数学物理方法建模

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1、数学物理方法建模 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望问题问题：将一只四条腿一样长的椅子放在不：将一只四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，问是否总能设法使它的四条平的地面上，问是否总能设法使它的四条腿同时着地。腿同时着地。椅子能在不平的地面上放稳吗？椅子能在不平的地面上放稳吗？在下列假设条件下，回答是肯定的。在下列假设条件下，回答是肯定的。模型假设模型假设1 1 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面;数学建模数

2、学建模 1 12 2 地面相对平坦，椅子的腿是足够长的，地面相对平坦，椅子的腿是足够长的，椅子在任意位置至少有三只脚同时着地；椅子在任意位置至少有三只脚同时着地；3 3 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形；连线呈正方形；4 4 以椅子的中心为坐标以椅子的中心为坐标原点，对角线的初始位原点，对角线的初始位置为坐标轴，椅子绕原置为坐标轴，椅子绕原点旋转，椅子位置点旋转，椅子位置用用(对角线与对角线与x x轴的夹角轴的夹角)表表示。示。xBADCODC B A 模型构建模型构建由假设由假设1 1由假设由假设2 2记记 A,C A,C 两脚与地面距离之

3、和为两脚与地面距离之和为记记 B,D B,D 两脚与地面距离之和为两脚与地面距离之和为是是连续函数连续函数对任意对任意现不妨设现不妨设数学问题数学问题已知：已知：是是连续函数连续函数;对任意对任意 且且.证明：存在证明：存在 ，使，使模型求解模型求解 将椅子将椅子旋转旋转9090度时，对角线度时，对角线ACAC和和BDBD互换。互换。所以所以令令 ,则则 为连续函数为连续函数,且且据连续函数的基本性质据连续函数的基本性质,必存在必存在 ,使使 即即 .因为因为 ,所以所以评注和思考评注和思考考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子建模的关键是建模的关键是 和和 的确定的确定问题问题(商人们

4、怎商人们怎样安全过河样安全过河)：三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约约,在河的任一岸在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多一旦随从的人数比商人多,就杀人越货就杀人越货.但是如何乘船渡河由商人决定，但是如何乘船渡河由商人决定，问商人应如何安排才能安全渡河。问商人应如何安排才能安全渡河。河河小船小船(至多至多2 2人人)数学建模数学建模 2 2问题分析问题分析 这是一类智力游戏问题，可经过一番逻辑这是一类智力游戏问题，可经过一番逻辑推理求解。当然也可视为一个推理求解。当然也可视为一

5、个多步决策问题多步决策问题，每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）都要对船每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）都要对船上的人员作出决策，在保证安全的前提下（两上的人员作出决策，在保证安全的前提下（两岸的随从数不比商人多）经有限步使全体人员岸的随从数不比商人多）经有限步使全体人员过河过河 由于该问题是虚拟的，已经理想化了，所由于该问题是虚拟的，已经理想化了，所以不必再作假设。以不必再作假设。模型构建模型构建 记记 第第k k次渡河前此岸的商人数为次渡河前此岸的商人数为 ，随从，随从数为数为 ，而，而 为过程中的状态。为过程中的状态。安全渡河条件下的状态称为安全渡河条件下的状态称为允许状态允许状态，全，全体

6、体允许状态构成的集合记为允许状态构成的集合记为 记记 第第k k次渡船上的商人数为次渡船上的商人数为 ，随从数为，随从数为 ，而，而 为过程中的决策。为过程中的决策。多步决策问题模型：多步决策问题模型：安全渡河条件下的决策称为安全渡河条件下的决策称为允许决策允许决策，全，全体体允许决策构成的集合记为允许决策构成的集合记为 因为，因为，为奇数时船从此岸驶向彼岸，为奇数时船从此岸驶向彼岸，为为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态转移律状态转移律为为 求求 使使 并按并按转移律转移律由由 到达到达 模型求解模型求解 穷举法穷举法从从通过通过且且使得使得得到得到例如例如可能的可

7、能的通过通过且且得到得到如果如果则则还原，故还原，故如果如果则则如果如果也有也有故故且且 穷举法适宜编程上机运算穷举法适宜编程上机运算 图解法图解法状态状态s s=(=(x,yx,y)为为1616个格点个格点允许决策为移动允许决策为移动1 1或或2 2格格;k k为为奇数时奇数时,向左、下移向左、下移;k k为为偶数时偶数时,向右、上移向右、上移.d d1 1,，d d1111给出安全渡河方案给出安全渡河方案允许状态为允许状态为1010个点个点xy3322110s1sn+1d1d11评注和思考评注和思考考虑考虑4 4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况 十五世纪中期，十五世纪中期，哥白

8、尼哥白尼提出了震惊世界的提出了震惊世界的日心说日心说。丹麦著名的实验天文学家。丹麦著名的实验天文学家第谷第谷花了二花了二十多年时间十多年时间,观察纪录下了当观察纪录下了当 时已发现的五大时已发现的五大行星的运动情况行星的运动情况。第谷的学生和助手。第谷的学生和助手开普勒开普勒对对这些资料进行了九年时间的分析计算后得出著这些资料进行了九年时间的分析计算后得出著名的名的KeplerKepler三定律三定律。牛顿牛顿根据开普勒三定律和根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即三定律即 万有引力定律万有引力定律例例（万有引力定律的发现万有

9、引力定律的发现 ）数学建模数学建模 3 3开普勒三大定律开普勒三大定律1.1.行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上。一个焦点上。2.2.行星在单位时间内扫过的面积不变。行星在单位时间内扫过的面积不变。3.3.行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的行星运行周期的平方正比于椭圆长半轴的三次方，比例系数不随行星而改变（绝对常三次方，比例系数不随行星而改变（绝对常数）数）行行星星r太阳太阳这其中必定是某一力学这其中必定是某一力学规律的反映，哼哼，我规律的反映，哼哼，我 要找出它。要找出它。如图，有椭圆方程如图，有椭圆方程:矢径所扫过的面积矢径所扫过的面积A

10、A 的微分为的微分为:由开普勒第二定律由开普勒第二定律:常数常数立即得出立即得出:即即:简单推导如下：简单推导如下：椭圆面积椭圆面积由此得出由此得出常数常数我们还需算出行星的加速度，为此需要建立两我们还需算出行星的加速度，为此需要建立两种不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为种不同的坐标架。第一个是固定的，以太阳为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记为坐标原点，沿长轴方向的单位向量记为i i,沿短沿短轴方向的单位向量记为轴方向的单位向量记为j j，于是：，于是：进而有加速度进而有加速度以行星为坐标原点建立活动架标，其两个以行星为坐标原点建立活动架标，其两个正交的单位向量分别是正交的单位向量分别是因此得出因此得出再将椭圆方程再将椭圆方程 两边微分两次，得两边微分两次，得将前面得到的结果将前面得到的结果代入，得代入，得和焦参数和焦参数也就是说行星的加速度为也就是说行星的加速度为由开普勒第三定律知由开普勒第三定律知为常数。若记为常数。若记于是引力于是引力这就是著名的万有引力定律这就是著名的万有引力定律谢谢 谢谢