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1、本节讨论悬臂梁的弯曲，考察薄板梁，左端固定，右端受切向分布力作用，其合 力为F，悬臂梁在力的作用下将产生弯曲。设梁的跨度为1，高度为h，厚度为一个单位，自重忽略不计。首先讨论梁的弯曲应力。对于悬臂梁，建立坐标系如图所示。则梁的边界条件为弓 S =26 二o如二F_h=0館二0v =0该边界条件要完全满足非常困难。但深入分析发现，只要梁是细长的， 则其上下表面为主要边界，这是必须精确满足；而左右端面的边界条件，属于次 要边界。根据圣维南原理，可以使用静力等效的应力分布来替代，这对于离端面 稍远处的应力并无实质性的影响。因此两端面的边界条件可以放松为合力相等的 条件。此外由于梁是外力静定的，固定端
2、的三个反力可以确定，因此在求应力函 数时，只要三面的面力边界条件就可以确定。固定端的约束，即位移边界条件只是在求解位移时才使用。这样问题的 关键就是选择适当的应力函数，使之满足面力边界条件。因为在梁的上下边界上，其弯矩为F(l-x)，即力矩与(1-x)成正比，根据应力函BB阳二(兀-亏)打血十爲-刃氏a数的性质，设应力函数为恥*）二 d/3）其中fy）为y的任意函数。将上述应力函数代入变形协调方程，可得3n/（y） = 十缈十*十扭二 o，积分可得由于待定系数d不影响应力计算，可令其为零。所以，应力函数为露二G -工）” +卽2 +即）将上述应力函数代入应力分量表达式，可得应力分量dx2= 3
3、ay2 +2iy+ c返回氏二”丿+匸刖用将上述应力分量代入面力边界条件爲二工丿+ 肌，可以确定待定系数。在上下边界，旳岂二0匸冃二0自动满足。而恥占，则要求39-ah +恥 + c = 0斗3 , bh. + c = 04在x= l边界上, Z U自动满足。而2，则要求联立求解上述三式，可得 一刍 b = 0 h33 Fc =2 h注意到对于图示薄板梁，其惯性矩12。所以应力分量为=0所得应力分量与材料力学解完全相同。当然对于类似问题，也可以根据材料力学的解答作为基础，适当选择应力函数进行试解，如不满足 边界条件，再根据实际情况进行修正。返回应力分量求解后，可以进一步求出应变和位移。将应力分
4、量代入几何方程duSxSyY物理方程2（1 十 v）E丄 一 1/l-r15二二（6 -巧）二（兀叫丐） JL1- V1 - V2171亏二丁二瓦 一吨）_G_2Q + y） -2（1 + ）卷 -；肝 眷eL甞- -G GFH巫-1-aLiK3V-即 - -XI/1/CF-17-2y-2 1TA 4/IV F ac 一卽+3V一 放对于上述公式的前两式分别对X，y积分，可得坯二(博-:心)喀m)ltd.Z1LJ.F 1 212 Fw 二p (-ly -xy )4-呂(x) El 22El其中f (y)，g (x)分别为y, x的待定函数。将上式代入应变分量表达式的第三式，并作整理可得了-似-
5、討)田)-討弋+加丸+临由于上式左边的两个方括号内分别为x，y的函数，而右边却为常量，因 此该式若成立，两个方括号内的量都必须为常量。所以fr(y)-/十Q十心/二然1殳h2腕十九二(1十卩)4上式的前两式分别作积分，可得O)二-芝上才十哼2十卫6呂何二- X5 +鬥兀+證2 6i = - Cfe7-x) + /(y)El 2Ely 1Ifuxy2)十百呂CO将上式回代位移表达式酊22EI，则其中m, n, c, d为待定常数，将由位移边界条件确定。显然，上述位移不可能满足位移边界条件x = 0, u = v = 0。悬臂梁左端完全固定 的约束条件太强了，要严格满足非常困难。对于工程构件，端面
6、完全固定仅仅是 一种假设，真实的端面约束条件是非常复杂的。在弹性力学讨论中，重要的是分析一般条件下，悬臂梁的弯曲变形。根 据圣维南原理，真实约束条件对于悬臂梁位移分析的影响主要是端面附近的位 移，对于远离端面处，这个影响主要是刚体位移。因此首先排除刚体位移，平面 问题只要有三个约束条件就足够了。至于选用的约束条件与实际约束的差别，将 在本节最后讨论。为此首先假定左端截面的形心不能移动，即当 x = y =0，u = v = 0代入位移表达式，可得c = d = 0为了确定m和n,除了利用位移边界条件，还必须补充一个限制刚体转 动的条件。分别考虑两种情况：一是左端面形心处的水平微分线段被固定；二是左 端面形心处的垂直微分线段固定。对于第一种情况，即增加约束条件由此条件，可得对应的位移为由此条件，可得对应的位移为过二丄邓丄心-士丄加十上用工）64El26-討梁变形后的挠曲线方程为若阳力宀字心这时梁的左端面变形为三次曲面，如图所示。其表达式为迥刃=F 2 + 1/ZT 6在左端面的形心水平微分线段将产生转动，转角为比较上述结果可见，假设的两种情况实际上仅相差一个刚体转动。如果让第一种情况顺时针转动一个角度4班，即为第二种情况。
悬臂梁的弯曲变形
