控制系统的能控性与能观性

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1、控制系统的能控性与能观性 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望3.1线性定常连续系统的能控性状态方程描述了输入引起状态的变化过程，输出方程描述了由状态变化引起的输出的变化。能控性和能观性正是分析对状态的控制能力以及输出对状态的反映能力。要看看通过输入是否可以控制状态，通过输出是否可以观测到状态。一、定义:设若存在一分段连续控制向量，能在内，将系统从任意的初态转移至任意终态，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，简称系

2、统能控。实际上就是说：状态变量受输入量的控制，则该状态变量可控，所有的状态变量可控的话，就是系统可控。如图中的初始状态点能在输入的作用下被驱动到终端状态。显然可以有多种输入，只要能够达到这个目的，就说明系统是能控的。二、线性定常系统的能控性判别线性定常系统的能控性判别1.图形判断和约当标准型判断例：已知系统的状态方程为：画出模拟结构图（3-1）（3-2）由图可以看出:(3-1)的系统模拟结构图中状态变量是一个与无任何联系的孤立部分，也就是说不受的控制，因此，是不能控的。尽管受到的控制，但整个系统仍然是不能控的，即该系统的状态是不完全能控的。式（3-2）表示的系统中，没有孤立的部分，状态变量直接

3、受控于，状态变量通过等受控于，也就是说改变即可改变系统的状态。因此，该系统是完全能控的。注意到（3-1）中的A是对角线型，（3-2）中的A是约当标准型，因此，可总结出系统能控性的判别准则如下：（1）图形判别法：系统模拟结构图中如果没有孤立部分，系统是能控的，否则是不能控的。（2）约当标准型系统能控性判据：若系统矩阵A的特征值互异，则系统能控性的充要条件为变换为约当标准型之后的控制矩阵的各行元素没有全为0的；若系统的特征值为重根，则系统完全能控的充要条件是变换为约当标准型后的控制矩阵的最后一行元素不全为0。状态完全能控状态不完全能控注意当矩阵B为单列矩阵时，若系统矩阵A有相同的特征值，则上述准则

4、不成立。若系统矩阵A的约当标准型有两个约当块的特征值相同，则上述准则不成立。如下面系统不可控2.直接从A与B判别系统的能控性前面已经看到，系统是否能控取决于系统矩阵A和控制矩阵B，可以证明：线性定常系统能控的充要条件是由A、B构成的能控矩阵满秩，即rankM=n，否则系统为不能控的。例：已知系统的状态方程如下，判别其能控性系统的能控矩阵M的秩等于3，即rankM=3，所以系统是完全能控的。例：已知系统的状态方程如下，判别其能控性系统的能控矩阵M的秩等于2，即rankM=2，所以系统是不完全能控的。3.通过系统的输入和状态矢量间的传递函数来判别系统的能控性例：（1）（2）（1）的传递函数矩阵中有

5、相同的零点和极点，系统不能控。（2）的传递函数没有极点和零点可以对消的，所以系统能控。总结系统能控性完全取决于系统的结构、参数以及控制作用的施加点；A为对角阵情况下，若B阵存在全为0的行，则与之对应的状态方程必为齐次方程，即与u(t)无关，系统一定不完全能控；A为约当阵情况下，若B阵对应最后一行全为0，则系统为不完全能控；不能控的状态，在方块图中表现为存在与u(t)无关的独立块；若系统状态方程为能控标准型，系统一定是完全能控的。3.2线性连续定常系统的能观性一、能观性的定义对于任意给定的输入，在有限观测时间，使得根据期间的输出能唯一地确定系统在初始时刻的状态，则称状态是能观测的。若系统的每一个

6、状态都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称系统能观。二、定常系统的能观性判别1.图形判别法例：第一个图由y可以观测到和，也就是说两个状态变量都对输出产生影响，我们可以通过输出来获得全部的状态变量信息，第二个图只能观测到。2、转换成约旦标准型的判别方法例:这两道题本身就是对角线型的系统矩阵，因此，系统能观的充要条件就是：输出矩阵C中没有全为零的列。如果系统的特征矢量相等，如下：显然，只有时，系统才可观，否则系统不可观。也就是说输出矩阵C中，对应每个约旦块开头的一列的元素不全为零，系统可观。3、直接从A、C判别系统的能观性线性定常系统能控的充要条件是由A、C构成的能观矩阵满秩，即RankN

7、=n。rankN=2，满秩，系统是能观的。状态能观性实例n系统能控能观性与传递函数的关系传递函数的实现可有无穷多，若传递函数没有零极点对消现象，则传递函数的阶次最低，由此得到状态方程的维数也最低，称为最小实现。最小实现所得到的状态空间表达式必定是能控和能观的；一个系统的传递函数阵所表示的是该系统既能控又能观的那一部分子系统（卡尔曼-吉伯特定理）。n系统能控性与能观性的对偶关系卡尔曼对偶原理若有两系统满足条件则称系统1,2互为对偶，即系统1的能控性（能观性），等价于系统2的能观性（能控性）。n对偶系统的特点n对偶关系，意味着输入输出端的互换，信号传递的反向，信号引出点和比较点的互换，以及对应矩阵

8、的转置；n对偶系统的传递函数阵互为转置；n对偶系统的特征值是相同的。3.3状态空间表达式的能控标准型与能观标准型根据所要解决的问题需要，常常将状态空间表达式变换成一些特定的形式，前边讲述的约旦标准型不仅容易计算状态转移矩阵，求解状态方程，而且对于可控性和可观性的分析也是十分方便的。然而对于后续要讲解的状态反馈和状态观测器来说，需要新的形式，即：能控标准型和能观标准型。一、能控标准型1.能控标准型对于是能控的，则存在线性非奇异变换使其状态空间表达式化成其中这样的状态空间表达式称为能空标准型，是特征方程的系数。例：将下列状态空间表达式变换成能控标准型解：（1）判别系统的能控性满秩，所以系统能控。（

9、2）计算系统的特征多项式得：（3）求变换矩阵和（4）写出能控标准型同时由能控标准型可以很方便地写出系统的传递函数2.能控标准型对于是能控的，则存在线性非奇异变换使其状态空间表达式化成其中这样的状态空间表达式称为能空标准型，是特征方程的系数。例：将下列状态空间表达式变换成能控标准型解：（1）判别系统的能控性（2）计算系统的特征多项式系数（3）求变换矩阵和（4）写出能控标准型二、能观标准型1.能观标准型对于能观的线性定常系统存在非奇异变换使其状态空间表达式化成其中：可以看出：能观标准型的系数，就是能控标准型系数的转置。2.能观标准型同能观标准型类似，可用能控标准型的系数来计算出能观标准型的各个系数

10、矩阵。3.4线性系统的结构分解在实际应用中，需要将一个复杂的控制系统按照其能控性和能观性对结构进行分解，使其看起来更加直观，控制起来更加方便。一、能控性分解线性系统存在着非奇异变换，将原状态空间表达式变换为：其中其中前边的维子空间是能控的，而其余的维子系统是不可控的。非奇异变换矩阵中的n个列矢量的前个列矢量是能控性矩阵M中的个线性无关的列，另外的个列矢量，在确保为非奇异的条件下，完全是任意的。例：下列系统，将其按能控性进行分解解：（1）判断系统的能控性（2）构造非奇异矩阵（3）变换后系统的状态空间表达式二、能观性分解线性系统存在着非奇异变换，将原状态空间表达式变换为：其中状态空间表达式变为分解为l维能观向量和n-l维不能观向量。非奇异变换矩阵中的n个列矢量的前l个列矢量是能观性矩阵N中的l个线性无关的列，另外的n-l个列矢量在确保RoT为非奇异的条件下任意选择。例状态空间表达式也可将待分解的系统化成约旦标准型，然后按能控判别法则和能观判别法则判断各状态变量的能控性和能观性，最后按能控能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四种类型分类排列，即可组成响应的子系统。能控：对角线型：B不能有0行Jodan型：B最后一行不能为0能观：对角线型：C不能有0列Jodan型：C中第一列不能为0