数学建模 综合评价与决策方法

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1、 第 14章 综合评价与决策方法 数学建模算法与应用 评价方法大体上可分为两类，其主要区别在确定 权重的方法上。一类是主观赋权法，多数采取综合咨 询评分确定权重，如综合指数法、模糊综合评判法、 层次分析法、功效系数法等。另一类是客观赋权，根 据各指标间相关关系或各指标值变异程度来确定权 数，如主成分分析法、因子分析法、理想解法（也称 T OPSIS 法）等。 目前国内外综合评价方法有数十种之多，其中主要 使用的评价方法有主成分分析法、因子分 析、 T OPSIS 、秩和比法、灰色关联法、熵权法、层次分析 法、模糊评价法、物元分析法、聚类分析法、价值工程 法、神经网络法等。 目前已有许多解决多属

2、性决策的排序法，如理想点 法、简单线性加权法、加权平方和法、主成分分析法、 功效系数法、可能满意度法、交叉增援矩阵法等。本节 介绍多属性决策问题的理想解法，理想解法亦称为 T OPSIS 法，是一种有效的多指标评价方法。这种方法 通过构造评价问题的正理想解和负理想解，即各指标的 最优解和最劣解， 通过计算每个方案到理想方案的相对 贴近度，即 靠近正理想解和远离负理想解的程度，来对 方案进行排序，从而选出最优方案。 14.1 理想解法 例 14 .1 研究生院试评估。 为了客观地评价我国研究生教育的实际 状况和各研 究生院的教学质量，国务院学位委员会办公室组织过 一次研究生院的评估。为了取得经验

3、，先选 5 所研究 生院，收集有关数据资料进行了试评估，表 14.1 是所 给出的部分数据。 14.1.1示例 表 14 .1 研究生院试评估的部分数据 j i 人均专著 1 x （本 / 人） 生师 比 2 x 科研经费 3 x （万元 / 年） 逾期毕业率 4 x （ % ） 1 0.1 5 5000 4.7 2 0.2 6 6000 5.6 3 0.4 7 7000 6.7 4 0.9 10 10 000 2.3 5 1.2 2 400 1.8 解 第一步，数据预处理 数据的预处理又称属性值的规范化。 属性值具有多种类型，包括效益型、成本型和区间 型等。这三种属性，效益型属性越大越好，成

4、本型属性 越小越好，区间型属性是在某个区间最佳。 在进行决策时，一般要进行属性值的规范化，主 要有如下三个作用：（ 1 ）属性值有多种类型， 对数据 进行预处理，使得表中任一属性下性能越优的方案变 换后的属性值越大。 （ 2 ） 排除量纲的选用对决策或评估结果的影响，这就 是非量纲化。 （ 3 ）归一化， 把表中数值均变换到 0 ， 1 区间上。 常用的属性规范化方法有以下几种。 （ 1 ） 线性变换 原始的决策矩阵为 () i j m nAa ，变换后的决策矩阵 记为 () i j m nBb ， 1 , ,im ， 1 , ,jn 。设 m ax j a 是决 策矩阵第 j 列中的最大值，

5、 mi n j a 是决策矩阵第 j 列中的 最小值。若 jx 为效益型属性，则 m a x/ ij ij j b a a . （ 14. 8 ） 采用上式进行属性规范化时，经过变换的最差属性值 不一定为 0，最佳属性值为 1。 若 j x 为成本型属性，则 ma x1/ ij ij j b a a （ 14.9 ） 采用上式进行属性规范时，经过变换的最佳属性值不 一定为 1 ，最差属性值为 0 。 （ 2 ）标准 0 1 变换 为了使每个属性变换后的最优值为 1 且最差值为 0 ，可以进行标准 0 1 变换。对效益型属性 j x ，令 m in m a x m in ij j ij jj a

6、a b aa ， （ 14. 10 ） 对成本型属性 j x ，令 m a x m a x m in j ij ij jj aa b aa . （ 14. 11 ） （ 3 ）区间型属性的变换 有些属性既非效益型又非成本型，如生师比。显然 这种属性不能采用前面介绍的两种方法处理。 设给定的最优属性区间为 0* , jj aa ， j a 为无法容忍 下限， j a 为无法容忍上限，则 0 0 0 0* * * * 1 ( ) / ( ) , , 1 , , 1 ( ) / ( ) , , 0, . j ij j j j ij j j ij j ij ij j j j j ij j a a a

7、a a a a a a a b a a a a a a a 若 若 若 其 它 （ 14. 12 ） 变换后的属性值 ij b 与原属性值 ij a 之间的函数图形为 一般梯形。当属性值最优区间的上下限相等时，最优 区间退化为一个点时，函数图形退化为三角形。 设研究生院的生师比最佳区间为 5 , 6 ， 2 2a ， 2 12a 。表 14 .1 的属性 2 的数据处理见表 14.2 ( 程序 略 ) 。 表 14 .2 表 14 .1 的属性 2 的数据处理 j i 生师比 2 x 处理后的生师比 1 5 1 2 6 1 3 7 0.8 33 3 4 10 0.3 33 3 5 2 0 （

8、4 ）向量规范化 无论成本型属性还是效益型属性，向量规范化均用下 式进行变换 2 1 m ij ij ij i b a a ， 1 , ,im ， 1 , ,jn . （ 14. 13 ） 这种变换也是线性的，但是它与前面介绍的几种变换不 同，从变换后属性值的大小上无法分辨属性值的优劣。 它的最大特点是，规范化后，各方案的同一属性值的平 方和为 1 ，因此常用于计算各方案与某种虚拟 方案（如 理想点或负理想点）的欧氏距离的场合。 （ 5 ）标准化处理 在实际问题中，不同变量的测量单位往往是不一 样的。为了消除变量的量纲效应，使每个变量都具有 同等的表现力，数据分析中常对数据进行标准化处理， 即

9、 ij j ij j aa b s ， 1 , 2 , ,im ， 1 , 2 , ,jn ， （ 14 .14 ） 其中 1 1 m j ij i aa m ， 2 1 1 () 1 m j ij j i s a a m ， 1 , 2 , ,jn 。 表 14. 1 中的数据经标准化处理后的结果见表 14. 3（ 程 序略 ） 。 表 14. 3 表 1 数据经标准化的属性值表 j i 人均专著 1 x 生师比 2 x 科研经费 3 x 逾期毕业 率 4 x 1 - 0.9 741 - 0.3 430 - 0.1 946 0.2 27 4 2 - 0.7 623 0 0.0 91 6 0.

10、6 53 7 3 - 0.3 388 0.3 43 0 0.3 77 7 1.1 74 7 4 0.7 20 0 1.3 72 0 1.2 36 2 - 0.9 095 5 1.3 55 3 - 1.3 720 - 1.5 109 - 1.1 463 我们首先对表 14. 1 中属性 2 的数据进行最优值为给定 区间时的变换。然后对属性值进行向量规范化，计算结 果见表 14. 4 （ 程序略 ） 。 表 14. 4 表 1 1.3 的数据经规范化后的属性值 j i 人均专著 1 x 生师比 2 x 科研经费 3 x 逾期毕业 率 4 x 1 0.0 63 8 0.5 97 0.3 44 9 0

11、.4 54 6 2 0.1 27 5 0.5 97 0.4 13 9 0.5 41 7 3 0.2 55 0 0.4 97 5 0.4 82 9 0.6 48 1 4 0.5 73 8 0.1 99 0.6 89 8 0.2 22 5 5 0.7 65 1 0 0.0 27 6 0.1 74 1 第二步，设权向量为 0 . 2 , 0 . 3 , 0 . 4 , 0 . 1 w ，得加权的 向量规范化属性矩阵见表 14. 5 。 表 14. 5 表 14. 1 的数据经规范化后的加权属性值 j i 人均专著 1 x 生师比 2 x 科研经费 3 x 逾期毕业 率 4 x 1 0.0 12 8

12、0.1 79 1 0.1 38 0 0.0 45 5 2 0.0 25 5 0.1 79 1 0.1 65 6 0.0 54 2 3 0.0 51 0 0.1 49 3 0.1 93 1 0.0 64 8 4 0.1 14 8 0.0 59 7 0.2 75 9 0.0 22 2 5 0.1 53 0 0 0.0 1 10 0.0 17 4 第三步， 由表 14. 5 和式（ 14. 3 ）和式（ 14. 4 ），得 正理想解 * 0.1 530, 0.1 791 , 0.2 759, 0.0 174C ； 负理想解 0 0.0 12 8, 0, 0.0 11 0, 0.0 64 8C 。 第

13、四步，分别用式（ 14. 5 ）和式（ 14. 6 ）求各方案 到正理想 解 的距离 * i s 和负理想 解 的距离 0 i s ，列于表 14. 6 。 表 14. 6 距离值及综合指标值 * i s 0 i s * i f 1 0.1 98 7 0 .22 04 0.5 25 8 2 0.1 72 6 0.2 37 1 0.5 78 7 3 0.1 42 8 0.2 38 5 0.6 25 5 4 0.1 25 5 0.2 93 2 0.7 00 3 5 0.3 19 8 0.1 48 1 0.3 16 5 第五步，计算排队指示值 * i f （见表 14. 6 ），由 * i f 值

14、的大小可确定各方案的从优到劣的次序为 4 ， 3 ， 2 ， 1 ， 5 ( 程序略 ) 。 设多属性决策方案集为 12 , , , m D d d d ，衡量方案 优劣的属性 变 量为 1 , n xx ，这时方案集 D 中的每个方案 i d （ 1 , ,im ）的 n 个属性值构成的向量是 1 , , i in aa ， 它作为 n 维空间中的一个点，能唯一地表征方案 i d 。 14.1.2 方法和原理 正理想解 *C 是一个方案集 D 中并不存在的虚拟的最 佳方案，它的每个属性值都是决策矩阵中该属性的最好 值；而负理想解 0C 则是虚拟的最差方案，它的每个属性 值都是决策矩阵中该属性

15、的最差值。在 n 维空间中，将 方案集 D 中的各备选方案 i d 与正理想解 *C 和负理想解 0C 的距离进行比较，既靠近正理想解又远离负理想解的方 案就是方案集 D 中的最佳方案；并可以据此排定方案集 D 中各备选方案的优先序。 T OPSIS 法的具体算法如下 （ 1 ）用向量规 范 化的方法求得规范决策矩阵 设多属性决策问题的决策矩阵 () i j m n Aa ，规范化 决策矩阵 () i j m n Bb ，其中 2 1 m ij ij ij i b a a ， 1 , 2 , ,im ， 1 , 2 , ,jn . 14.1.3 TOPSIS法的算法步骤 （ 2 ） 构成加权规

16、范阵 () i j m n Cc 设由决策人给定各属性的权重向量为 12 , , , T n w w w w ，则 i j j i j c w b ， 1 , 2 , ,im ， 1 , 2 , ,jn . （ 14 .2 ） （ 3 ） 确定正理想解 *C 和负理想解 0C 设正理想解 *C 的第 j 个属性 值为 * j c ，负理想解 0C 第 j 个 属性值为 0 j c ，则 正理想解 * m ax , , m i n , , ij i j ij i cj c cj 为 效 益 型 属 性 为 成 本 型 属 性 1 , 2 , ,jn . （ 14 .3 ） 负理想解 0 m i

17、n , , m ax , , ij i j ij i cj c cj 为 效 益 型 属 性 为 成 本 型 属 性 1 , 2 , ,jn . （ 1 4 .4 ） （ 4 ） 计算各方案到正理想解与负理想解的距离 备选方案 i d 到正理想解的距离为 * * 2 1 () n i i j j j s c c ， 1 , 2 , ,im . （ 1 4 .5 ） 备选方案 i d 到负理想解的距离为 0 0 2 1 () n i ij j j s c c ， 1 , 2 , ,im . （ 1 4 .6 ） （ 5 ） 计算各方案的排队指标值（即综合评价指数） * 0 0 */ ( ) i

18、i i i f s s s ， 1 , 2 , ,im . （ 1 4 .7 ） （ 6 ） 按 * i f 由大到小排列方案的优劣次序。 14.2 模糊综合评判法 人事考核需要从多个方面对员工做出客观全面的评 价，因而实际上属于多目标决策问题。但是，在人事考 核中存在大量具有模糊性的概念，这种模糊性或不确定 性不是由于事件发生的条件难以控制而导致的，而是由 于事件本身的概念不明确所引起的。这就使得很多考核 指标都难以直接量化。在评判实施过程中，评判者又容 易受经验、人际关系等主观因素的影响，因此对人才的 综合素质评判往往带有一定的模糊性与经验性。 这里说明如何在人事考核中运用模糊综合评判，

19、从而为企业员工职务升迁、评先晋级、聘用等提供重 要依据，促进人事管理的规范 化和科学化，提高人事 管理的工作效率。 在对企业员工进行考核时，由于考核的目的、考 核对象、考核范围等的不同，考核的具体内容也会有 所差别。有的考核，涉及的指标较少，有些考核，又 包含了非常全面丰富的内容，需要涉及很多指标。鉴 于这种情况，企业可以根据需要，在指标个数较少的 考核中，运用一级模糊综合评判，而在问题较为复杂， 指标较多时，运用多层次模糊综合评判，以提高精度。 14.2.1 一级模糊综合评判在人事考核中的应用 一级模糊综合评判模型的建立，主要包括以下 步 骤。 （ 1 ） 确定因素集 对员工的表现，需要从多

20、个方面进行 综合评判， 如员工的工作业绩、工作态度、沟通能力、政治表现 等。所有这些因素构成了评价指标体系集合，即因素 集，记为 12 , , , n U u u u . ( 2 ) 确定评语集 由于每个指标的凭价值的不同，往往会形成不同 的等级。如对工作业绩的评价有好、较好、中等、较 差、很差等。由各种不同决断构成的集合被称为评语 集，记为 12 , , , mV v v v . （ 3 ） 确定各因素的权重 一般情况下，因素集中的各因素在综合评价中所起 的作用是不相同的，综合评价结果不仅与各因素的评价 有关，而且 在很大程度上还依赖于各因素对综合评价所 起的作用，这就需要确定一个各因素之间

21、的权重分配， 它是 U 上的一个模糊向量，记为 12 , , , n A a a a ， 其中 i a 表示第 i 个因素的权重，且满足 1 1 n i i a 。确定权 重的方法很多，例如 Delphi 法、加权平均法、众人评估 法等。 （ 1 ） 确定模糊综合判断矩阵 对指标 i u 来说，对各个评语的隶属度为 V 上的模糊子 集。 对指标 i u 的评判记为 12 , , , i i i im R r r r ， 各指标的模糊综合判断矩阵为 11 12 1 21 22 2 12 m m n n n m r r r r r r R r r r ， 它是一个从 U 到 V 的模糊关系矩阵。

22、（ 2 ） 综 合评判 如果有一个从 U 到 V 的模糊关系 () i j n m Rr ，那么利 用 R 就可以得到一个模糊变换 : ( ) ( ) R T F U F V， 由此变换，就可得到综合评判结果 B A R 。 综合后的评判可看作是 V 上的模糊向 量，记为 12 , , , m B b b b 。 例 14 .2 某单位对员工的年终综合评定。 解 （ 1 ）取因素集 4 , , , 1 2 3 U u u u u 政 治 表 现 工 作 能 力 工 作 态 度 工 作 成 绩 。 （ 2 ）取评语集 , , , , 51 2 3 4 V v v v v v 优 秀 良 好 一

23、般 较 差 差 。 （ 3 ）确定各因素的权重 0.25, 0.2, 0.25, 0.3A 。 （ 4 ）确定模糊综合评判矩阵，对每个因素 iu 做出评价。 i ） 1 u 比如由群众评议打分来确定 1 0.1 , 0.5 , 0.4 , 0, 0R . 上面式子表示，参与打分的群众中，有 10% 的人认为 政治表现优秀， 50% 的人认为政治表现良好， 40% 的人认 为政治表现一般，认为政治表现较差或差的人为 0 ，用同 样方法对其它因素进行评价。 ii ） 23 ,uu 由部门领导打分来确定 2 0.2, 0.5, 0.2, 0.1 , 0R ， 3 0. 2, 0. 5, 0. 3,

24、0, 0R . iii ） 4 u 由单位考核组成员打分来确定 4 0. 2, 0. 6, 0. 2, 0, 0R . 以 i R 为第 i 行构成评价矩阵 0 .1 0 .5 0 .4 0 0 0 .2 0 .5 0 .2 0 .1 0 0 .2 0 .5 0 .3 0 0 0 .2 0 .6 0 .2 0 0 R ， 它是从因素集 U 到评语集 V 的一个模糊关系矩阵。 （ 5 ）模糊综合评判。进行矩阵合成运算 0 .1 0 .5 0 .4 0 0 0 .2 0 .5 0 .2 0 .1 0 0 .2 5, 0 .2 , 0 .2 5, 0 .3 0 .2 0 .5 0 .3 0 0 0

25、.2 0 .6 0 .2 0 0 B A R 0 . 0 6 , 0 . 1 8 , 0 . 1 , 0 . 0 2 , 0 . 取数值最大的评语作综合评判结果，则评判结果为 “ 良好 ” 。 2020年 11月 13日 39 模糊综合评判 设与被评价事物相关的因素有 n 个，记作 , 21 nuuuU 称之 为 因素集 。又设所有可能出现的评语有 m 个，记作 , 21 mvvvV 称之为 评语集 。由于各种因素所处地们不同，作用也不 一样，考虑用权重 , 21 naaaA 来衡量。 一级模糊综合评判 2020年 11月 13日 40 步骤： （ 1 ）确定因素集 ;, 21 n uuuU

26、（ 2 ）确定评判集 ;, 21 m vvvV （ 3 ）进行单因素评判得到 );,( 21 imiii rrrr （ 4 ）构造综合评判矩阵： nmnn m m rrr rrr rrr R 21 22221 11211 （ 5 ）综合评判：对于权重 ),( 21 n aaaA 计算 RAB ， 并 根据 隶属 度 最 大 原则 作 出 评判 。 模糊综合评判 2020年 11月 13日 41 根据运算 的不同定义，可得到以下不同模型： 模型 ),( M 主因素 决定 型 );,2,1( 1),m a x ( mjnirab ijij 其评判结果只取决于在总评价中起主要作用的那个因 素，其余因

27、素均不影响评判结果，此模型比较适用于单 项评判最优就能作为综合评判最优的情况。 模糊综合评判 2020年 11月 13日 42 例如有单因素评判矩阵 18.030.028.024.0 11.030.025.034.0 20.008.024.038.0 10.016.042.022.0 20.012.036.026.0 18.024.028.030.0 12.026.022.040.0 23.025.032.020.0 27.013.024.036.0 R )18.0,1.0,1.0,1.0,16.0,07.0,07.0,12.0,1.0(A 则 B (0.18, 0.18, 0.18, 0.1

28、8) 2020年 11月 13日 43 模型 ),( M 主因素突出型 );,2,1( 1),m a x ( mjnirab ijij 它与模型 ),( M 相近，但比模型 ),( M 精细些，不仅 突出了主要因素，也兼顾了其他因素。此模型适用于模 型 ),( M 失效（不可区别），需要“加细”的情况。 模型 ),( M 加 权 平均 型 );,2,1( )( 1 mjrab n i ijij 该模型依权重的大小对所有因素均衡兼顾，比较适用 于要求总和最大的情形。 模糊综合评判 2020年 11月 13日 44 模型 ),( M 取小上界和 型 );,2,1( )(,1m i n 1 mjra

29、b n i ijij 在 使 用 此 模型 时 ， 需要 注意 的 是 ： 各 个 ia 不 能 取 得 偏大 ， 否 则 可 能 出 现 jb 均 等于 1 的 情形 ； 各 个 ia 也 不 能 取 得 太 小 ， 否则 可 能 出 现 jb 均 等于 各 个 ia 之 和 的 情形 ， 这 将 使 单 因素 评判 的 有 关 信息 丢失 。 模糊综合评判 2020年 11月 13日 45 模型 ),( M 均衡平均 型 m k kj n i ij ij rr mj r r ab 1 0 1 0 . );,2,1( )( 其中： 该模型适用于 R 中元素 ijr 偏大或偏小的情形。 模糊综

30、合评判 2020年 11月 13日 46 例 ： “ 晋升 ” 的数学模型 . 以高校老师晋升教授为例：因素集 U =政治表现 及工作态度 ,教学水平 ,科研水平 ,外语水平 , 评判集 V=好 ,较好 ,一般 ,较差 ,差 . 因素 好 较好 一 般 较差 差 政治表现及工作态度 4 2 1 0 0 教学水平 6 1 0 0 0 科研水平 0 0 5 1 1 外语水平 2 2 1 1 1 2020年 11月 13日 47 7/17/17/17/27/2 7/17/17/500 0007/17/6 007/17/27/4 R 给定以教学为主的权重 A = (0.2, 0.5, 0.1, 0.2

31、)， 分别用 M( , )、 M( , )模型所作评判下： M( , )： B = (0.5, 0.2, 0.14, 0.14, 0.14) 归一化后， B = (0.46, 0.18, 0.12, 0.12, 0.12) M( , )： B = (0.6, 0.19, 0.13, 0.04, 0.04) 2020年 11月 13日 48 模糊综合结论 最后通过对模糊评判向量 B的分析作出综合结论一 般可以采用以下三种方法： (1) 最大隶属原则 (2) 加权平均原则 12m a x ( , , , )nM b b b * 1 1 () n ii i n i i b u b 0 . 3 , 0

32、 . 3 , 0 . 3 , 0 . 2B 评价等级集合为 =很好，好，一般，差 ，各 等级赋值分别为 4， 3， 2， 1 2.642.03.03.03.0 2.013.023.033.04 对于一些复杂的系统，例如人事考核中涉及的指标 较多时，需要考虑的因素很多，这时如果仍用一级模糊 综合评判，则会出现两个方面的问题，一是因素过多， 它们的权数分配难以确定；另一方面，即使确定了权分 配，由于需要满足归 一化条件，每个因素的权值都小。 对这种系统，我们可以采用多层次模糊综合评判方法。 对于人事考核而言，采用二级系统就足以解决问题了， 如果实际中要划分更多的层次，那么可以用建二级模糊 综合评判

33、的方法类推。 14.2.2 多层次模糊综合评判在人事考核中的应用 下面介绍一下二级模糊综合评判法模型建立的步骤。 第一步，将因素集 12 , , , n U u u u 按某种属性分成 s 个子因素集 12 , , , s U U U，其中 12 , , , i i i i in U u u u ， 1 , 2 , ,is ，且满足 i ） 12 s n n n n ， ii ） 12 s U U U U， iii ）对任意的 ij ， ij UU . 第二步，对每一个因素集 i U ，分别做出综合评判 。 设 12 , , , m V v v v 为评语集， i U 中各因素相对于 V 的权

34、 重分配是 12 , , , ii i i in A a a a . 若 i R 为单因素评判矩阵，则得到一级评判向量 12 , , , i i i i i i m B A R b b b ， 1 , 2 , ,is . 第三步，将每个 iU 看作一个因素，记为 12 , , , sK u u u . 这样， K 又是一个因素集， K 的单因素评判矩阵为 1 11 12 1 2 21 22 2 12 m m s s s sm B b b b B b b b R B b b b . 每个 i U 作为 U 的部分，反映了 U 的某种属性，可以 按它们的重要性给出权重分配 12 , , , s A

35、 a a a ，于是 得到二级评判向量 12 , , , m B A R b b b . 如果每个子因素集 i U ， 1 , 2 , ,is ，含有较多的因 素，可将 i U 再进行划分，于是有三级评判模型，甚至 四级、五级模型等。 例 14 .3 某部门员工的年终评定。 关于考核的具体操作过程，以对一名员 工的考核 为例。如表 14. 7 所示，根据该部门工作人员的工作性质， 将 18 个指标分成工作绩效（ 1U ）、工作态度（ 2U ）、 工作能力（ 3U ）和学习成长（ 4U ）这 4 个子因素集。 表 14. 7 员工考核指标体系及考核表 一级 指标 二级指标 评价 优秀 良好 一般

36、 较差 差 工作 绩效 工作量 0. 8 0. 15 0. 05 0 0 工作效率 0. 2 0. 6 0. 1 0. 1 0 工作质量 0. 5 0. 4 0. 1 0 0 计划性 0. 1 0. 3 0. 5 0. 05 0. 05 工作 态度 责任感 0. 3 0. 5 0. 15 0. 05 0 团队精神 0. 2 0. 2 0. 4 0. 1 0. 1 学习态度 0. 4 0. 4 0. 1 0. 1 0 工作主动性 0. 1 0. 3 0. 3 0. 2 0. 1 满意度 0. 3 0. 2 0. 2 0. 2 0. 1 工作 能力 创新能力 0. 1 0. 3 0. 5 0. 1

37、 0 自我管理能力 0. 2 0. 3 0. 3 0. 1 0. 1 沟通能力 0. 2 0. 3 0. 35 0. 15 0 协调能力 0. 1 0. 3 0. 4 0. 1 0. 1 执行能力 0. 1 0. 4 0. 3 0. 1 0. 1 学习 特长 勤情评价 0. 3 0. 4 0. 2 0. 1 0 技能提高 0. 1 0. 4 0. 3 0. 1 0. 1 培训参与 0. 2 0. 3 0. 4 0. 1 0 工作提案 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 设专家设定指标权重，一级指标权重为 0.4 , 0.3 , 0.2 , 0.1 A . 二级指标权重为 1 0.2,

38、0.3, 0.3, 0.2A ， 2 0.3, 0.2, 0.1 , 0.2, 0.2A ， 3 0.1 , 0.2, 0.3, 0.2, 0.2A ， 4 0.3 , 0.2 , 0.2 , 0.3 A . 对各个子因素集进行一级模糊综合评判得到 表 14. 7 员工考核指标体系及考核表 一级 指标 二级指标 评价 优秀 良好 一般 较差 差 工作 绩效 工作量 0. 8 0. 15 0. 05 0 0 工作效率 0. 2 0. 6 0. 1 0. 1 0 工作质量 0. 5 0. 4 0. 1 0 0 计划性 0. 1 0. 3 0. 5 0. 05 0. 05 工作 态度 责任感 0.

39、3 0. 5 0. 15 0. 05 0 团队精神 0. 2 0. 2 0. 4 0. 1 0. 1 学习态度 0. 4 0. 4 0. 1 0. 1 0 工作主动性 0. 1 0. 3 0. 3 0. 2 0. 1 满意度 0. 3 0. 2 0. 2 0. 2 0. 1 工作 能力 创新能力 0. 1 0. 3 0. 5 0. 1 0 自我管理能力 0. 2 0. 3 0. 3 0. 1 0. 1 沟通能力 0. 2 0. 3 0. 35 0. 15 0 协调能力 0. 1 0. 3 0. 4 0. 1 0. 1 执行能力 0. 1 0. 4 0. 3 0. 1 0. 1 学习 特长 勤情

40、评价 0. 3 0. 4 0. 2 0. 1 0 技能提高 0. 1 0. 4 0. 3 0. 1 0. 1 培训参与 0. 2 0. 3 0. 4 0. 1 0 工作提案 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0 1R 2R 3R 4R 1 1 1 0 . 3 9 , 0 . 3 9 , 0 . 2 6 , 0 . 0 4 , 0 . 0 1B A R ， 2 2 2 0 . 0 2 5 , 0 . 3 3 , 0 . 2 3 5 , 0 . 1 2 5 , 0 . 0 6B A R ， 3 3 3 0 . 1 5 , 0 . 3 2 , 0 . 3 5 5 , 0 . 1 1 5 , 0

41、 . 0 6B A R ， 4 4 4 0 . 2 7 , 0 . 3 5 , 0 . 2 6 , 0 . 1 , 0 . 0 2B A R . 0.4, 0.3, 0.2, 0.1 0.3 9 0.3 9 0.2 6 0.0 4 0.0 1 0.2 5 0.3 3 0.2 35 0.1 25 0.0 6 0.1 5 0.3 2 0.3 55 0.1 15 0.0 6 0.2 7 0.3 5 0.2 6 0.1 0.0 2 B A R R 这样，二级综合评判为 0.4, 0.3, 0.2, 0.1 0.3 9 0.3 9 0.2 6 0.0 4 0.0 1 0.2 5 0.3 3 0.2 35

42、 0.1 25 0.0 6 0.1 5 0.3 2 0.3 55 0.1 15 0.0 6 0.2 7 0.3 5 0.2 6 0.1 0.0 2 B A R 0 . 2 8 8 , 0 . 3 5 4 , 0 . 2 3 5 5 , 0 . 0 8 6 5 , 0 . 0 3 6 . （ 程序略 ） 根据最大隶属度原则，认为对该员工的评价为良好。 同理可对该部门其他员工进行考核。 以上说明了如何用一级综合模糊评判和多层次综合模 糊评判来解决企业中的人事考评问题，该方法在实践中 取得了良好的效果。经典数学在人事考核的应用中显现 出了很大的局限性，而模糊分析很好地将定性分析和定 量分析结合起来，

43、为人事考核工作的量化提供了一个新 的思路。 数据包络分析（ da ta e nv elop ment an al ys is, DEA ） 是著名运筹学家 A. Cha rnes 和 W. W. Cop per 等学者 以 “ 相对效率 ” 概念为基础，根据多指标投入和多指标产 出对相同类型的单位（部门）进行相对有效性或效益评 价的一种系统分析方法。它是处理多目标决策问题的好 方法。它应用数学规划模型计算比较决策单元之间的相 对效率，对评价对 象做出评价。 DEA 特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，这主 要体现在以下几点 14.3 数据包络分析法 灰色关联度分析具体步骤如下 （ 1 ）确定

44、比较对象（评价对象）和参考数列（评 价标准） 设评价对象有 m 个，评价指标有 n 个，参考数列为 00 ( ) | 1 , 2, , x x k k n ， 比 较 数 列 为 ( ) | 1 , 2, , ii x x k k n ， 1 , 2 , ,im 。 （ 2 ）确定各指标值对应的权重 可 用 层 次 分 析 法 等 确 定 各 指 标 对 应 的 权 重 1 , , n w w w ， 其中 k w ， 1 , 2 , ,kn 为第 k 个评价指 标对应的权重。 14.4 灰色关联分析法 （ 3 ）计算灰色关联系数 00 00 m in m in ( ) ( ) m ax m

45、ax ( ) ( ) () ( ) ( ) m ax m ax ( ) ( ) ss st st i is st x t x t x t x t k x k x k x t x t 为比较数列 i x 对参考数列 0 x 在第 k 个指标上的关联系 数 ， 其 中 0 , 1 为 分 辨 系 数 。 称 式 中 0 m i n m i n ( ) ( ) s st x t x t 、 0 m ax m ax ( ) ( ) s st x t x t 分别为两级 最小差及两级最大差。 一般来讲，分辨系数 越大，分辨率越大； 越小，分 辨率越小。 （ 4 ）计算灰色加权关联度 灰色加权关联度的计算

46、公式为 1 () n i i i k r w k ， 这里 i r 为第 i 个评价对象对理想对象的灰色加权关联 度。 （ 5 ）评价分析 根据灰色加权关联度的 大小，对各评价对象进行排 序，可建立评价对象的关联序，关联度越大其评价结 果越好。 例 14. 5 供应商选择决策 某核心企业需要在 6 个待选的零部件供应商中选择一 个合作伙伴，各待选供应商有关数据见表 14. 10 。 表 14. 10 某核心企业待选供应商的指标评价有关数据 评价指标 待选供应商 1 2 3 4 5 6 产品质量 0.83 0.90 0.99 0.92 0.87 0.95 产品价格（元） 326 295 340

47、287 310 303 地理位置（千米） 21 38 25 19 27 10 售后 服务（小时） 3.2 2.4 2.2 2.0 0.9 1.7 技术水平 0.20 0.25 0.12 0.33 0.20 0.09 经济效益 0.15 0.20 0.14 0.09 0.15 0.17 供应能力（件） 250 180 300 200 150 175 市场影响度 0.23 0.15 0.27 0.30 0.18 0.26 交货情况 0.87 0.95 0.99 0.89 0.82 0.94 产品质量、技术水平、供应能力、经济效益、交货情 况、市场影响度指标属于效益型指标；产品价格、 地理 位置、售

48、后服务指标属于成本型指标。现分别对上述指 标进行规范化处理， 规范化 数据结果见表 14. 11 ，取各指 标值的最大值，得到虚拟最优供应商。 表 14. 11 比较数列和参考数列值 评价 指标 供应商 最优 供应商 1 2 3 4 5 6 指标 1 0 0.4375 1 0.5625 0.25 0.75 1 指标 2 0.2642 0.8491 0 1 0.566 0.6981 1 指标 3 0.6071 0 0.4643 0.6786 0.3929 1 1 指标 4 0 0.3478 0.4348 0 .5 217 1 0.6522 1 指标 5 0.4583 0.6667 0.125 1

49、 0.4583 0 1 指标 6 0.5455 1 0.4545 0 0.5455 0.7273 1 指标 7 0.6667 0.2 1 0.3333 0 0.1667 1 指标 8 0.5333 0 0.8 1 0.2 0.7333 1 指标 9 0.2941 0.7647 1 0.41 18 0 0.7059 1 取 0 . 5 ，计算 ()i k 及 ir ，具体数值见表 14. 12 。 表 14. 12 关联系数和关联度值 评价 指标 待选供应商 1 2 3 4 5 6 指标 1 0.3 33 3 0.4 70 6 1 0.5 33 3 0.4 0.6 66 7 指标 2 0.4 0

50、4 6 0.7 68 1 0.3 33 3 1 0.5 35 4 0.6 23 5 指标 3 0.5 6 0.3 33 3 0.4 82 8 0.6 08 7 0.4 51 6 1 指标 4 0.3 33 3 0.4 34 0.4 69 4 0.5 1 1 1 1 0.5 89 7 指 标 5 0.4 8 0.6 0.3 63 6 1 0.4 8 0.3 33 3 指标 6 0.5 23 8 1 0.4 78 3 0.3 33 3 0.5 23 8 0.6 47 1 指标 7 0.6 0.3 84 6 1 0.4 28 6 0.3 33 3 0.3 75 指标 8 0.5 17 2 0.3 3

51、3 3 0.7 14 3 1 0.3 84 6 0.6 52 2 指标 9 0.4 14 6 0.6 8 1 0.4 59 5 0.3 33 3 0.6 29 6 i r 0.4 63 0 0.5 56 0 0.6 49 1 0.6 52 7 0.4 9 36 0.6 13 0 由表 14 . 12 ， 按 灰 色 关 联 度 排 序 可 看 出 ， 4 3 6 2 5 1 r r r r r r ，由于供应商 4 的关联度与虚拟最 优供应商的关联度最大，亦即供应商 4 优于其它供应 商，企业决策者可以优先考虑从供应商 4 处采购零部件 以达到整体最优 ( 程序略 ) 。 将灰色关联分析用于供

52、应商选择决策中可以针对大量 不确定性因素及其相互关系，将定量和定性方法有机 结合起来，使原本复杂的决策问题变得更加清晰简单， 而且计算方便，并可在一定程度上排除决策者的主观 任意性，得出的结论也比较客观，有一定的参考价值。 例 14 .6 表 14 .13 是我国 1984 2000 年宏观投 资的一些数据，试利用主成分分析对投资效益 进行分析和排序。 14.5 主成分分析法 当影响事件的因素过多时，可以根据因素内在关系 构造出影响事件的主要成分，并且用主要成分来对事件 进行评分。 表 14 .13 19 84 20 00 年宏观投资效益主要指标 年份 投资效果 系数 （无时滞） 投资效果 系

53、数 （时滞一 年） 全社会固 定资产交 付使用率 建设项目 投产率 基建房屋 竣工率 1984 0.7 1 0.4 9 0.4 1 0.5 1 0.4 6 1985 0.4 0 0.4 9 0.4 4 0.5 7 0.5 0 1986 0.5 5 0.5 6 0.4 8 0.5 3 0.4 9 1987 0.6 2 0.9 3 0.3 8 0.5 3 0.4 7 1988 0.4 5 0.4 2 0.4 1 0.5 4 0.4 7 1989 0.3 6 0.3 7 0.4 6 0.5 4 0.4 8 1990 0.5 5 0.6 8 0.4 2 0.5 4 0.4 6 1991 0.6 2 0

54、.9 0 0.3 8 0.5 6 0.4 6 1992 0.6 1 0.9 9 0.3 3 0.5 7 0.4 3 1993 0.7 1 0.9 3 0.3 5 0. 66 0.4 4 1994 0.5 9 0.6 9 0.3 6 0.5 7 0.4 8 1995 0.4 1 0.4 7 0.4 0 0.5 4 0.4 8 1996 0.2 6 0.2 9 0.4 3 0.5 7 0.4 8 1997 0.1 4 0.1 6 0.4 3 0.5 5 0.4 7 解 用 1 2 5, , ,x x x 分别表示投资效果系数（无时 滞），投资效果系数（时滞一年），全社会固定资 产交付使用率，建设项

55、目投产率，基建房屋竣工率。 用 1 , 2 , , 1 7i 分别表示 1984 年， 1985 年， ， 2000 年，第 i 年 1 2 5, , ,x x x 的 取 值 分 别 记 作 1 2 5 , , , i i ia a a ，构造矩阵 1 7 5 () ij Aa 。 基于主成分分析法的评价步骤如下 （ 1 ）对 原始数据进行标准化处理 将各指标值 ij a 转换成标准化指标 ij a ， ij j ij j a a s ， （ 1 , 2 , , 1 7i ， 1 , 2, , 5j ） ， 其中 17 1 1 17 j i j i a ， 17 2 1 1 () 17 1

56、j ij j i sa ， ( 1 , 2, , 5j ) ，即 , jj s 为第 j 个指标的样本均值和样 本标准差。对应地，称 jj j j x x s ，（ 1 , 2, , 5j ） 为标准化指标变量。 （ 2 ）计算相关系数矩阵 R 相关系数矩阵 55 () ij Rr 17 1 1 7 1 k i k j k ij aa r ，（ , 1 , 2, , 5ij ）， 式中 1 ii r ， i j j i rr ， ij r 是第 i 个指标与第 j 个指标的 相关系数。 （ 3 ）计算特征值和特征向量 计算相关系数矩阵 R 的特征值 1 2 5 0 ，及对应的标准化特征向量 1

57、2 ,uu 5 , u ，其中 1 2 5 , , , T j j j j u u u u ，由特征向 量组成 5 个新的指标变量 1 11 1 21 2 51 5 y u x u x u x ， 2 12 1 22 2 52 5 y u x u x u x ， ， 5 15 1 25 2 55 5 y u x u x u x ， 式中 1 y 是第 1 主成分， 2 y 是第 2 主成分， ， 5 y 是第 5 主成分。 （ 4 ）选择 p （ 5p ）个主成分，计算综合评价值 i ）计算特征值 ( 1 , 2 , , 5) j j 的信息贡献率和累积贡 献率。称 5 1 j j k k b

58、 （ 1 , 2, , 5j ） 为主成分 j y 的信息贡献率； 1 5 1 p k k p k k 为主成分 12, , , py y y 的累积贡献率， 当 p 接近于 1 （ 0 . 8 5 , 0 . 9 0 , 0 . 9 5 p ）时，则选择前 p 个 指标变量 12 , , , p y y y 作为 p 个主成分，代替原来 5 个指标 变量，从而可对 p 个主成分进行综合分析。 ii ）计算综合得分 1 p jj j Z b y ， 其中 j b 为第 j 个主成分的信息贡献率，根据综合得 分值就可进行评价。 利用 M at la b 软件求 得相关系数矩阵的前 5 个特征 根

59、及其贡献率如表 14. 1 4 。 表 14. 1 4 主成分分析结果 序号 特征根 贡献率 累计贡献率 1 3.1 34 3 62 .68 66 62 .68 66 2 1.1 68 3 23 .36 70 86 .05 36 3 0.3 50 2 7.0 03 6 93 .05 72 4 0.2 25 8 4.5 16 2 97 .57 34 5 0.1 21 3 2.4 26 6 10 0.0 000 可以看出，前三个特征根的累计贡献率就达到 93% 以上，主成分分析效果很好。下面选取前三个 主成分进行综合评价。前三个特征根对应的特征向 量见表 14.15 。 表 14 .15 标准化变

60、量的前 4 个 主成分对应的特征向量 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 第 1 特征向量 0.4 90 542 0.5 25 3 51 - 0.4 8 706 0.0 67 054 - 0.4 9 158 第 2 特征向量 - 0.2 93 44 0.0 48 9 88 - 0.2 8 12 0.8 98 1 17 0.1 6 0648 第 3 特征向量 0.5 10 897 0.4 33 6 6 0.3 71 351 0.1 47 658 0.6 2 5475 由此可得三个主成分分别为 1 1 2 3 5 5 0. 49 1 0. 52 5 0. 48 7 0. 06 7 0. 49

61、2y x x x x x ， 2 1 2 3 4 5 0.2 93 0.0 49 0.2 81 0.8 98 0.1 61y x x x x x ， 3 1 2 3 4 5 0.5 11 0.4 34 0.3 71 0.1 48 0.6 25y x x x x x ， 分别以三个主成分的贡献率为权重，构建主成分综合评 价模型 1 2 3 0.6 26 9 0.2 33 7 0.0 76Z y y y . 把各年度的三个主成分值代入上式，可以得到各年度的 综合评价值以及排序结果如表 14 .16 所示 ( 程序略 ) 。 表 14. 1 6 排名和综合评价结果 年代 1993 199 2 1991 1994 198 7 1990 1984 2 000 1995 名次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 评价 值 2.446 4 1.9 7 6 8 1.112 3 0.86 0 4 0.845 6 0.225 8 0.05 3 1 0.05 3 1 - 0.25 34 年代 1988 1985 1996 1986 1989 199 7 1999 1998 1986 名次 10 11 1 2 13 14 15 16 17 评价 值 0.2 66 2 0.5 29 2 0.7 4 0 5 0.77 8 9 0.9