参数方程练习题

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1、参数方程1. 参数方程的概念一一IXf(t)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标X,y都是某个变数t的函数,/、,并且对yg(t)于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(X,y)都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2. 参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2) 如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如xf(t),把它代入普通方程，求出另一个变数与参数|Xf(t)

2、的关系yg(t)，那么，/、就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围yg(t)保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。例5：将下列数方程化成普通方程(烧参数)，,2x1+122ty1+12(t为参数)，,1t2x112（t为参数）,2ty1+121xa（t+）1（t为参数），yb（t-）txmy+1ymx+1Ixacosa,.（a为参数,ab0），ybsina.J血（为参数）1+cos20.xC0S:（为参数），ysiny3圆的参数设圆

3、O的半径为r，点M从初始位置M出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设M(x,y)，则0Ix厂咒(为参数)。yrsin这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是OM转过的角度。0圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x一a)2+(y一b)2r2，它的参数方程为：Ix:+r咒（为参数）。ybrsin4椭圆的参数方程x2y2以坐标原点o为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为+1(ab0),其参数方程为a2b2xbcosp参数方程为y-asinpyb:爲为参数)，其中参数p称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是a2+b21(abo),其(p为参数)，其中参数p仍为离心

4、角，通常规定参数P的范围为Pe0,2兀)。注：椭圆的参数方程中，参数P的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角a区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外(即在0到2兀的范围内)，在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当o2时，相应地也有0P0,b0),其参数方程为a2b2y:bsenp即为参数)，其中申0,b0),其参数方程为a2b2X：处(p为参数，其中p0；当点M在M下方时，tb0）上是否存在点P,使得由P点向圆x2+y2=b2所引的两条切线互相垂直？若存在,a2b2求出P点的坐标；若不存在，说明理由。四、全国历届高考试题选编：1.设a,bgR,a2+2b2

5、6,则a+b的最小值是（）A.22B.53C.3D.7322在极坐标系中，圆心在（2,兀）且过极点的圆的方程为（）A.22cos0B.P22cos。C.22sin9D.p-22sin93. 极坐标方程P=cos9与Pcos9=2的图形是（）A.B.C.D.4. 极坐标方程P2cos20=1所表示的曲线是（）A.两条相交直线B.圆C.椭圆D.双曲线5. 在极坐标系中，直线l的方程为Psin9=3,则点（2,n/6）到直线l的距离为X12厂6点0）到曲线y2八其中参数数GR）上的点的最短距离为（）（A）0（B）1（C）2（D）2,xt+3厶、刃7在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为o（参数

6、tgR）,圆C的参数方程为Iy3tx2cos9y2sin9+2（参数9gb,2兀j则圆C的圆心坐标为，圆心到直线l的距离为8.00和00的极坐标方程分别为4cos9，p=4sin9.12（I）把00和002化为直角坐标方程；仃I）求经过001,002交点的直线的直角坐标方程.五、模拟试题选编：3兀兀1在极坐标系中，已知点A（1，4）和B（24），则A、B两点间的距离是兀2.将极坐标方程Pcos（9）化为直角坐标方程是43在极坐标系中，过圆p=4cos9的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为4.在极坐标系中，圆0,P0,0兀）的交点的极坐标为.14.在极坐标系中，过点作圆P=4sin的切线，则

7、切线的极坐标方程是.14极坐标方程p=cos和参数方程y（为参数）所表示的图形分别是下列图形中的（依次填写序号）*.直线；圆；抛物线；椭圆；双曲线.【答案】;.1若直线l的参数方程为x=13t，y=241.（t为参数），则直线l的倾斜角的余弦值为（B）234A.53B.C.54D.5已知动圆方程x2+y2xsin2B+22nysin（9+_4）=0（9为参数），那么圆心的轨迹是（D）A.椭圆B.椭圆的一部分C.抛物线D.抛物线的一部分n在极坐标系中，点（2，3）到圆P=2cos9的圆心的距离为（D）A2n2B.49n2C.19D.345A4若直线l：3A.36.如果曲线C：B.7y=kx与曲线

8、C：3B.3x=a2cos9y=a+2sin9C22，x=2+cos9y=sin9C.3D23（9为参数）有唯一的公共点，则实数k=（C）D.3（9为参数）上有且仅有两个点到原点的距离为2,则实数a的取值范围是（C）A.(22，0)B.(0,22)C.(22,0)U(0,22)D.(1,22)7.在极坐标系中，直线1勺极坐标方程为P（2cos9+sin9）=2，直线打的参数方程为x=12t(1为参y=2+ktn在极坐标方程中，曲线C的方程是p=4sin9,过点（4,石）作曲线C的切线，贝y切线长为（C）数），若直线与直线i2垂直，贝yk=8.已知定点A（1,0）,F是曲线，x=2cos9y=1

9、cos29（9WR）的焦点，贝y|AF|=.5.29. 在平面直角坐标系xOy中，以0为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为Pcos（9=1,M、N分别为曲线C与x轴、y轴的交点，则MN的中点的极坐标为x=3cosG10. (10分)已知曲线C：4，直线l:P(cose2sinG)=12.、y=2sinG(1) 将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；(2) 设点P在曲线C上，求点P到直线l的距离的最小值.2x=3_t(t为参数).在极坐标系(与直角坐211. (15分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2y=52t标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以

10、x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为P=25sin0.(1) 求圆C的直角坐标方程；x2+(y5)2=5.(2) 设圆C与直线l交于点A,B.若点P的坐标为(3,5)，求|PA|+|PB|.32.x3cosa(a为参数).y=sina以x轴正半轴为极轴)中，点P(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点,n的极坐标为(4,万)，判断点P与直线l的位置关系；P在直线l(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.2t为参数e0,Ix=1+1cos13在直角坐标系中，直线1的参数方程为L二tsinL.(轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为”

11、=/2sin2）+4丿丿，以原点为极点，以x(1) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2) 若曲线C和直线l交于A,B两点，且|AB|=J6，求tan的值.14.已知曲线C的极坐标方程为：”2-2pcos+4psin+1=0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立一，2平面直角坐标系，直线l经过点P(-1，1)且倾斜角为-(I) 写出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；(II) 设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|-|PB的值x=1+cos.(为参数)，以0为极点，X轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，(1)求圆y=sin15.C的参数方程C的极坐标方程,(2)射线OM:=-与圆C

12、的交点为O,P两点，求点P的极坐标。3%考题*4天津卷在以O为极点的极坐标系中，圆p=4sin和直线psin=a相交于A,B两点.若AAOB六、13.是等边三角形，则a的值为.34.2014.安徽卷以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同x=t+1,(t为参数)，圆C的极坐标方程是p=4cos,则直线l被圆Cy=t3的长度单位已知直线l的参数方程是,截得的弦长为（D）A.14B.214C.2D.22x=1+cos，cI.a（e为参数）的对称中心（B）y=2十sin3.2014北京卷曲线A.在直线y=2x上B.在直线y=2x上C.在直线y=x1上D.在直

13、线y=x+1上x=4cos0,.3为参数).y=4sin0x=a2t,(t为参数)，圆C的参数方程为,y=4t(1) 求直线l和圆C的普通方程；2xy2a=0,x2+y2=16.(2) 若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.一25WaW25.14.2014广东卷在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为psin20=cos0和psin0=1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为.(1，1)21.2014.福建卷已知直线l的参数方程为,t，3t(t为参数).以坐标原点为极点，ly=3极坐标系，曲线C2的极坐标方程是p=2，则q

14、与C2交点的直角坐标为n11.2014.湖南卷在平面直角坐标系中，倾斜角为才的直线l与曲线C：两点，且IABI=2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是cos0psin0=111.2014.江西卷若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y=1x(0WxW1)的极坐标方程为(A)1nA.P=，0W0WB.cos0sin02n一C.P=cos0+sin0，0WeW2D.P=cos0+sin0，0000玄23.2014.辽宁将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1) 写出C的参数方程；(2) 设直

15、线l：2x+y2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.x=cost，；y=2sint(t为参数).2PcOs0伽“0=3,即P=4sin02cos0-x=2+1，cc(t为参数).y=22t(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程;2x+y6=0(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,22525交l于点A，求IPAI的最大值与最小值.5.5.23.2014.新课标II在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极n坐标方程为p=2cos0，0丘0,(1)求C

16、的参数方程；设点D在C上,C在D处的切线与直线l：y=3x+2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标.x=1+cost,(n(330.y=2sin0若曲线C上所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围.0VaV23.15.2014.陕西卷在极坐标系中，点(2，壬)到直线Psin。一=1的距离是.1x=2+1,152014重庆卷已知直线l的参数方程为y=3+t(t为参数)，以坐标原点为极点，川的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为psin2。一4cos0=0（p0,OW0v2n）,贝直线l与曲线C的公共点的极径P（s为参数）和直线l2：x=at,卜=21为参数）=.5x=2s+

17、l,11.2013湖南卷在平面直角坐标系xOy中，若直线，1y=s平行，则常数a的值为.414.2013广东卷已知曲线C的极坐标方程为p=2cos以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为.x=1+cos9,，.C（为参数）y=sin923.2013辽宁卷在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为P=4sin9，pcos。一寸=22.（1）求C1与C2交点的极坐标；（4,号），（22,寸）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为x=t3a，y=bt3+1（tR为参数），求a,b的值

18、.a=1,b=2.x=2cost,23.2013新课标II已知动点P,Q都在曲线C：,（t为参数）上，对应参数分别为t=a与t=2a（0a2y=2sintn）,M为PQ的中点.（1）求M的轨迹的参数方程；（2）将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.x=cosa+cos2a,一，（a为参数，0a2n）.d=x2+y2=2+2cosa（0a2n）.过坐标原点.y=sina+sin2aX=t2,23.2013陕西卷圆锥曲线,（t为参数）的焦点坐标是.（1,0）y=2t.23.2013新课标I已知曲线C1的参数方程为,x=4+5cost，y=5+5sint（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=2sin9.（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；P28pcos9lOpsin9+16=0求c1与c2交点的极坐标（po,ow2n）.2,n）,2,n）x=t+1,23.2013江苏卷在平面直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为,（t为参数），曲线C的参数方程为y=2tx=2tan29,（0为参数），试求直线1和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标.2xy2=0.y=2tan9y2=2x.（2,2）,2，1.