《二维随机变量》PPT课件

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1、第 六 章 二 维 随 机 变 量目 的 与 要 求 ： 掌 握 二 维 离 散 、 连 续 变 量 及 分 布 函 数 的 概 念 、掌 握 边 缘 分 布 与 条 件 分 布 计 算 。教 学 内 容 与 时 间 安 排 2学 时 教 学 方 法 ： 讲 授 与 提 问 结 合教 学 手 段 ： 多 媒 体 PPT软 件重 点 ： 二 维 离 散 与 连 续 变 量 的 分 布 函 数 及 边缘 分 布 的 计 算 。难 点 ： 边 缘 分 布 由 于 从 二 维 推 广 到 多 维 无 实 质 性 的 困 难 ，本 节 我 们 重 点 讨 论 二 维 随 机 变 量 。 到 现 在 为

2、止 ， 我 们 只 讨 论 了 一 维 随 机 变 量 及其 分 布 。 但 有 些 随 机 现 象 用 一 个 随 机 变 量 来 描述 还 不 够 ， 而 需 要 用 几 个 随 机 变 量 来 描 述 。 定 义 如 果 某 随 机 变 量 要 通 过 个 随 机 变量 组 成 的 有 序 数 组nXXX , 21 ),( 21 nXXX n第 一 节 二 维 随 机 变 量 及 分 布 函 数 来 描 述 ， 则 称 此 有 序 数 组 为 维 随 机 变 量 。 相应 地 ， 称 元 函 数 nn ),(),( 221121 nnn xXxXxXPxxxF 为 维 随 机 变 量 的

3、 联 合 分 布 函 数 。),( 21 nXXX n特 别 地 ， 当 时 ， 为 二 维 随 机 变 量 。2n ),( YX为 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。 (几何 意 义 ) ),( YX应 当 强 调 的 是 ， ),( yYxXP 是 指 xX 与yY 同 时 成 立 的 概 率 。 ),(),(),( yxyYxXPyxF称 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 有 以下 性 质 ： ),( YX),(.1 yxF 分 别 对 和 单 调 不 减 ， 即x y当 时 ，21 xx ;),(),( 21 yxFyxF 当 时 ， 21 yy

4、;),(),( 21 yxFyxF ),(.2 yxF 对 和 都 是 右 连 续 的 ， 即x y ;),()0,(,),(),0( yxFyxFyxFyxF ,1),(0.3 yxF 且 ， ;0),(),( xFyF ;1),(;0),( FF.4 对 任 意 实 数 ， 成 立 ，2121 , yyxx 1 2 1 22 2 1 2 2 1 1 1( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0P x X x y Y yF x y F x y F x y F x y 对 于 二 维 随 机 变 量 我 们 仍 分 离 散 型 与 连 续型 两 种 情 况 来 讨 论 。 第

5、 二 节 二 维 离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 布 对 于 二 维 随 机 变 量 ， 如 果 和 都是 离 散 型 随 机 变 量 ， 则 称 是 二 维 离 散 型随 机 变 量 。 ),( YX ),( YX X Y几 何 意 义 为 的 联 合 分 布 列 或 分 布 列 。),( YX， 则 称ijp ,2,1,),( jipyYxXP ijji的 分 布 列 也 可 由 以 下 矩 阵 表 格 表 示 。),( YX 1211 ppX Y 2221 pp 21 yy 21xx ( )( , )( , 1, 2,3 .),i j X Yx y i j 定 义 二 维 离 散

6、 型 随 机 变 量 ， 可 能 的取 值 为 相 应 的 概 率 为 ),3,2,1,(),( jiyx ii由 于 遍 及 所 有的 可 能 取 值 ， 从 而 成 立 .1,0 1, ji ijij pp反 之 ， 如 果 某 非 负 数 列 ),3,2,1,( jipij满 足 ， 则 它 定 可 作 为 某 二 维 离 散 型随 机 变 量 的 分 布 列 。.1 1, ji ijp 例 1 一 口 袋 中 装 有 四 个 球 ， 上 面 依 次 标有 数 字 1， 2， 2， 3。 从 袋 中 任 取 一 球 后 不 放 回 的 再 取 一 球 ， 假 设 每 次 取 球 时 袋

7、中 各 球 被 取 到的 可 能 性 相 同 ， 以 和 表 示 第 一 次 和 第 二 次取 出 的 球 上 标 有 的 数 字 ， 求 的 联 合 分 布 。),( YXX Y解 可 能 取 值 为),( YX ),2,2(),1,2(),3,1(),2,1(.)2,3)(1,3(),3,2( 由 乘 法 原 理 ， 得 ： ,613241)2,1(),( 12 pYXP ,1213141)3,1(),( 13 pYXP类 似 可 得 ： 613121)1,2(),( 21 pYXP 613121)2,2(),( 22 pYXP 613121)3,2(),( 23 pYXP 1213141

8、)1,3(),( 31 pYXP .613241)2,3(),( 32 pYXP从 而 所 求 的 分 布 列 为 ： 121610X Y 3211 616161 06112123第 三 节 二 维 连 续 型 随 机 变 量 及 其 分 布 dxdyyxfyxF x y ),(),( 定 义 设 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函数 为 ， 如 果 存 在 一 非 负 二 元 函 数 ,使对 任 意 实 数 有 ),( YX),( yxF ),( yxf,yx 则 称 是 二 维 连 续 型 随 机 变 量 ， 相 应 的 二元 函 数 称 为 的 联 合 密 度 。 它 满 足

9、 ：),( YX),( yxf ),( YX 1),( dxdyyxf,0),( yxf 反 之 ， 若 二 元 函 数 满 足 以 上 条 件 ， 则 它 定可 作 为 某 二 维 连 续 型 随 机 变 量 的 联 合 密 度 。,),(),( 2 yx yxFyxf 不 难 得 出 ， 在 的 连 续 点 ：),( yxf且 对 平 面 上 的 任 意 区 域 D 证 明 如 下 ),( DyxP dxdyyxfD ),( 其 它, ,),( )( 0 002 yxkeyxf yx试 求 (1) 常 数 的 值 ；k例 2 二 维 随 机 变 量 的 联 合 密 度 为),( YX ),

10、( YX（ 3） 的 联 合 分 布 函 数 。),( YX(2) 取 值 落 入 区 间中 的 概 率 ； 1),( yxyxD 解 （ 1） 由 联 合 概 率 密 度 的 性 质 ： 1),( dxdyyxf (2 )0 0 1x yke dxdy 2 0 0 1x yk e dx e dy 2k从 而 其 它,0 0,0,2),( )2( yxeyxf yx （ 2） D dxdyyxfDYXP ),(),( ;3996.0)1( 22110 )2(10 e dyedx x yx 1yx xyo1 1D（ 3） 由 联 合 分 布 的 定 义 ， dxdyyxfyxF x y ),()

11、,(当 或 时 ， 从 而0 x ;0),( yxF0y 0),( yxf当 且 时 ， 从 而0 x 0y )2(2),( yxeyxf )1)(1( 2),( 20 0 )2( yxx y yx ee dxdyeyxF 其 它,0 0,0),1()1(),( 2 yxeeyxF yx从 而 所 求 的 联 合 分 布 函 数 为 ：下 面 我 们 介 绍 两 个 常 见 的 二 维 分 布 。 设 是 平 面 上 的 有 界 区 域 ， 其 面 积 为 。若 二 维 随 机 变 量 具 有 概 率 密 度G S),( YX 其 它,0 ),(,1),( GyxSyxf则 称 在 上 服 从

12、 均 匀 分 布 。),( YX G D dxdyyxfDYXP ),(),( D dxdyS1S D 的 面 积 向 平 面 上 有 界 区 域 上 任 投 一 质 点 ， 若 质点 落 在 内 任 一 小 区 域 的 概 率 与 小 区 域G G D的 面 积 成 正 比 ， 而 且 与 的 形 状 及 位 置 无 关 。D 例 3 甲 乙 两 人 各 自 在 0,1区 间 上 随 机取 数 ,求 甲 所 取 数 超 过 乙 所 取 数 两 倍 的 概 率 。上 的 均 匀 分 布 ,从 而 所 求 概率 为 : 1 2 .4P X Y 阴 影 部 分 面 积D的 面 积 O 12y 2x

13、 y x1 解 用 表 示 甲 所 取 的 数 , 表 示 乙 所取 的 数 ,则 （ X， Y） 服 从 正 方 形 区 域X Y 10,10|, yxyxD 21 12221 12 112 1 )()(exp),( xyxf )()(2 22 22 21 1 yyx其 中 均 为 常 数 ,且 , 2121若 二 维 随 机 变 量 具 有 概 率 密 度 ：),( YX , 2121则 称 服 从 参 数 为),( YX的 二 维 正 态 分 布 。 ,0,0 21 1| 记 作 ： 。),(),( 2121NYX 密 度 函 数 图 形体 积 为 1第 四 节 随 机 变 量 的 边

14、缘 分 布即 是 指 。 YxX , 称 这 种 由 的 联 合),( YX对 于 二 维 随 机 变 量 ， 随 机 事 件),( YX xX ),( YX X分 布 函 数 确 定 出 的 一 维 随 机 变 量 的 分 布 函 数为 关 于 的 边 缘 分 布 。 X 又 称 边 际 分 布 。 若 的 联 合 分 布 函 数 为),( YXX,),( yxF 则 关 于 的 边 缘 分 布 函 数 记 为 ,)(xFX),(),()( YxXPxFxFX类 似 可 得 关 于 的 边 缘 分 布 函 数 为),( YX Y 。),(),()( yYXPyFyF Y 由 联 合 分 布

15、可 以 确 定 边 缘 分 布 ;但 由 边 缘分 布 一 般 不 能 确 定 联 合 分 布 。 一 般 地 ， 对 二 维 离 散 型 随 机 变 量 ，联 合 分 布 列 为 ),( YX ,)( 21 ippxXP j ijii( ) , 1,2,j j ijiP Y y p p j ,2,1,),( jipyYxXP ijji则 关 于 的 边 缘 分 布 列 为),( YX X关 于 的 边 缘 分 布 列 为),( YX Y 我 们 常 将 边 缘 概 率 函 数 写 在 联 合 概 率 函 数 表格 的 边 缘 上 ， 由 此 得 出 边 缘 分 布 这 个 名 词 。 例 4

16、 设 的 联 合 分 布 列 为),( YX 410121X Y 2110 12112161 01214113求 关 于 及 的 边 缘 分 布 列 。 X Y解 由 边 缘 分 布 列 的 定 义 ， 1 1 1( ) ( 0)( 0, 1) ( 0, 1)1 1 1( 0, 2) 012 4 3 jjP X x P X p pP X Y P X YP X Y 311211216121 11111 ),( ),(),()( YXP YXPYXPXP 3101214123 13133 ),( ),(),()( YXP YXPYXPXP Y同 理 可 计 算 出 的 边 缘 分 布 。X 210

17、31 ip 31 31 Y 211 21jp 61 31从 而 关 于 及 的 边 缘 分 布 列 为 ：X Y 对 二 维 连 续 型 随 机 变 量 ， 若 联 合 概率 密 度 为 ， 则 关 于 的 边 缘 分 布),( yxf ),( YXX 31 31 31410121X Y 2110 12112161 01214113 ipjp 316121也 可 表 示 为 ： 。 dxyxfyfY ),()( dyyxfxfX ),()(其 边 缘 密 度 函 数 为 ：同 理 可 知 关 于 的 边 缘 分 布 函 数 和 密 度 函 数为 ： Y yY dydxyxfyF ,),()(

18、xX dxdyyxfxF ,),()(函 数 为 ： 其 它, ,),( )( 0 002 2 yxeyxf yx例 5 设 二 维 随 机 变 量 的 联 合 密 度 为),( YX),( YX求 关 于 和 的 边 缘 概 率 密 度 。X Y解 由 定 义 ,)(, 00 xfx X 0 22 220 xyxX edyexfx )()(,所 以 。 00 02 2 xxexf xX , ,)( 同 理 。 00 0yyeyf yY , ,)(解 由 二 元 正 态 分 布 函 数 定 义 可 知 ,X Y的 联 合 概 率 密 度 为X和 的 边 缘 概 率 密 度 。Y 例 6 设 ,

19、 试 计 算 关 于 , 222121YX 212 22 11 2 21 2 221 2 2 ( )1 1( , ) exp 2(1 )2 12 ( )( ) ( ) x uf x y x u y u y u , .Xf x f x y dy从 而 记 11 ,xu 且 对 积 分 引 入 变 量 代 换 22 ,yv v再 对 被 积 函 数 中 的 指 数 部 分 里 的 配 方 ,可 得 2 22 22 2 22 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 1 22 121 2 1221 2 12 212 2( ) (1 )12 112 11 12 2 1 u uv vX v uu v

20、uuu uv v v uv u u uv u uf x e dve e dve e dv 22 121221 11 1 .2 2 xuXf x e e 同 理 可 得 2222221 .2 yYf y e 注 意 到 积 分 中 函 数 恰 好 为 一 正 态 分 布 的 概 率 密 度 ,积 分 值 应 为 1,从 而 21, uN例 7 设 随 机 变 量 (X, Y)的 概 率 密 度 是 其 它, ,),(),( 0 0102 xyxxcyyxf 求 (1) c的 值 ； （ 2） 两 个 边 缘 密 度 。 1 dxdyyxf ),(解 ： (1)由 1210 0 x dxdyxcy

21、 )( dxxxc 1 0 2 22 /)( 1245 c 84.c),2(512 2 xx (2) xX dyxyxf 0 2524 )()(,10 x 1 xyo yx 所 以 其 它, ),()( 0 102512 2 xxxxfX 1 )2(524)( yY dxxyyf ),2223(524 2yyy ,10 y 其 它, ),()( 0 102223524 2 yyyyyfY 第 五 节 随 机 变 量 的 相 互 独 立 性 随 机 变 量 的 相 互 独 立 性 ， 是 事 件 相 互 独 立性 的 推 广 ， 在 概 率 论 与 数 理 统 计 的 实 际 应 用 中是 一

22、个 重 要 的 概 念 。 定 义 设 是 两 个 随 机 变 量 ， 若 对 任意 实 数 有 YX，yx,( , ) ( ) ( ) ,P X x Y y P X x P Y y 则 称 设 与 是 相 互 独 立 的 。X Y 如 果 用 表 示 的 联 合 分 布 函 数 ， ),( YX),( yxF 和 分 别 表 示 和 的 边 缘 分 布 函)(xFX )(yFY X Y数 ， 则 对 于 相 互 独 立 的 随 机 变 量 和 有 ：X Y.)()(),( yFxFyxF YX ( , ) ( ) ( ) , i j i jP X x Y y P X x P Y y 即 对

23、所 有 的 ),( ji 设 是 二 维 离 散 型 随 机 变 量 ， 则 与 ),( YX ),( YX相 互 独 立 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 对 所 有 可能 的 取 值 有),( ji yx YXjiij ppp 例 8 设 的 联 合 分 布 列 为),( YX 121611211X Y 101 2411212412 8141814X Y证 明 与 分 布 相 互 独 立 。X 421 31ip 61 21 Y 101 41jp 21 41容 易 算 得 证 明 与 的 边 缘 分 布 列 为 ：X Y 容 易 验 证 ： 1111 4131121 ppp 2112 21

24、3161 ppp类 似 可 以 验 证 ：对 所 有 的 ),( ji jiij ppp 成 立 ， 所 以 X Y 与 分 布 相 互 独 立 。 Y ),( YXX 对 二 维 连 续 型 随 机 变 量 ， 若 联 合 概 率密 度 为 ， 如 果 与 相 互 独 立 ， 则 ：),( yxf .)()(),( yFxFyxF YX 等 式 两 边 对 求 二 阶 混 合 偏 导 数 可 得 ：yx, )()(),( yfxfyxf YX 反 之 也 成 立 。 因 此 连 续 型 随 机 变 量 与 相 互 独 立 的充 分 必 要 条 件 是 ： YX )()(),( yfxfyxf

25、 YX ),(),( 2121NYX例 9 证 明 ： 若则 与 相 互 独 立 的 充 要 条 件 是X Y 。0由 计 算 边 缘 概 率 密 度 为 ：证 明 假 如 ， 则 的 联 合 密 度 为 ：0 ),YX（ 22 2221 21 22212 1 )()(),( yxeyxf ,)( )( 21 212121 xX exf 22 222221 )()( yY eyf .)()(),( yfxfyxf YX 所 以 反 过 来 ， 如 果 与 相 互 独 立 ， 则X Y .)()(),( yfxfyxf YX 即 对 任 何 都 成 立yx, 21 12221 12 112 1

26、)()(exp x)()(2 22 22 21 1 yyx 22 2221 21 2221 2121 )()( yx ee特 别 取 上 式 化 为 ：21 yx , 21221 2 112 1 又 00 21 , 为 常 数 ， 从 而。0 作 业 题 ： 第 83页1， 9 题 (x,y)o xy 返 回 ( + x, + y) P x X x y Y y根 据 返 回xy ( , )x x y y ( , )x yo几 何 意 义 返 回 ( + x, + y) ( + , ) ( , + y) ( , ) 0 F x y F x y F x y F x y00 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , )=lim xy F x x y y F x x y F x y y F x yf x y x y2 ( , ) = F x yx y ( , )x x y( , )x y y0 01 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )lim lim y x F x x y y F x y y F x x y F x yy x x0 ( , ) ( , )lim x xy F x y y F x yy