a的某去心邻域内，f（x）F（x）的导数都存在且F（x）的导数不等于0 ；limxraf( x)存在，那么ifxra F(x)=limxraf( x). 1求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法.3例 6 求 lim( 1- COSix)x-o sin2 xx2分析 秘诀强行代入，先定型后定法1 1 02 -02 (0+0)(0-0) 0-0 0+ (0 此为强行代入以

5、02 02040403定型）（。一 ）可能是比（0 + ）高阶的无穷小，倘若不这样，或 (0 + 0)(0-0) _ 0-0 0 + 0 或 (0 + 0)(0-0) _ 0 + 0 0-0 04O2O20403lim(1xtO sin 2 xcos2 xx2 -sin2 xcos2 x(x-sin xcosx)(x+sin xcosx)-)=lim= limx2 xt0x2 sin 2 xx tOx4x 一 sin x cos x x + sin x cos xx 一 sin x cos x 9=limlim= 2limxtOx3xtOxtOx3由洛必达法则的2,有：上式二2limxt01-

6、 cos2 x + sin 2 x 4sin 2 x4 .3x2=lim =3 xt0 x23例7求 lim ex 一1 *xt0 x2 - x解/wr(ex 1)exlim= lim=-1 a lim 一1 -1.xt0 (x2 -x)xt0 2x-1xt0 x2 一 x例8求x 3 - 3 x + 2 .limxt1 x3 - x2 - x + 1解nrr原式-Hm 3x2 -3-lim 6x - 3（二次使用洛x T1 3 x 2 一 2 x 一 1xt1 6 x 22必达法则）例 9求 Hm ex 一 e-x 一 2x xt0x - sin xex - e- xex - e- x=li

7、m= 2sin xxtO cos x解原式=lim ex -e-x - 2 = limxtO 1 - cos xxtO例 10 求 lim x 2 - 4 x + 3.xt1lim三=0 原式=gx t1 x 一 1解原式= lim 2xt1 2 x - 2xt1 x -1例11求恤tan x xxtO xsin x arcsin x解 原式=limx tOtan x - xlim吕=恤上沁xtO3x2xtO 3x2 cos2 xxxx例12求limxtO+ ln x(1+ cos) x 21lim-=- xtO 3x2 cos2 x3cot x .解 原式=lim 一血 x一COs2 x x

8、xtO+sin 2 x例 I3 求lim( COsix)xtOsin 2 xx2解原式= lim x2 - sin2 x cos2 xx tOsin 2 xx 2-1=lim= -gxtO+ 2sin x cos xHm (x - sin x cos x)( x + sin x cos x)xtOx4x-sin xcosxx+sin xcos xx-sin xcosx1-cos2 x+sin2 x4=limlim= 2lim= 2limx tOx3x tOxxtOx3xtOx3x33x2型：例14兀lim x ( 一 arctan x)解原式=lim兀一 arctan x2例 15XT+8=l

9、im 1 + x 2x2=lim -y1x T+gx 2”型：求刀lim (sec x tan x )*sec x 一 tan x =cos x cos xsinx 1sinx ，cos x故原式二lim 口1叮二lim CO竺二0 工一sin xxT200工 cos xx T2型：例16求limxxxT0+1g型：x tO+xtO+解原式-lim elnxx = lim exlnx 二 exT0+eXlnx例 17 求 liml + 二解 原式二 lim 1 + -=eeg0型：例 18求1lim( )tan xxT0+ x解原式二lim elnAxlim etan xln x=lim et

10、an x in x = exT0+xT0+而 lim ( tan x ln x)2.3泰勒。公式tan x xxT0+lim(x ln x)二 09 因此5xT0+原式=1(含有e的x次方的时候，尤其是含有正、余ex弦的加减的时候要特别注意)泰勒中值定理定理：如果函数f(劝在含有n的 某个开区间(甸内具有直到(“ +1)阶的导数，则对任一_x e (a,b)，有+f (x)二 f (xo)八x0)(x-x)+ d ( x-x ) 2 +0 2! 0+ 3) ( x-x ) n + R ( x)n!0 n其中R (x)=占(x_x加，这里是x与x之间的n(n +1丿！0o某个值. 1例19 利用

11、带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限 Hm sin x 一 x cos x 我们只需x TOsin3 x解由于公式的分母sin3 x x3(xT0)，将分子中的sin x=x - + 0( x3), x cos x = 3!x 一+ 0(x3)2!代入计算，于是sin x 一 x cos x = x 一 + 0(x3) 一 x + + 0(x3) = - x3 + 0(x3)， 引2!3上式做运算时，把两个3高阶的无穷小的代数和x3还是记作0(x3)例 20limx T83x3 + x 2 + 4X3 + 2 x 2 + x + 13 +1 + 兰=hm严宁1x T8 1 +_+x x 2

12、x 3n2 +1lim x* (n - l)21 +丄=lim n = 1 xT8 1 - 2 + 丄n n2lim(一2)： + 3(2) n+ 3n+1=limxT8n+1（-2）-2）n+32.4 无穷小与有界函数的处理方法面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方 法3例 21 求Hm x + sin x x sx解原式二 lim（1 + 沁）二 lim（1 +1 sin x）二 1xx sx2.5 夹逼定理 主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主 要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放 缩或扩大1例 22limns(.兀sin nn +1.2兀s

13、in -学 +. +1n + 2sin兀Tn + n丿.加smnn +1i=1.i兀smn1i=1 n + i.i兀sin2 n n+o i=1n T8 .-i=1sin i兀lim 2i兀li1sin 兀 x - dx =-” n ni=1n+osin inlimn +1i=1=limn s 丄丄工匹=Jn +1 n n 丿i=11sin n x - dx =，0n根据夹逼定理lim2x T8 i =1insin -n2.6等比等差数列公式（5的绝对值要小于）1例 23设15 k 1，证等比数列1,5 2 ，5 n-1的极限为0证任取0 5 1，为使|x 一a n，而Ix - a| =5n5

14、 |n ，即讪5希,In ，丽_nN时，In +1 ln呻|n ln |5 | ln n |5 |n 由定义知臥5 n即 |x - an5 +52 + .5 n. = lim+52 + .5 n )=(5I i)= o51-8(|5| 1)因此,很显然有:0.99二 lim J.99.丄 1.2.7 各项以拆分相加3将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数例 24求 lim f(1+ns 1 1 12*3 + 3*4 + + n (n +1)解 原式=lim fl +1 -1 +1 -1 +. +1 一丄2 334 n n +1 丿=l

15、im (1 + -n Ts 2 n + 1 丿=limns =322.8 求左右极限的方式f (x )的例25求函数f（x）x -1, x 0极限.x tO+f ( x)解 lim f (x )= lim (x -1)=-1， lim f (x )= lim (x +1) = 1， xT0-因为T： f (x). lim f (:T；所以，当 x t。时, 的极限不存在. xT0+xT0+例26x叫xlimx TO x(a 0) 解lim xa (一x) = lim (-xa) = 0 9xTO-xxTO-lim= lim xa = 0 9xxT0 +xtO+因为lim 出2 = lim竺=0

16、,xTO-xxTO+ x2.9 应用两个重要极限所以,原式=0(i)x1 . -= e9 lim 1 + x Tg sin xlim = 1x T 0 x例 27求 lim g -xT0x解记x = In (1 +1)ex 一 1 = t，则原式=lim丄=limt tO 1 + tt tO (1、ln 1 + -I t丿1- = 1 (因为 lim (1 + x )x = e1xTgt例 28 求(1 Anlim 1 +nTg n + 1 丿解 原式=(1(n+1)-1 =lim 1 +nTg n +1 丿例 29 求(lim 1 +nTg 1 An(1(n-1)+1 =lim 1 +nTg

17、 2.10 根据增长速度解 原式=ln x Xn o)xTg ekx解原式二 lim nxn1=lim n (n -1) xn-2xts e九xts九2eMn!=lim =0xTW 九ng例 31求 limln (n 0 )x Twxn解 lim 旦=lim 1 = lim 丄=0 .xTw x n xTw nx n 1 x Tw nx n同函数趋近于无穷的速度是不一样的，x的xxx次方快于x!( x的阶乘)快于指数函数，快于幂函x ! x数，快于对数函数.所以增长速度：ln x xn b 设有数列兀和& ，如果lim(x + y )= a + b； nnn n+ ynn当 y 丰 0 (n

18、二 1,2,.)且 b 丰 0 时,n那么lim(x + y )= A + B; limx y = A-Bnnn TgxAlim n = ns y B n2.13 求数列极限的时候可以将其转化为定积分1例33已知f (x)=尸，在区间上求 limYf小(其中将0,1分为”个小区间,=Ji=111x ,x ，x x 为心中的最大值)i -1 i i -1 i ii解由已知得：lim :Ef (,)Ax =I 1 f (xxXr0 . , Il 0i=1=I /1 - x 2 - dx0兀注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数f (x)在区间上 的面积).在有的极限的计算

19、中，需要利用到如下的一 些结论、概念和方法：(1) 定积分中值定理：如果函数f(x)在积分 区间吻上连续，则在抽上至少有一个点，使下 列公式成立：J bf (x )dx = (x)(b - a ) (a 9 a， 如果极限呱j tf (xk存在，则称此极限为函数f (x) 在无穷区间匚+二上的反常积分，记作卜厲，即0J+8 f(x)dx= limJt f(x)dx；a设f：X)在区间山上连续且f (6 0，求以曲线 y = f (x)为曲线，底为匚,订的曲边梯形的面积A，把 这个面积A表示为定积分：A=j b f (x加的步骤是： 首先，用任意一组的点把区间站分成长度 为Ax (i = 1,2

20、,. n)的n个小区间，相应地把曲线梯形分 成“个窄曲边梯形，第.个窄曲边梯形的面积设为 niAA，于疋有a = AA ；i其次，计算的近似值AA qf (p)Ax (x x )9ii ii _1i i然后，i求和，得A的近似值A磐比氐；iii=1最后，求极限，得 A = lim 工 f )Ax =J bf (x) dxXrO . 一ii ai=1例34设函数f (x)连续，且f (血0，求极限J x(x _t) f (t)dtlimo Jxf ()d 虻xro xJ x f (x _t)dto解Jx(x_t)f (t)dt =Jxxf (t)dt _Jxtf (t)dtlim olim oo

21、xto xJ xf (x_t)dtxtoxJ xf (u)du00lim-oxtOJx f (t)dt +xf (x)_ xf (x) 由洛必达得：im 0J x f (u)du + xf (x)，其中f (x _ t )dx,令u = x 一 t,得Jx f (u )du ) 0xtoo再由积分中值定理得:lim ，彳广(在0到x之间)xtO xf (P)+ xf (x丿xf (申)= f G) = f(0) = 1 =rm f (?)+f (x)=f (o)+f (o)=2.例35计算反常积分：卜一8 1 + x2dx .解卜dx+8_8 1 + X2=际怕臥卜=limx _ lim远负x

22、 =与_ (_|) ”_8x r+8x r - 82.14 利用函数有界原理证明极限的存在性，利 用数列的逆推求极限(1)单调有界数列必有极限；极(2)单调递增且有上界的数列必有极限， 单调递减且有下界的数列必有极限.3例36数列x心,27厂，n琴n-1限存在吗？=1解由已知可得x 单调递增且有界，由单调 有界原理，知limx存在.nnsX* x = J2 + x 9 lim x = lim nn-1 nx n nxn-1lim x =t,贝It =-1，n即可证x 2，得到t = 2.n2.15 直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你F(= 0时，F(x)的导数等于0 的时候，就是暗示你一定

23、要用导数定义：=1I三1 = = 1(1)设函数y = f (x)在点x的某个领域内有定 义，当自变量x在”处取得增量Ax (点心+ x仍在该 领域内)时,相应的函数取得增量Ay = f (心+： )-f (x )； 00 如果Ay与Ax之比心-时的极限存在，则称函数 y = f (x)在点x处可导，并称这个极限为函数y = f (x)在点x处可导，并称这个极限为函数y * (x)在点x处的导0 数，记作0解 lim f (x)上二 lim f (xL1 = llim f(X) f(0)二 1 f(0)一1 2 XT0X - 02广(x )，即0f(x )= lim 空=lim f(Ax +

24、X0)-f(X0)；0 心亠Ax 心aAx(2)在某点处可导的充分必要条件是左右 导数都存在且相等.例 36 f (x) = (x-i)(x-e)(x-.)，求fG) 解 f(兀)=lim f (x )-f 兀)=lim (x - 1)(x - e)=(x - 1)(x - e )XT兀 X -兀XT兀例37若函数f(x)有连续二阶导数且f(0)=0,f(0)=1f (0)=-2则 lim f(X L X = ()XTO X2B：0C：-1A:不存在D：-2xlim= limxT0x 2xT02 x所以，答案为D例38 若，求f (x)二 x(x + 1)(x + 2) + .(X + 201

25、0)厂(0) 解广(0)二 lim f (X) 一 f()x T 0xx( x + 1)(x + 2) + (x + 2010)=lim=lim x (x + l)(x + 2) +.(x + 2010)XT 0=2010!2.16 利用连续性求极限1例39设f在x=1处有连续的一阶导数，且求 d 1f=2 9 V lim 一 + (cosp x -1) *x t1+ dx解原式 _ lim f(cos .x -1)(- sin、x -1)1 =xt1+2 弋 x 1_-ilimf（cos貢i）也 x12 xt1+x 11_ - 一 lim f （cos、：x -1）2 xt1+1_ - f （lim cos、x 一 1）2 xt1+1 _-2广2.17 数列极限转为函数极限求解数列极限中是n趋近，而不是x趋近面对数 nx列极限时，先要转化成求x趋近情况下的极限，x当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件.nx（还有数列极限的n当然是趋于正无穷的）1例 40 求limn2（1-nsin1）.nsn解令1 一 t，则原式n1 sint、十 t-sint1 -cost ,lim (1-) lim limttO 12tttO13ttO3t lim ttO所以在t t 0时，1-cost与丄t2等价，因此，原式2X T 0时, eX 一1 X,ln(1 + X)