量子力学课件完整版(适合初学者).ppt

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1、1 量子力学 2 为什么要学习量子力学和统计物理学？ 1960年代，著名微波电子学家 Pirls曾说，量 子力学、统计物理学是高度抽象的科学，不需 要所有的人都懂得这种理论物理科学。 然而，在 1990年代，随着高技术科学的发展， 要求我们必须掌握理论物理学，包括量子力学 和统计物理学。例如：微电子器件的集成度越 来越高，组成器件的每一个元件的体积越来越 小。目前，元件的尺寸可以达到 nm级。 3 这面临着两个问题： 1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的 元件，每个元件的工作状态有随机性，但 器件的响应具有统计性； 2、构成元件的材料的体积属于原子团物 理的范畴，即每个粒子含有有限个原子 （

2、102 109个原子）。这时的统计平均具 有显著的涨落，必须考虑量子效应。 4 量子力学 南京工业大学理学院 吴高建 第一章 绪论 5 1.1 经典物理学的困难 6 19世纪末，物理学界建立了牛顿力学 、电动力学、热力学与统计物理，统 称为经典物理学。其中的两个结论为 1、能量永远是连续的。 2、电磁波（包括光）是这样产生的 ：带电体做加速运动时，会向外辐射 电磁波。 7 牛顿力学 -支配天体和力学对象的运动； 杨氏衍射实验 -确定了光的波动性； Maxwell方程组的建立 -把光和电磁现象建立在牢固的基础上； 统计力学的建立 。 经典物理学的成就 8 而一旦深入到分子 、 原子领域 ， 一些

3、实验事实就与经典理论发生矛盾或 者无法理解 。 9 20世纪初物理学界遇到的几个难题 1 两朵乌云（ W.Thomson) 电动力学中的 “ 以太 ”：人们无法通过实 验测出以太本身的运动速度 物体的比热：观察到的物体比热总是低 于经典物理学中能量均分定理给出的值。 10 2 原子的稳定性问题原子塌缩 按照经典理论，电子将掉到原子核里，原子的寿命约 为 1ns。 3 黑体辐射问题紫外灾难 按照经典理论，黑体向外辐射电磁波的能量 E与频率 的关系为 2 3 8)( c kTE E 11 4.光电效应的解释 光照射到金属材料上，会产生光电子。但产生条件与光 的频率有关，与光的强度无关。 Lig h

4、t bea m elec tric curr ent met al 12 能量量子化的假设 造成以上难题的原因是经典物理学认为能量永远是连续 的。 如果能量是量子化的，即原子吸收或发射电磁波，只能 以 “ 量子 ” 的方式进行，那末上述问题都能得到很好的 解释。 13 能量量子化概念对难题的解释 原子寿命 原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中 。即 E1, E2, . En。 当电子从能级 En变化到 Em时，将伴随着能量的吸 收或发射，能量的形式是电磁波。能量的大小为 E =h = En Em 由此，提出了产生电磁波的量子论观点，即电 磁波源于原子中电子能态的跃迁。从而，电子就 不会掉到

5、原子核里，原子的寿命就会很长 。 14 能量量子化概念对难题的解释 黑体辐射 从能量量子化假设出发，可以推导出同实验观测极为 吻合的黑体辐射公式，即 Planck公式 TcecE /3 1 2)( 32 /8)( ckTE 1 )( / 3 1 2 Tc e c E 15 nh nnh ,2,1,0n 普朗克（ Planck）大胆假设：无论是黑体辐射 也好，还是固体中原子振动也好，它们都是以 分立的能量 显示，即能量模式是不连续 的。 所以，辐射的平均能量可如此计算得： 16 dEEE 0 kTEkTE dEedEe 0 kTEkTE0 dEedEeEE 0 kTE0 kTE 0 kTE dE

6、e)dEeeE(kT kT 经典的能量分布几率 所以对于连续分布的辐射平均能量 为 （玻尔兹曼几率分布） 在 能量范围内， 17 0n kTnhkTnh ee 0n kTnhkTnh 0n eenhE 0n nx 0n nx ee dx dh 1x1x )e1()e1( dx dh )1e(h kTh 而对于 Planck假设的能量分布几率，则为 从而 18 kT c 2)T,(E 2 2 )1e( c h2)T,(E kTh 2 3 于是，用电动力学和统计力学导出的公式 （ RayleighJeans） 这就是 Planck假设下的辐射本领，它与 实验完全符合。 应改为 19 当 （高频区）

7、 Wein公式 当 （低频区） RayleighJeans公式 k T h c 2 h c k T 5 2 h cE ( , T ) e k T h c 4 2cE ( , T ) k T 20 能量量子化概念对难题的解释 对光电效应的解释 如果电子处于分立能级且入射光的能量也是量子化 的，那么只有当光子的能量（ E =h ） 大于电子的能级 差，即 E =h En Em时，光电子才会产生。如果入 射光的强度足够强，但频率 足够小，光电子是无法产 生的。 21 1.2 光的波粒二象性 22 爱因斯坦方程 Wmh 2 2 1 v 对光电效应的解释是爱因斯坦于 1905年 做出的 ， 他也因此获得

8、诺贝尔奖 。 其中 ， 他 对 光 子 的 能 量 E 是 如 此 假 定 的 hE 23 光子的能量与动量 并用 = c / 和狭义相对论中的公式 p =E/c推出光子的动量 p为 p=h/ ， E=h . 频率， 波长， h普朗克常数 24 光的波粒二象性 波粒二象性，又称为波动粒子两重性，是指物体，小到 光子、电子、原子，大到子弹、足球、地球，都既有波 动性，又有粒子性。 频率为 的单色光波是由能量为 E =h 的一个个粒子 组成的，这样的粒子被称为光子，或光量子。 光子的粒子性光电效应； 光子的波动性光的衍射和干涉。 25 光的波粒二象性 杨氏干涉实验和惠更斯衍射实验都表明了光的波动性

9、。 光电效应又证实了光子的粒子性。 26 1.3 微粒的波粒二象性 27 1 物质波的概念 法国人 De Broglie从光的量子论中得到启发，假设任何 物体，无论是静止质量为零的光子，还是静止质量不为 零的实物粒子，都具有粒子波动两重性。其中的波动， 通称为物质波。认为物质波的频率和波长分别为 =E/h， = h /p 这就是著名的德布罗意公式。 28 2 实物粒子的波动 从德布罗意物质波的观点出发，就会得出一种违背常理 的结论：躲在靶子后面仍然会被绕过来的子弹打中。 子弹之所以不能绕到靶子后面，是因为子弹的波长 = h /p太小了。 h 6.62 10-34Js， p=mv 29 3 电子

10、与分子的衍射与干涉实验 电子衍射 C60分子干涉图 30 4 波粒二象性既不是经典的粒子， 也不是经典的波 5 物理意义：概率波与概率幅 概率波（ M.Born,1926)：物质波描述了 粒子在各处发现的概率。 概率幅：波函数 也叫概率幅，概率密 度 2 波的叠加是概率幅叠加，而非概率叠加 2 2 2 121 2 2112 PPP 31 1.4 不确定关系 32 物质波的观点直接导致这样一个结论 ： 无法同时准确测量一个粒子的坐标和动量 q 坐标， p 动量 2/ pq 另有：能量和时间的不确定关系： 2/ tE 33 量子力学的特点： 能量量子化； 波粒二象性； 不确定关系。 需要用一个完整

11、的理论将这些离散的假设和概念统 一起来： 量子力学 应运而生。 34 量子力学 的作用 一般工科：建立概念与启迪思维，重点在了解。 材料学：重点是建立正确的、系统的、完整的概念，为 后续课程以及将来从事材料学领域的研究奠定基础。 理科：四大力学之一，应该精通，并作为日后从事研究 的工具。 35 学习 量子力学 时应注意的问题 概念是灵魂建立起清晰的概念 数学是桥梁不必过分拘泥于数学推导 结论是收获铭记结论在材料学中的作用 36 学习量子力学，其困难在于： a.发现它与我们熟悉的经典物理学中的习惯 或概念不一致； b. 量子力学中的新的物理概念不是直观的； c. 处理问题时，与经典物理学在手法上

12、截然 不同。它的重要性在状态，算符和演化。 37 所以，我们强调 a.掌握实验事实，及它给我们的启示，不直 接与主观经验联系，不先入为主； b.掌握和理解量子力学的基本概念。新的概 念的依据和特点，新在什么地方，如何理解； c.掌握理论中建立的方程和所用的数学方法 以及处理它们的思路和步骤。 38 参考书目 曾谨言 量子力学 ，科学出版社 周世勋 量子力学教程 ，高等教育出版社 39 量子力学 第二章 波函数及薛定谔方程 40 2.1 波函数及其统计解释 41 自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动 的质点。因此，其能量 E 和动量 都是常量 。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频

13、 率和波长分别为 又因为波矢为 ， 因此，自由粒子的 和 k都 为常量。得到 epp hE kehp 一、自由粒子的波函数 /2k hE / ph / 42 和 k都为常量的波应该是平面波，可用以下 函数描述 或 将上式代入，得到 这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波 动同其能量和动量联系了起来。它是时间和 空间的函数，即 )(e x p trkiA )(e x p EtrpiA ( , , , )x y z t )c o s ( trkA 43 二、一般粒子的波函数及其物理意义 1 当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是 常量，也就无法用简单的函数来描述，但总可 以用一个函数 来描述这个

14、粒子的 特性，称其为粒子的波函数。 ( , , , )x y z t 44 2 物理意义： 对实物粒子的波动性有两种解释 （ 1）第一种解释，认为粒子波就是粒子的某种实际结 构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波 包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的 运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包 结构。 45 能量和动量的关系为， 利用 得到 物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了 粒子性的一面，与实际不符。 , hE ,kp mpE 2/2 ,2/ h ,2 ,/2 k 2 2 0 , ( ) d t x t d k m 所 以 ， 46 （ 2）第二种解释：认为

15、粒子的衍射行为是大量粒子相互作用 或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言， 弱电子密度长时间强电子密度短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在粒子在空 间的位置是不确定的，它是以一定的概率存在于空间的某个 位置。 47 3、概率波 粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振幅 表示波动在空间一点 (x,y,z)上的强弱。所以， 应该 表示粒子出现在点 (x,y,z)附近的概率大小的一个 量。 因此，粒子的波函数又称为概率波。 ( , , )( , , ) | ( , , ) | i x y zx y z x y z e 2| ( , , ) |x y z 48

16、保留经典概念 的哪些特征 不具有经典概念 的哪些特征 粒子性 有确定的质量、 电荷、自旋等 没有确定的轨道 波动性 有干涉、衍射 等现象 振幅不直接可测 由波函数还可以决定粒子的其它各种物理可观 察量 (以后讲 )。所以波函数完全描写了微观粒 子 (或一般地说，量子体系 )的状态，这种描写 在本质上具有统计的特征。 49 三、波函数的统计诠释 表示粒子出现在点 (x,y,z)附近的概率。 表示点 (x,y,z)处的体积元 中找到粒子的概率。 这就是波函数的统计诠释。必然有以下归一化条件 2| ( , , ) | 1x y z d x d y d z *( , ) ,d d d x d y d

17、z ( , ) 1 归 一 化 条 件 可 表 示 为 2| ( , , ) |x y z 2| ( , , ) |x y z x y z x y z 50 四、常数因子不定性 设 C是一个常数，则 和 对粒子在点 (x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。 如果 则有， 等同于 ( , , )x y z ( , , )C x y z 2| ( , , ) | 0 x y z d x d y d z A 21| ( , , ) | 1x y z dx dy dz A ( , , )x y z 1 ( , , )x y z A 51 说明： 1 即使要求波函数是归一化的，它仍有一个 位相因子的不

18、确定性（相位不确定性）。 例如：常数 ，则 和 对粒子在点（ x,y,z）附近 出现概率的描述是相同的。 2 有些波函数不能（有限地）归一，如平面 波。 iec ),( zyx ),( zyxc 52 五、对波函数的要求 1、可积性 2、归一化 3、单值性，要求 单值 4、连续性 0 2| ( , , ) |x y z dx dy dz 有 限 值 2| ( , , ) | 1x y z d x d y d z 2| ( , , ) |x y z ( , , )x y z 及 其 各 阶 导 数 连 续 53 六、态的叠加原理 波的干涉，衍射现象的本质原因是 因为它满足叠加原理。微观粒子所显示

19、 的波动性表明：波函数也应满足叠加原 理。 54 如果 1和 2是体系可能的状态，那么 =c 1 1+c2 2也是体系的可能状态。 对于合成的状态： 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 c c c c c c , 其中 c c c c1 2 1 2 1 2 1 2 就是干涉项。 其中其中 就是干涉项。其中 55 一般地说，叠加原理可以写成 n c nc .这导致了量子力学中的一个重要概念：对于 一个指定的量子体系，如果我们找到了它的 “ 完备的基本状态 ” ，例如 ，那么任 何状态都可以由这些基本状态叠加而得到。 n p p i Et p rr t( , ) e ,(

20、) / ( , ) ( , ), r t c r tp p p 运动的状态是平面波 因此，自由电子的任何状态都可以写成： 即是各种不同动量的平面波的叠加。 例如：一个自由电子以动量 E p 2 2/ 和能量 56 p i p rr( ) ( ) e ,/ 12 3 ( , ) ( , ) ( ) e ,/ r t c p t d pi p r 12 3 3( )d p dp dp dpx y z3 c p t r t d ri p r( , ) ( , ) ( ) e ,/ 1 2 3 3 ( )d r dxdydz3 c p t( , ) 这个例子在数学上就是函数的 Fourier变换。引入

21、 那么任何波函数 (不一定是自由粒子的 )都可以写成 其中的系数由下式得出： 这个 的物理意义是 “ 动量测量几率振幅 ” 。 ( , ) ( , ) e ,/x t c p t dpipx 12 c p t x t dxipx( , ) ( , ) e ./ 1 2 对于一维情形， 57 七、动量分布概率 设 ，则 表示粒子 出现在点 附件的概率。 设 为粒子的动量，那么粒子具有动量 的概率如何表示？ 平面波的波函数为 任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开 kzjyixr r kpjpipp zyx /)( rpier p pdepr rpi 3/23 )( )2( 1)( 22| (

22、 , , ) | | ( ) |x y z r 58 其中， rderp rpi 3/23 )()2( 1)( 2|)(| p /rpie 2|)(| p p ()r可见， 代表 中含有平面波 的成分，因此， 应该代表粒子具 有动量 的概率。 59 2.2 薛定谔方程 60 一 Schrodinger方程 量子力学的基本定律是波函数所满足的偏 微分方程。这个基本定律在本质上是一个 假说。 /)(),( rpEtietr de Broglie波 满足的方程是： i t E , i p p , .2 2 2 而 E p 2 2/ , 所以 i t 2 2 2 . 61 E p 2 2/ E i t

23、 p i , , 这可以看做是在经典关系 中进行代换 可以推广地说：若粒子在外势场 U r( ) 中运动，其能量的表达式为 E p U r 12 2 ( ), 62 则它的波函数应该满足方程 i t U r 2 2 2 ( ) . 此即单粒子运动的 Schrodinger方程 (1926)。 63 二 几率守恒定律 粒子的空间几率密度是 w r t r t r t r t( , ) ( , ) ( , ) ( , ), 2 w t t t . 根据 Schrodinger方程， t i i U 2 12 , t i i U 2 12 , 64 w t i i 2 2 2 2( ) ( ). 记

24、 J i 2 ( ), 则 w t J 0 , 而这表示了一种守恒定律。 65 因为，对任何体积 V， V V w t d J d , 等式右方用 Gauss定理，得 d dt W J d SV S , WV S J d S J 是在体积 V内发现粒子的总几率，而 穿过封闭曲面 S向外的总通量。所以 是 “ 几率流密度 ” ，而上式表现了几率守恒。 几率守恒也就是粒子数守恒。 66 三 定态 Schrodinger方程 U r( )若 与时间无关，则 Schrodinger方程 可以分离变量求解， ( , ) ( ) ( ), r t f t r i f t df dt r U r ( ) (

25、 ) ( ) , 1 2 2 2 i dfdt Ef t ( ), f t i Et ( ) e . 2 2 2 U r E r( ) ( ). 67 波函数成为 ( , ) e ( ), r t r i Et 这样的波函数 (或者是波函数 ）称为 定态 波函数 。对比 de Broglie波，我们发现常数 E 的物理意义正是粒子的能量。所以定态是体系 的能量有确定值的状态。在定态中，体系的各 种力学性质不随时间而改变。 ( )r 68 的方程称为该算符的本征方程，常数称为本 征值，方程的解称为 (该算符的属于该本征值 的 )本征函数。所以定态 Schrodinger方程也就 是 能量本征方程

26、 。 形如 算符作用于波函数 = 常数乘以这波函数 69 2.3 一维运动的一般分析 70 一、 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 1、定态 2、简并 如果系统的能级是分立的，即 ，若对同一个能级，有 两个及其以上的本征函数与其对应，则称这个能级是简并的 。 nEE 71 3、宇称函数在空间反演下表现出的特性。 )s i n ()s i n ()s i n ( )c o s ()c o s ()c o s ( )( )()()( )()()( )()(: xxxP xxxP x xxxP xxxP xxPP 奇宇称 偶宇称 宇称，如具有确定的偶宇称或奇称 ，或 如果 为算符定义空间反演（反射

27、） 72 4、定态薛定格方程能量本征方程 也就是能量本征方程。此即定态薛定格方程， 代入上式得对于定态，有 为为实数，则薛定格方程且 方向运动，势能为的粒子，沿设质量为 )1()()()( 2 ,)(),( ),()( 2 ),( )()( ),( 2 22 / 2 22 * xExxV xm extx txxV xm tx t i xVxV xVxm i E t 73 5、 束缚态与非束缚态 或散射 态这种状态 叫非束 缚态 ， 出 现现从而粒子可能在无 穷0,( x )反之， 为 束 缚态 。 现 的 概 率 为 零， 称从而粒子在无 穷0,( x ) 时 ，x则 在),U(-和)U(E如

28、果),U(- )U(时 有确定的 极 限， 记 作x在U(x )若 远 远出 74 定理 1 。量也是程的一个解，对应的能 也是能量本征方，则能量本征值为 解，对应的是能量本征方程的一个设 E xE x )( )( * 75 推论 1 为实函数。不简并，则这个解可取 ，能量本征方程的解值对应于能量的某个本征 )( x E 76 定理 2 组实解的线性叠加。 这一的任何解，均可表示为组实解，凡是属于 方程的一，总可以找到能量本征的某个本征值 解，对应于能量是能量本征方程的一个设 E E x )( 77 的解。也是方程对应于则 的解，能量本征值是能量本征方程对应于如果 ，具有确定的偶宇称，即：设定

29、理 Ex Ex xVxVxV )( )( )()()(3 78 有确定的宇称。 具无简并，则若的解，如果 能量本征值是能量本征方程对应于推论：设 )()(),()( )( xxxVxV Ex 79 来展开。的任何解，都可用它们定的宇称，而属于 个解都有确程的一组解，其中的每总可以找到能量本征方 ，量本征值，则对应于任何一个能：设定理 E ExVxV )()(4 80 点必定是连续的。在及其导数函数 有限，则能量本征若：设定理 axx VV axV axV xV )()( , ;, )(5 12 2 1 81 处是连续的。时在 当为能量本征函数，则 有限，若推论：设 ax xx VV axV a

30、xV xV 0)()( l n)( , ;, )( 12 2 1 82 。都是束缚态，则和解，若 的同一能量均为能量本征方程属于和推论：设 常数。的解，则能量 同一均为能量本征方程属于和：设定理 122121 21 1221 21 )()(6 E E xx 83 并的。束缚态，则必定是不简 中运动，如存在：设粒子在无奇点势场定理 )(7 xV 84 2.4 一维无限深势阱和方势阱 85 一、一维无限深方势阱 1、势函数 如果 在 ， 由能量本征方程 ， 有 其解为 ，其中 由边界条件 和 ，有 和 ， 波函数为 .,0, ;0,0)()( axx axxVrV )(xV x a0 ax 0 0

31、)(2)( 22 2 xmExdxd )s i n ()( kxAx /2 mEk 0)0( 0)( a 0 0)s in ( ka )s i n ()()( xanAxx n nka ,3,2,1 n )0( ax 86 2、能量量子化 由 ， 和 得到 ， 这说明，一维无限深方势阱中的粒子的能量是 量子化 的。 称为体系的能量本征值，与 对应的波函数 称为能量本征函数。 nka ,3,2,1 n /2 mEk 2 222 2 ma nEE n ,3,2,1 n nE nE n 87 将波函数 进行归一化： 即令 ，得到 归一化波函数为 )s i n ()( xanAxn )0( ax 1|

32、)(| 20 dxxna aA /2| ,3,2,1 .,0,0 ;0),s i n (2)( n axx ax a xn axn 3、归一化波函数 88 最低能量 经典粒子，可以有 一维无限深方势阱中的粒子 ， 由测不准关系 ， 得到 因此，粒子能量 02 2 22 1 maE 0E ax px 0/ ap 02/2/)(2/ 2222 mampmpE 4、讨论 89 在 ， 有 个节点 ， 其上 说明粒子在这些节点上 出现的概率为零。 对于经典粒子来说，它 在 内任何一点都 有可能出现。 )s i n ()( xanAxn 1n nx 0)s i n ()( nnn xanAx ax 0

33、ax 0 90 二 、 有限深对称方势阱 设 粒子能量 条件 在阱内 能量本征方程 解 2 a )(xV x 0 0V 0V 2 a E .2/|, ;2/|,0 )( 0 axV ax xV E 00 VE 2/| ax 0)(2)( 22 2 xEmxdxd i k xi k x BeAex )( /2 mEk 91 在阱外 能量本征方程 解 ， 说明粒子不会出现在 ， 说明 的粒子也有到达势阱外的可能。 2/| ax 0)()(2)( 022 2 xEVmxdxd .2/, ;2/,)( axDe axCex x x 2 a )(xV x 0 0V 0V 2 a E /)(2 0 EVm

34、 0|)(| 2 x 0|)(| 2 x 0VE 92 2.5 量子隧道效应 93 一 、 方势垒的反射与透射 在 ， 能量本征方程 解 粒子流密度 反射系数 透射系数 axx ,0 0)(2)( 22 2 xEmxdxd ., 0,Re)()( axTe xexx i k x i k xi k x 透 反入 外 ikxTe ikxe ikxRe a0 0V )(2),( * mitrj vmkj /入 vj 2|R|反 vTj 2|透 2|R|/ 入反 jj 2|T|/ 入透 jj 94 在 ， 能量本征方程 解 ax 0 0)(2 022 2 EVmdxd /)(2 0 EVm xx Be

35、Aexx )()( 内 ikxe ikxRe a0 0V ikxTe )0()0( 内外 )()( aa 内外 )0()0( 内外 dxddxd )()( adxdadxd 内外 BAR 1 BARik /)1( i k aaa TeBeAe i k aaa TeikBeAe 95 解代数方程，得到 势垒贯穿 隧穿效应 aikeikTA )()1( 2 aikeikTB )()1( 2 22222 222 2 4)( )(| kashk ashkR 1| 22 TR 22222 22 2 4)( 4| kashk kT ikxTei k xi k xe Re 0V a0 入射 波 反射 波 透

36、射 波 96 电子的势垒贯穿 1 2 5 10 当势垒宽度为原子限度时，透射相当可观 kgm 31101.9 Js34101.1 JEV 190 108 )10A( 10o ma 2|T 1.0 2102.1 5107.1 10100.3 ikxe ikxRe a0 0V 97 二 、 势的反射与透射 设质量为 m的粒子 (E0)从左 射入 势垒 常数,0, 0,0 0, )()( x x xxV )0()0()0()0( )0()0(,)0( )()()( 2 2 2 2 22 不连续 不存在 薛定格方程为 x dx d x x dx d xx xxEx dx d m 98 变关系。点不连续

37、，满足上述跳 在时，所以，当 0 )(0)0( )0( 2 )0()0( )()( )( 2 2 0 2 22 0 l i m l i m x x m dxxxE dxx dx d m 99 )0( 2 1,1 )0( 2 )0()0()0()0( 1( 0, 0,Re )( ,0)()( )()()( 2 /2,0)(0 2 2 2 2 22 S ik Sm SRSR m xSe xe x exkx xxEx dx d m mEkxx i k x i k xi k x i k x 得到 和由边界条件 ）入射波振幅为表示为 可形式的解具有变为 令当 100 1 2 2 2 2 2 1 2 2

38、1 24 22 2 1 22 1 2 2 ) 2 1( 2 |R| ) 2 1()1(|S| 1 )1(,)1( 2 1,1 E m E m E m k m k im k im R k im S ik Sm SRSR 反射系数 透射系数 入射波振幅为 得到 由 101 完全贯穿势垒。 ，说明高能粒子将时，、当 反射与透射系数不变。 时，当 相关，反射与透射系数与、 、 说明存在势垒贯穿。 ，、 1|S|/4 3 1|2 0|1 222 2 22 mE SR S 讨论 102 2.6 线性谐振子 103 1、能量本征方程 简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动 一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运

39、动，同时 粒子的势能可以表示为 例如，双原子分子中两原子之间的势能 一维谐振子的能量本征方程 25.0)( KxxV 20 )(5.0)( axKVxV a )(xV 0 x 0)() 2 1(2)( 2 22 2 xEKxmxdxd mK m )/( 21 Ex 104 2、能量本征方程的解 能量本征方程变为 当 时 ， ， 有 ， 其解 能量本征方程的解可表示为 其中 ， 为待求函数 ， 代入能量本征方程 ， 有 其解为 亦即厄密多项式。当 时 ， 要求 得到 0)( 22 2 dd 2 2 2 dd 2/2 e )()( 2/2 HAe )(H 0)1(22 2 HddHd Hd 0)(

40、 .,2,1,0,12 nn .,2,1,0,)1()( 22 ned deH n n n n 105 3、能量本征值 因为 同时 故 讨论 (1)能级是均匀分布的； (2)相邻能级差相同 ： ； (3)基态能量 ， 称为零点能； (4)谐振子吸收 能量后，有可能从下能级跃迁到 上能级。相反，放出 能量后，有可能从上能级跃迁 到下能级。 )/( 21 E .,2,1,0,12 nn .,2,1,0,)2/1( nnEE n 0 1 2 3 02/0 E 106 4、能量本征态（ 1） 因为 ， 其中， 要根据 的归一化条件确定，即 由于 得到 能量本征态 正交归一化 )()( 2/2 HAe

41、.,2,1,0,)1()( 22 ne d deH n n n n mnnnm ndeHH !2)()( 2 nm nm mn ,0 ,1 A )( 1)(|)()( 222* deHAd n 21)!2/( naAA nn ma )()()( 2/22 axHeA nxann mnnm dxxx )()( 107 4、能量本征态（ 2） 最低三条能级上的波函数为 2/0 E 2/31 E 2/52 E 2/ 4/10 22)( xaeax 2/ 4/11 222)( xaa x eax 2/22 4/12 22)12( 2 1)( xaexaax 2|)(| xn 0 1 2 n 0 x 1

42、08 扫描隧道显微镜 109 扫描隧道显微镜 110 扫描出的纳米级图像 111 扫描隧道显微镜拍下的 DNA 112 “ 扫描隧道显微镜 ” 下拍摄的 “ 血细胞 ” 113 用扫描隧道显微镜拍摄到的图像 114 STM工作原理 115 用 STM移动氙原子排出的 “ IBM”图案 116 作为一种扫描探针显微术工具，扫描隧道显微镜 可 以让科学家观察和定位单个原子，它具有比它的 同 类 原子力显微镜 更加高的分辨率。此外，扫描隧 道 显微镜在低温下（ 4K）可以利用探针尖端精确操 纵原子，因此它在 纳米科技 既是重要的测量工具 又是加工工具。 扫描隧道显微镜 scanning tunnel

43、ing microscope 117 STM使人类第一次能够实时地观察单个原子在 物质表面的排列状态和与表面电子行为有关的 物化性质，在表面科学、 材料科学 、生命科学 等领域的研究中有着重大的意义和广泛的应用 前景，被国际科学界公认为 20世纪 80年代世界 十大科技成就之一 118 基本结构 隧道针尖 三维扫描控制器 减震系统 电子学控制系统 在线扫描控制和离线数据处理软件 119 工作原理 扫描隧道显微镜的工作原理简单得出乎意料。就如同一 根唱针扫过一张唱片，一根探针慢慢地通过要被分析的 材料（针尖极为尖锐，仅仅由一个原子组成）。一个小 小的电荷被放置在探针上，一股电流从探针流出，通过

44、整个材料，到底层表面。当探针通过单个的原子，流过 探针的电流量便有所不同，这些变化被记录下来。电流 在流过一个原子的时候有涨有落，如此便极其细致地探 出它的轮廓。在许多的流通后，通过绘出电流量的波动 ，人们可以得到组成一个网格结构的单个原子的美丽图 片。 120 优越性 具有原子级高分辨率， STM 在平行于样品表面方 向上的分辨率分别可达 0.1 nm 和 0.01 nm，即可以 分辨出单个原子。 可实时得到实空间中样品表面的三维图像，可用于 具有周期性或不具备周期性的表面结构的研究，这种 可实时观察的性能可用于表面扩散等动态过程的研究。 121 可以观察单个原子层的局部表面结构，而不是 对

45、体相或整个表面的平均性质，因而可直接观察 到表面缺陷。表面重构、表面吸附体的形态和位 置，以及由吸附体引起的表面重构等。 可在真空、大气、常温等不同环境下工作，样品 甚至可浸在水和其他溶液中 不需要特别的制样技术 并且探测过程对样品无损伤 122 配合扫描隧道谱（ STS）可以得到有关表面电子结 构的信息，例如表面不同层次的态密度。表面电子阱、 电荷密度波、表面势垒的变化和能隙结构等。 利用 STM针尖，可实现对原子和分子的移动和操 纵，这为纳米科技的全面发展奠定了基础。 123 局限性 STM所观察的样品必须具有一定程度的导 电性，对于半导体，观测的效果就差于导 体；对于绝缘体则根本无法直接

46、观察。如 果在样品表面覆盖导电层，则由于导电层 的粒度和均匀性等问题又限制了图象对真 实表面的分辨率。宾尼等人 1986年研制成 功的 AFM可以弥补 STM这方面的不足。 124 量子力学 第二章 波函数及薛定谔方程 125 2.1 波函数及其统计解释 126 自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动 的质点。因此，其能量 E 和动量 都是常量 。 根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频 率和波长分别为 又因为波矢为 ， 因此，自由粒子的 和 k都 为常量。得到 epp hE kehp 一、自由粒子的波函数 /2k hE / ph / 127 和 k都为常量的波应该是平面波，可用以下

47、函数描述 或 将上式代入，得到 这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波 动同其能量和动量联系了起来。它是时间和 空间的函数，即 )(e x p trkiA )(e x p EtrpiA ( , , , )x y z t )c o s ( trkA 128 二、一般粒子的波函数及其物理意义 1 当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是 常量，也就无法用简单的函数来描述，但总可 以用一个函数 来描述这个粒子的 特性，称其为粒子的波函数。 ( , , , )x y z t 129 2 物理意义： 对实物粒子的波动性有两种解释 （ 1）第一种解释，认为粒子波就是粒子的某种实际结 构，即将粒子看成是三维

48、空间中连续分布的一种物质波 包。波包的大小即粒子的大小，波包的群速度即粒子的 运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包 结构。 130 能量和动量的关系为， 利用 得到 物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了 粒子性的一面，与实际不符。 , hE ,kp mpE 2/2 ,2/ h ,2 ,/2 k 2 2 0 , ( ) d t x t d k m 所 以 ， 131 （ 2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大量粒子相互作用 或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果而言， 弱电子密度长时间强电子密度短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体现在粒子在空 间的位置

49、是不确定的，它是以一定的概率存在于空间的某个 位置。 132 3、概率波 粒子的波动性可以用波函数来表示， 其中，振幅 表示波动在空间一点 (x,y,z)上的强弱。所以， 应该 表示粒子出现在点 (x,y,z)附近的概率大小的一个 量。 因此，粒子的波函数又称为概率波。 ( , , )( , , ) | ( , , ) | i x y zx y z x y z e 2| ( , , ) |x y z 133 保留经典概念 的哪些特征 不具有经典概念 的哪些特征 粒子性 有确定的质量、 电荷、自旋等 没有确定的轨道 波动性 有干涉、衍射 等现象 振幅不直接可测 由波函数还可以决定粒子的其它各种物

50、理可观 察量 (以后讲 )。所以波函数完全描写了微观粒 子 (或一般地说，量子体系 )的状态，这种描写 在本质上具有统计的特征。 134 三、波函数的统计诠释 表示粒子出现在点 (x,y,z)附近的概率。 表示点 (x,y,z)处的体积元 中找到粒子的概率。 这就是波函数的统计诠释。必然有以下归一化条件 2| ( , , ) | 1x y z d x d y d z *( , ) ,d d d x d y d z ( , ) 1 归 一 化 条 件 可 表 示 为 2| ( , , ) |x y z 2| ( , , ) |x y z x y z x y z 135 四、常数因子不定性 设 C

51、是一个常数，则 和 对粒子在点 (x,y,z)附件出现概率的描述是相同的。 如果 则有， 等同于 ( , , )x y z ( , , )C x y z 2| ( , , ) | 0 x y z d x d y d z A 21| ( , , ) | 1x y z dx dy dz A ( , , )x y z 1 ( , , )x y z A 136 说明： 1 即使要求波函数是归一化的，它仍有一个 位相因子的不确定性（相位不确定性）。 例如：常数 ，则 和 对粒子在点（ x,y,z）附近 出现概率的描述是相同的。 2 有些波函数不能（有限地）归一，如平面 波。 iec ),( zyx ),

52、( zyxc 137 五、对波函数的要求 1、可积性 2、归一化 3、单值性，要求 单值 4、连续性 0 2| ( , , ) |x y z dx dy dz 有 限 值 2| ( , , ) | 1x y z d x d y d z 2| ( , , ) |x y z ( , , )x y z 及 其 各 阶 导 数 连 续 138 六、态的叠加原理 波的干涉，衍射现象的本质原因是 因为它满足叠加原理。微观粒子所显示 的波动性表明：波函数也应满足叠加原 理。 139 如果 1和 2是体系可能的状态，那么 =c 1 1+c2 2也是体系的可能状态。 对于合成的状态： 2 1 1 2 2 2 2

53、 1 2 1 2 1 2 1 2 c c c c c c , 其中 c c c c1 2 1 2 1 2 1 2 就是干涉项。 其中其中 就是干涉项。其中 140 一般地说，叠加原理可以写成 n c nc .这导致了量子力学中的一个重要概念：对于 一个指定的量子体系，如果我们找到了它的 “ 完备的基本状态 ” ，例如 ，那么任 何状态都可以由这些基本状态叠加而得到。 n p p i Et p rr t( , ) e ,( ) / ( , ) ( , ), r t c r tp p p 运动的状态是平面波 因此，自由电子的任何状态都可以写成： 即是各种不同动量的平面波的叠加。 例如：一个自由电子

54、以动量 E p 2 2/ 和能量 141 p i p rr( ) ( ) e ,/ 12 3 ( , ) ( , ) ( ) e ,/ r t c p t d pi p r 12 3 3( )d p dp dp dpx y z3 c p t r t d ri p r( , ) ( , ) ( ) e ,/ 1 2 3 3 ( )d r dxdydz3 c p t( , ) 这个例子在数学上就是函数的 Fourier变换。引入 那么任何波函数 (不一定是自由粒子的 )都可以写成 其中的系数由下式得出： 这个 的物理意义是 “ 动量测量几率振幅 ” 。 ( , ) ( , ) e ,/x t c

55、p t dpipx 12 c p t x t dxipx( , ) ( , ) e ./ 1 2 对于一维情形， 142 七、动量分布概率 设 ，则 表示粒子 出现在点 附件的概率。 设 为粒子的动量，那么粒子具有动量 的概率如何表示？ 平面波的波函数为 任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开 kzjyixr r kpjpipp zyx /)( rpier p pdepr rpi 3/23 )( )2( 1)( 22| ( , , ) | | ( ) |x y z r 143 其中， rderp rpi 3/23 )()2( 1)( 2|)(| p /rpie 2|)(| p p ()r可

56、见， 代表 中含有平面波 的成分，因此， 应该代表粒子具 有动量 的概率。 144 2.2 薛定谔方程 145 一 Schrodinger方程 量子力学的基本定律是波函数所满足的偏 微分方程。这个基本定律在本质上是一个 假说。 /)(),( rpEtietr de Broglie波 满足的方程是： i t E , i p p , .2 2 2 而 E p 2 2/ , 所以 i t 2 2 2 . 146 E p 2 2/ E i t p i , , 这可以看做是在经典关系 中进行代换 可以推广地说：若粒子在外势场 U r( ) 中运动，其能量的表达式为 E p U r 12 2 ( ), 147 则它的波函数应该满足方程 i t U r 2 2 2 ( ) . 此即单粒子运动的 Schrodinger方程 (1926)。 148 二 几率守恒定律 粒子的空间几率密度是 w r t r t r t r t( , ) ( , ) ( , ) ( , ), 2 w t t t . 根据 Schrodinger方程， t i i U 2 12 , t i i U 2 12 , 149 w t i i 2 2 2 2( ) ( ). 记 J i 2 ( ), 则 w t J 0