金融工程计算及答案

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1、1、一份货币互换协议距离到期日还有15 个月，涉及按本金2000万英镑、利率 14%计算的利息与按本金 3000 万美元、利率 10%计算的利息之间的交换，每年交换一次。 英国和美国的利率期限结构均是平坦的，如果现在签订互换协议，互换的美元利率为8%， 英镑利率为11%。所有的利率均按年计复利。当前的汇率（英镑/美元）是 1.6500。对于英 镑的支付方而言，互换的价值为多少？对于美元的支付方呢？【答】该互换包含 以下现金流的交换弋英镑利怠：20X0 14=2.71美元利Mj 550X0 1=冇万对于赁币互换.期末还莅本金的仝换=在该互换下，英镑债券的价值沖美元债券的价值为：- 三-_ 32.

2、92百万美元 1.08I .08因此-对英镑付方而咅.互换的价值为：3Z92-22.74X L65- 460 乏万美元对美元支f寸方而言价億为斗点0占万美元：2、一家金融机构与公司 Y 签订一份 10 年期的货币互换协议。根据互换条款,金融机构按年 利率 3%收取瑞士法朗利息，并按年利率 8%支付美元利息，利息交换每年进行一次。本金分 别为 700万美元和 1000 万瑞士法朗。假设在第6年末公司宣布破产，当时的汇率为0.8 美 元/瑞士法郎。金融机构的损失是多少？假设在第6 年年末，对所有期限而言瑞士法郎的利 率均为 3%，美元利率均为 8%。所有利率按年计复利。yr fmvard:0.83

3、00yr fmvard:0.8796yr fmvard:0.9223yr fmvard:0.9670在本题中, = 0-080=0.03那么在第六年底.我们有spot:0.8003-320,000-(I十勰尸羽300(1十呂F2.400OO 十CU8%)4所咲，兰金司在第E年破产时其扬先为67940美元:由于所以尸匸+绽几现金流如下年UJD村款CPIF收裁远朗汇率CHF 等价的USJD现金流6560,000300.000 0.S00D240,000(320,000)75 60,000300,000 0.8300251,600(308.400)R拠000300.000 0.S795263,900

4、(296,100)9560.(300,000 (19223276 J0D(2 00)107,560； 00010,300,000 0.96709,960.1002,400,1 DD由于在无甕利情形下丧所以红利的存在降低看涨期权的价值，提高看跌期权的价值，因此有红利的情形下，不 等式仍然成立。对于右边的不等式，可耳連过掏造缉各(I)欣式看涨期杖4现金流(2装式看躡期权+丨谕狀票此处*期权的到期日祀孰行价格相桓L讨于担合(1),在型期E3T.其愉值为,|抽瑞* _xo(十X)/ =利附+x(ti -n对于组合(2),若期板没有皱握能議行.则左到期日T其价值対：max 伐，_ | + Dr 若期权被

5、提前之行.假设在时刻厂被执行则其价值为:x._ m *在无套利条件下，我们可以得到P 讥c-D_X每季度计一次良利的年刹率为1佻请计算与2筹价的每準计一次复利的佯利率和连续 复利年利那口【解析】苛毎李度与每年记一次复利等价时则粧 4（l+rf=A 1 + I mm = 4 T rm = 14% j 代入得；r= 1卜乎-1 = 14,75% o而当每季度与连换星利等价时，则有：A（14邑f, 0.14 7ran上几化简得二炖曰代入数据，可知逹续复剧年剧率川=41n= 13.76%.F =Ser（Tty运用反证法证明成立 假设尺匸时歼.即交易对手报出的交割价洛大下现货价恪的终值.在这种情况下，套

6、 利者可以按无风险利率F借入$现金，期限为T-t.然后用S购买一单位标的资产，同时卖出 一份该资产的远期合的.交割价格为尺.在T时刻谄套利者可将一单位标的资产兗割换得恳现 金，并归还借款本息矗灯乜，从而实现K-S 的无凤险利润。 若K即交割价格小于现货价格的藝值。套利着可进疔反向操作匸即卖空标的资产，将所得收入按无図.险利率/进行投资，期限为T-t.同时买进一粉该标的资产的远期合釣， 兗割价格担1 在F时刻，套利者枚到投资木息 肿“,并以恳现金购买单位标的资产用 于归还卖空时借入的标的资产，从而实现除心、_ K的利润.无收益资产远期合约价格与远期价值 假设一种无红利支付的股票目前的市价为 20

7、 元，无 风险连续复利年利率为 10%，试求该股票 3 个月远期价格。如果三个月后该股票的市价为 15元，求这份交易数量为100单位的远期合约多头方的价值。【解靳】根据题意，有 = 20: r = lT-f = 25 ,由于股票期间无收益，所以， 该股票3个月远期价搭F = 5；/r =20x/w =20.（元h个月后，对于毎头方来说，该远期合釣的价值为/ = -Krr=15xl00- -20.51x100 = -551 （元）。支付已知收益率资产远期合约的定价（股指期货）2007年9月20日，美元3个月期无 风险利率为 3.77%， S&P500 指数预期红利收益率为 1.66%。当 S&P

8、500 指数为 1518.75 点 时， 2007 年 12 月到期的 S&P500 指数期货 SPZ07 相应的理论价格应为多少？【略析】由于S&P500 数期货总在到期月的第二个星期五到期，故此加07年9月20日 距昭丙00期货到期时闾为3牛月，所以，SPZ07的理论价格为：F =尿FT =&托耳 f g砂 1526.78某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票目前市价等于30元，所 有期限的无风险连续复利年利率均为6%,某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头， 交易单位为100。请问：该远期价格等于多少？若交割价格等于远期价格，则远期合约 的初始价值等于多少？3个月后

9、，该股票涨到35元，无风险利率仍为6%，此时远期 价格和该合约空头价值等于多少？T%【解析】2个月和石个阴后派发的1元股息的现值I = lxe2 + lx 13 -1.97z 6元）远期价格F二（E 二（30-L97）f 垃二2&阴元人当交割价格等于远期 价格时.则远期合约的初始价值为附3个月后，般票在2个月后将派发1元股息贝山合约远期价值耳=（$-厶津乜=35吨-34?2 （元）合约多头价值Ke切卜100T5烁丄-现*235-lxi?13-28.88x 门 xlOO-556 （元即该合釣空头价值等于-血6元。最便宜交割债券期货短头寸方决定交割，可以从以下表中选出最便宜交割债券。假定最近 一次

10、的期货报价为93-08，即93.25美元，试问应选择那种债券？债券惯券价格（美元）转换因于139. 501. 03832143. 501.51983L1&. 751.2615【解析】交割每种债券的成本如下：债券 1: 99. 50- （93. 25X1, 0382）电69 美元；债券 2: 143.50-（93. 25X1.5188）=1.87 美元；愦券 3: 119. 75- （93. 25X1.2615） =2.12 美元。因此，最便宜交割债券为债券2标准券期货理论报价2002年7月30 日，2002年9月到期的国债期货合约的交割最 合算的债券是息票率为13%、付息时间分别为每年的2月4

11、日和8月4日、将于2023年 2月15日到期的长期国债。假设利率期限结构式平的，半年复利的年利率为12%,该债券 的转换因子为1.5，现货报价为110。已知空方将在2002年9月30日交割，试求出期货 的理论报价。【解析】该只国债期货合约时间表如券息京付当前时问1 11 I券息支忖期賀到期|丨券息支付1 1 102. N 4102.7. 30 102. & 4r102, 9. 30ri03. 2. 4rL7&天5天57天屹7天债券的现金价格等于现货报价加I：从上-次付恵至今的应计利息.2002年2W 4 H时， 债券现金价为1 10 + x= 116.32 181 2在5天后债券持有者将枚到6

12、. 5美兀的利息，没比连续复利计息的年利率为八 则有.解得：r = 11.65%,故该利恳的贴现值6.5x网=643T+罟期货合釣将持续也天，如果期货合约址有关干息票率为13喘的债券期货的现金价格予 （116,32-6.49）65 = 112.03 -在倩券交割时，会产主57天的应汁利息，如果期板合约是有关于息票率为1班的债券， 期货的报价为1123与音二112.02 由转换定义得出1.5倍的标准券等价于个1.3%的债券，凶此，期货的报价应为：1.5（考） 利率互换的定价：运用债券组合假设在一笔利率互换协议中，某一金融机构支付3个月期的LIBOR,同时收取4.8%的 年利率（3 个月计一次复利

13、），名义本金为1 亿美元。互换还有9 个月的期限。目前3 个 月、6个月、9个月的LIBOR （连续复利）分别为4.8%、5%和5.1%。试计算此笔利率互 换对该金融机构的价值。解析】在这个例子中氐= 1000忙斗色=120万美元，因此：抵=120严淼皿+ 120八。杯+ 120严唄曲=列方戲3 （万羌元）由于互换刚好还有9个月的期限，处F車新确定利率的吋刻，因此= 10000万美元h 因此，对该金融机构而言，次利率互换的价值为9975 825-10000 = -24.175 （万美元）.感然，对该金融机构的交易对手来说，此笔利率互换的价值为正，即24.175万美元假设在一笔利率互换合约中，某

14、金融机构每*年玄付6个月期的LIBOR f同吋收収 8%的年利率（半年计一次复利h名义本金为1亿美元。互换还有L篦年的期限，个月、9 个月和1E个月的06?（连续复利率）分别为1%、10.5%和11筑上一次利息支村日的6 个月LIBOR为10.2% 半年计一次复利人试分别运用债券组合和月苗组合计算此笔利率互 换对该金融机构的价值【解析】运用债券组合从题可知t k 1000 400 (万美元人k* 1000x = ? 10 (万美元人故:2 2%.二壮72十4105x075十壮宀讯25二0_鹽24 亿美元)Bc -(100 + 5.1) lxCf25 -1.0251 (亿董元)所以.此笔利率互换

15、对该金融机构的价值为：98.4-102.5 = -127 万美元人运用取4组合0 5x100x(0.08-002)e3-25 =-107万美元)由于3个月到G个月的远期利率为： 1自*7亍一骂=o 07于*且io.布坯的3卜月后那笔交换对蛊融机枸的价偵为*0.5连续复利对应的每半年计一次复利的利率为：2x102-1)=0.11044 = 所以，9牛川后那笔现金流的价值为：0.5x100x(0,08 -0,11044),OML73 =-141 (万美元)同理可计算得，从现在开始g个月到1S个月的远期利率为11,75%.对应的毎半年计一次 复利的利率为12, 102%o所以，15个月片那笔现佥流交

16、换的价值为t0 ?x 100x(0.08-0.12102)75 = -179 (万美元所th此笔利率互换对该兪融机构的价值対：-107-141-179=-427万美元h假i殳美-元和FI元的LIBOR的期限站陶星平的.在日本垦验而在美国是强(均为连续复 利肌某-金融机构在-笔贯币互换屮每年收入H兀，利率为5陥同时忖出美元.利率为8%e 两种货币的本金分别为1000万美元和120000万H元“这笔互换还有3年的期眼，每年交换 一次利息，即期汇率対1美元=110日元.试分别运用喷券组合和远期外汇组合计算此笔货币 互换对该金融机构的价值。【解析】运用债券组合闻果以美元为本币，那仏Bd - O.Se-

17、0-01 +O.S_o(B1l2 + lO.Se-003 - 964.斗(万美元 斗=轴 1 + 6Oi?-o.o42 +12E0尹如=12305 5(万 H 元) 所乩 此笔货币互换对该金融机构的价值为：=12305/-964.4= 154.3万美元 运用远期外汇组合如期汇率为1盖朮冃元，或者是1日元=0一0的曲1盖元=阖兀芙元和日元的年利差 为5%.根揺尸=S/灯一年期、两年期利丄年期的远期汇率分别希：0.00909 10Mk1 二 0.0095570.009091ZMh1 =0 0100470.00909=0 010562与利息交揉等价的卅远期合约的价值分别为：(0.8-60x0.(X)

18、9557)? =20.71 (万美元) (0.8-60x0.010047)Wf3 = 16.47万美元 (0.8-60x0.010562)(?3 =12.69 万丟兀与最终的木金交换等价的远期合约价值为：(10-1200X0.010562)09x3 = -204,17 (万美元)因为该金融机构收入美兀忖出美元，所以此笔赏币互换对该金融机构的价價为:201,46-20.71-16,47-12,69 = 154.3 (万美元)运用利率互换进行信用套利假设乩B公司都担借入1年期的100万美元借款 A想倍入宵&个月期相关的浮动利率 借款.B想借入固定利率借款。两家公司信闭等级不同故市场向它们提供的利率

19、也不同(如 F表所示h错简要说明两家公司应如何运用利率互换进廿信用套利。A舎可和的借贷咸本AB借入固定利率10. 8%12. Ofe借入浮动利率LIBOR - 0. 25%LIBOR + 0. 75%半表中的利率均为一年计一抉复利的年利率。【解折】由题意及表中数据可知：A公司的比较优势在于借入固定利率款项，而B公司按 浮动利率借款有比较优笹.切两家公司的总收益潜在的总套利)为：(12%-10.8%)-(Z/(92? + 0.75%)-(AZ3t?/?+02?%)ll = 0.7%肖两家公司利用利率互换迸行信用套利时，可按如下步骤操柞：A公司在其具有比较优势 的周定利-辛市场上以10一號的周定利

20、率阳入100 h M元.E在其艮有比絞优势的浮动利率市场 上以LIBOR + 0.阳%的浮动利率借入100万美元，熬后运用利率互换逬存信用套利以达到降低 筹资成本的目的。由于本金相同，叙方不必交换本金+只需交换利息现金流，即A向E支忖 浮动利息，B向A支付圃定利息。由于两家公司信用等级不同信用等级高的节约成本会更雾，斯以*当假设A公同解约 成木0飞虬：&公可解约成本&侧时，利率互换流程图如下：11.0598股票看涨期权空方的初始保证金假设某个股票看涨期权的相关参数是：股票市价为15 美元，执行价格为20美元，期权费为1美元，试问该看涨期权空方应缴纳多少的初始保证 金？【解析】按照上述两种公式计

21、算出来的结果分别为；b 1： l + 15x20%-(2O-15)xl(K) = -I0O (美元 疔厶(l-15xlO%)xlOO=25O (美元J内此，卖出这-看涨期权的投资者，除啞将期权费收入100美元冻结在账户内之外. 还要向经纪公司缴纳150美元的初始保证金-假设股票的当前价格是20 美元，3 个月后，该股票的价格可能为22 美元或者 18 美元 个欧式看涨期权的执行价格是 21 美元，确定看涨期权的当前价格。【解析】建立个无风险投资组合：SQti = 22购买股股票；卖空一个欧式看涨期权；选择总使福投资组合无城隘，即：S, =20 A = 0.25 股）；Sod = 确宦无凤险投資

22、组合的价偵fd3个月后无风险投资组合的价值为土 22x0 25-1 = 18x0.25-0=4 50（美元A当前时刻无风险投资组合的悅值为：4站也山鈣=4.3670 （美元入确定期权的价值无城险投资组合中当前股票的价值为；0,25x20-5美元h也:期权的价偵知/ = 5-4.3670-0.633 （美元人假设标的资产为不付红利股票，其当前市场价格为50 美元，波动率为每年 30%，无风险连 续复利年利率为5%，期权期限为 2 年，该股票 1 年期的美式看跌期权协议价格为52 美元， 求该期权的价值。【斛听】为了枸造二叉树，把期段有限期分成两段，毎段-年，根据上面公戒，町埠山tu =/阿=丁3

23、“ 二 1,3499J = y屈=丄=-=0.740Sit 1.499阶上涨襯率总足尊于0. &097.卜-降槻率总是等=0. 4903c据此* W以画山该股票在期做有这期内的1叉树.如右罔所示-在毎个节点赴有两个上血一个表示股黑价格，下商一牛表示期权价俏S股 1.3499-0.7403严一d-0.7408分别对三个节点处的期权价值进行求解；节点1：当不行权时Xi=Kxl 5097x0十09於心二0-93美元人 而当到期再 行权时，期収价值为入=0 （美元人 所以该节点处的期权价值为0一夹 美元。节点阶 当不行权时fdl=0 5097 X 2 + 0.4905x 24 ?6 = im （美元人而当到期再行权时期权价值为兀三=52-37.04 = 14.96（美元人所以该节点处的期权价值14.96 美元。节点力当不行权时，ft =fl5zl0.5097x0.93十0.490AW-96 = 7-曲美元人而当 到期再行权时期权价伯为耳=0美元人所以该节点处的期权价逍为7.43元。综上所述，该美式看跌期权的价值为743美元。