线性规划与几何概型_高等教育-微积分

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1、-word.zl-线性规划与几何概型【线性规划】一、根本概念 1.约束条件：关于变量yx,的不等式或方程组。2.线性约束条件：关于变量yx,的一次不等式或方程组。3.目标函数：求最值的关于变量yx,的函数解析式。4.线性目标函数：求最值的关于变量yx,的一次解析式。5.线性规划：一般的，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。6.可行解、可行域、最优解 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。二、基此题型 类型一、求线性目标函数的最值 方法总结：在确定约束条件和线性目标

2、函数的前提下，用图解法求最优解的步骤为：1根据约束条件作出可行域；2将目标函数)0(bbyaxz变形为bzxbay将求z的最值问题转化为求直线bzxbay在y轴上的截距bz的最值问题；3画出直线xbay并平行移动，一般地，平移过程中最先或最后经过的点为最优解；4求出最优解并代入目标函数，求出目标函数的最值.注意：最优解一般在可行域顶点或边界取得.把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚。例 1 1如果实数xy、满足条件010101yxyyx，那么2xy的最大值为 A2 B1 C2 D3-word.zl-2设变量x、y满足约束条件632xyyxxy，那么目标

3、函数yxz2的最小值为 A2 B3 C4 D9 练习：1.设,x y满足24,1,22,xyxyxy 那么zxy ()A.有最小值 2，最大值 3 B.有最小值 2，无最大值 C.有最大值 3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值 2设变量x、y满足约束条件632xyyxxy，那么目标函数yxz2的最小值为 A2 B3 C4 D9 类型二、实际应用问题 例 2 1 某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为11,a b，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为22,a b千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为12,d d元，月初一次性够进本月用原料,A B各12,c c千克，要方案本月生产甲产

4、品和乙产品各多少千克才能使月利润总额到达最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润12zd xd y最大的数学模型中，约束条件为 A12112200a xa ycb xb ycxy B11122200a xb yca xb ycxy 式或方程组目标函数求最值的关于变量的函数解析式线性目标函数求最值的关于变量的一次解析式线性规划一般的在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题统称为线性规划问题可行解可行域最优解满足线性约束条件优解二基此题型类型一求线性目标函数的最值方法总结在确定约束条件和线性目标函数的前提下用图解法求最优解的

5、步骤为根据约束条件作出可行域将目标函数变形为上的截距的最值问题将求的最值问题转化为求直线在轴画出直线最优解一般在可行域顶点或边取得把目标函数转化为某一直线其斜率与可行域边所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚例如果实数满足条件那么的最大值为设变量满足约束条件那么目标函数的最小值为练习设满足那么有最小值最大-word.zl-C12112200a xa ycb xb ycxy D12112200a xa ycb xb ycxy 2在平面直角坐标系中，不等式组2,02,02xyxyx表示的平面区域的面积是 (A)21 (B)23 (C)81 (D)89 3点 Px，y的坐标满足条件4,1,xyyxy 点

6、 O 为坐标原点，那么|PO|的最小值等于_，最大值等于_。练习：1.某企业生产甲、乙两种产品，生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期消耗 A原料不超过 13吨，B 原料不超过 18吨，那么该企业可获得最大利润是()A.12 万元 B.20万元 C.25万元 D.27万元 2某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需消耗工时 10 小时可加工出 7 千克A产品，每千克A产品获利 40元，乙车间加工

7、一箱原料需消耗工时 6 小时可加工出 4 千克B产品，每千克B产品获利 50元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70箱原料的加工，每天甲、乙两车间消耗工时总和不得超过 480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产方案为 A甲车间加工原料 10箱，乙车间加工原料 60箱 B甲车间加工原料 15箱，乙车间加工原料 55箱 C甲车间加工原料 18箱，乙车间加工原料 50箱 D甲车间加工原料 40箱，乙车间加工原料 30箱 类型三、非线性目标函数的最值 方法总结：1 对于形如22)()(byaxz型的目标函数均可化为求可行域的点),(yx与),(ba间的距离的平方的最值问题；式或方程组目标函数求最值的关

8、于变量的函数解析式线性目标函数求最值的关于变量的一次解析式线性规划一般的在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题统称为线性规划问题可行解可行域最优解满足线性约束条件优解二基此题型类型一求线性目标函数的最值方法总结在确定约束条件和线性目标函数的前提下用图解法求最优解的步骤为根据约束条件作出可行域将目标函数变形为上的截距的最值问题将求的最值问题转化为求直线在轴画出直线最优解一般在可行域顶点或边取得把目标函数转化为某一直线其斜率与可行域边所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚例如果实数满足条件那么的最大值为设变量满足约束条件那么目标函数的最小值为练习设满足那么有最小值最大-word.zl-2对

9、于形如)0(acdcxbayz型的目标函数，可先变形为)0()()(accdxabycaz的形式，将问题转化为可行域的点),(yx与),(abcd连线斜率的ca倍的最值问题；一距离型 例 3实数对,x y满足不等式组30210 xyxxy ，求22zxy的最大值。例 4yx,满足不等式组020220 xyxyxy ，求22(2)(3)xy 的最大值。练习：1.,x y满足约束条件,03440 xxyy 那么222xyx 的最小值是 A25 B21 C2425 D1 2.点(,)M x y在不等式组20,210,0 xyxyy 所表示的平面区域，那么22(1)(2)zxy 的值域为。二斜率型：式

10、或方程组目标函数求最值的关于变量的函数解析式线性目标函数求最值的关于变量的一次解析式线性规划一般的在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题统称为线性规划问题可行解可行域最优解满足线性约束条件优解二基此题型类型一求线性目标函数的最值方法总结在确定约束条件和线性目标函数的前提下用图解法求最优解的步骤为根据约束条件作出可行域将目标函数变形为上的截距的最值问题将求的最值问题转化为求直线在轴画出直线最优解一般在可行域顶点或边取得把目标函数转化为某一直线其斜率与可行域边所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚例如果实数满足条件那么的最大值为设变量满足约束条件那么目标函数的最小值为练习设满足那么有最小值

11、最大-word.zl-例 5假设,x y满足约束条件222xyxy，求yzx的取值围.练习：,x y满足约束条件2603020 xyxyyx ，求23yzx的围.三约束条件含有参数型 1.假设直线xy2上存在点),(yx满足约束条件mxyxyx03203，那么实数m的最大值为 A1 B1 C23 D2 练习：假设直线xy2上存在点),(yx满足约束条件mxyxyx03203，那么实数m的最大值为 A21 B1 C23 D2 【几何概型】一、要点精讲 1随机数的概念 随机数是在一定围随机产生的数，并且得到这个围任何一个数的时机是均等的。2随机数的产生方法 1利用函数计算器可以得到 01 之间的随

12、机数；2在 Scilab语言中，应用不同的函数可产生 01 或 ab 之间的随机数。3几何概型的概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型；4几何概型的概率公式：式或方程组目标函数求最值的关于变量的函数解析式线性目标函数求最值的关于变量的一次解析式线性规划一般的在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题统称为线性规划问题可行解可行域最优解满足线性约束条件优解二基此题型类型一求线性目标函数的最值方法总结在确定约束条件和线性目标函数的前提下用图解法求最优解的步骤为根据约束条件作出可行域将目标函数变形为上的截距的最值问题将求的最值

13、问题转化为求直线在轴画出直线最优解一般在可行域顶点或边取得把目标函数转化为某一直线其斜率与可行域边所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚例如果实数满足条件那么的最大值为设变量满足约束条件那么目标函数的最小值为练习设满足那么有最小值最大-word.zl-PA=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A。5几种常见的几何概型 1设线段 l 是线段 L 的一局部,向线段 L 上任投一点.假设落在线段 l上的点数与线段 L 的长度成正比,而与线段 l在线段 l 上的相对位置无关,那么点落在线段 l上的概率为：P=l 的长度/L 的长度 2 设平面区域 g 是平面区域 G

14、 的一局部,向区域 G 上任投一点,假设落在区域 g 上的点数与区域 g 的面积成正比,而与区域 g 在区域 G 上的相对位置无关,那么点落在区域 g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积 3 设空间区域上 v 是空间区域 V 的一局部,向区域 V 上任投一点.假设落在区域 v 上的点数与区域 v 的体积成正比,而与区域 v 在区域 v 上的相对位置无关,那么点落在区域 V 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积 二典例解析 题型 1：线长问题 例 1一个实验是这样做的，将一条 5 米长的绳子随机地切断成两条，事件 T 表示所切两段绳子都不短于 1米的事件，考虑事件 T 发生的概率。例 2 磁

15、带问题乔和摩进展了一次关于他们前一天夜里进展的活动的谈话。然而谈话却被监听录音机记录了下来，联邦调查局拿到磁带并发现其中有 10秒钟长的一段容包含有他们俩犯罪的信息 然而后来发现，这段谈话的一局部被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，并从即刻起往后的所有容都被榛掉了试问如果这 10 秒钟长的谈话记录开场于磁带记录后的半分钟处，那么含有犯罪容的谈话被局部或全部偶然擦掉的概率将是多大？例 3假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率？式或方程组目标函数求最值的关于变量的函数解析式线性目标函数求最值的关于变量的一次解析式线性规划

16、一般的在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题统称为线性规划问题可行解可行域最优解满足线性约束条件优解二基此题型类型一求线性目标函数的最值方法总结在确定约束条件和线性目标函数的前提下用图解法求最优解的步骤为根据约束条件作出可行域将目标函数变形为上的截距的最值问题将求的最值问题转化为求直线在轴画出直线最优解一般在可行域顶点或边取得把目标函数转化为某一直线其斜率与可行域边所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚例如果实数满足条件那么的最大值为设变量满足约束条件那么目标函数的最小值为练习设满足那么有最小值最大-word.zl-题型 2：面积问题 例 4投镖游戏中的靶子由边长为 1 米的四方板构成

17、，并将此板分成四个边长为 1/2 米的小方块。实验是向板中投镖，事件 A 表示投中阴影局部为成功，考虑事件 A 发生的概率。例 5 CB 对讲机问题 CB 即 CitizenBand 市民波段的英文缩写两个 CB 对讲机持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收围为 25公里，在下午 3:0O 时莉莉正在基地正东距基地 30公里以的某处向基地行驶，而霍伊在下午 3：00 时正在基地正北距基地 40 公里以的某地向基地行驶，试问在下午 3：0O 时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？例 6(意大利馅饼问题)山姆的意大利馅饼屋中设有一个投镖靶 该靶为正方形板边长为 18厘米，挂于前

18、门附近的墙上，顾客花两角伍分的硬币便可投一镖并可有时机赢得一种意大利馅饼中的一个，投镖靶中画有三个同心圆，圆心在靶的中心，当投镖击中半径为 1 厘米的最层圆域时可得到一个大馅饼；当击中半径为 1 厘米到 2厘米之间的环域时，可得到一个中馅饼；如果击中半径为 2 厘米到 3 厘米之间的环域时，可得到一个小馅饼，如果击中靶上的其他局部，那么得不到谄饼，我们假设每一个顾客都能投镖中靶，并假设每个圆的周边线没有宽度，即每个投镖不会击中线上，试求一顾客将嬴得：式或方程组目标函数求最值的关于变量的函数解析式线性目标函数求最值的关于变量的一次解析式线性规划一般的在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值

19、问题统称为线性规划问题可行解可行域最优解满足线性约束条件优解二基此题型类型一求线性目标函数的最值方法总结在确定约束条件和线性目标函数的前提下用图解法求最优解的步骤为根据约束条件作出可行域将目标函数变形为上的截距的最值问题将求的最值问题转化为求直线在轴画出直线最优解一般在可行域顶点或边取得把目标函数转化为某一直线其斜率与可行域边所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚例如果实数满足条件那么的最大值为设变量满足约束条件那么目标函数的最小值为练习设满足那么有最小值最大-word.zl-a一大馅饼，b一中馅饼，c一小馅饼，d没得到馅饼的概率 。题型 3：体积问题 例 7 1在 400毫升自来水中有一个大肠杆

20、菌,今从中随机取出 2 毫升水样放到显微镜下观察,求发现大肠杆菌的概率。例 8在线段0，1上任意投三个点，问由 0 至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大。题型 4：随机模拟 例 9随机地向半圆202yaxx a为正常数掷一点，点落在园任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于/4的概率.式或方程组目标函数求最值的关于变量的函数解析式线性目标函数求最值的关于变量的一次解析式线性规划一般的在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题统称为线性规划问题可行解可行域最优解满足线性约束条件优解二基此题型类型一求线性目标函数的最值方法总结在确定约束条件和线性目标函数的前提下用图解法求最优解的步骤为根据约束条件作出可行域将目标函数变形为上的截距的最值问题将求的最值问题转化为求直线在轴画出直线最优解一般在可行域顶点或边取得把目标函数转化为某一直线其斜率与可行域边所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚例如果实数满足条件那么的最大值为设变量满足约束条件那么目标函数的最小值为练习设满足那么有最小值最大