应力状态分析强度理论

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1、第 十 章 应 力 状 态 分 析 强 度 理 论 10-1 应 力 状 态 的 概 念 P P m m PABCDEA B C D E 主平面 ：剪应力为零的平面主应力：主平面上的正应力主方向：主平面的法线方向可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个互相垂直的主平面。三个主应力用1、 2 、 3 表示，按代数值大小顺序排列，即 1 2 3 应力状态的分类：单向应力状态：三个主应力中只有一个不等 于零二向应力状态（平面应力状态）：两个主应 力不等于零三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零单向应力状态也称为简单应力状态二向和三向应力状态统称为复杂应力状态 圆筒形薄壁压力容器，内

2、径为 D、壁厚为 t，承受内力p作用pD t2 pDt4 123 240 pDtpDtp p 圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为D，承受内压p作用。 1 23 40 pDt NA p DDt 24 pDt4p 圆杆受扭转和拉伸共同作用 NA Pd4 2 TW mdt 16 3P P m m 10-2 平 面 应 力 状 态 下 的 应 力 分 析 x y xy yx x xy y y y x x 一、解析法 y yy x x x x y y x n y y x x ：拉应力为正：顺时针转动为正：逆时针转动为正n AAsinAcos x y x y xx y x2 2 2 22 2 2cos s

3、insin cos dd 2 2 2 2x y xsin cos若时，能使 0 0dd x y x 2 2 2 00 0sin cos x y x y xx y x2 2 2 22 2 2cos sinsin cos 和都是的函数。利用上式便可确定正应力和剪应力的极值 tan2 20 xx y 0 0 90、它们确定两个互相垂直的平面，其中一个是最大正应力所在平面，另一个是最小正应力所在平面 , maxmin x y x y x2 2 2 2 用完全相似的方法可确定剪应力的极值dd ( )cos sin x y x2 2 2若时，能使 1 0dd( )cos sin x y x 2 2 2 0

4、1 1 x y x y xx y x2 2 2 22 2 2cos sinsin cos tan2 21 x yx 1 1 90、它们确定两个互相垂直的平面，分别作用着最大和最小剪应力 , maxmin x y x2 2 2 tan tan2 121 0 ctg2 02 2 901 0 即 1 0 45 即：最大和最小剪应力所在平面与主平面的夹角为45tan2 20 xx y tan2 21 x yx 二、图解法 x y x y x2 2 2 2 1cos sin ( ) x y x2 2 2 2sin cos ( )( ) ( ) ,1 2 2 2得 x y x y x2 22 2 2 2

5、x y ( ) ( )x x y y R 0 2 0 2 2 圆心坐标为，半径为 x yx y x 2 02 2 2应力圆莫尔(Mohr)圆 x y x y x2 22 2 2 2 y yy x x x x y y x 下面根据已知单元体上的应力 x、 y 、x画应力圆( , ) x x( , ) y y 下面利用应力圆求任意斜截面上的应力( , ) 2 y yy x x x x y y x n ( , ) y y ( , ) x x ( , ) x x( , ) y y 10-3 平面应力状态主应力及最大剪应力 例：分别用解析法和图解法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和剪应力;(2)

6、主应力值及主方向，并画在单元体上；(3)最大剪应力值。单位：MPa x yx x y x y xx y x 80 40602 2 2 2102 2 2 2220 MPa, MPa MPa, =30MPa MPa cos sinsin cos. 解：(一)使用解析法求解 maxmintan . . x y x y x xx y2 2 10565105 0 652 2 1 225 1125 2 2 00 MPaMPa, , MPa1 2 3或 min 65 maxmintan . . x y x y x xx y2 2 10565105 0 652 2 1 225 1125 2 2 00 MPaM

7、Pa, , MPa1 2 3或或或max 105 0 225 . maxmin x y x2 852 2 MPa (二)使用图解法求解 作应力圆，从应力圆上可量出： 102221056522585MPaMPaMPaMPaMPa0maxminmax . 低碳钢铸铁 例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。解： max min 01 2 3max , , , 450 max min ( , )0 ( , )0 10-4 三向应力状态简介主单元体：六个平面都是主平面 1 23若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力: 首先分析平行于主应力之一（例如3）的各斜截面上的应力。

8、 1 1 2 23 3 33 2 3 对斜截面上的应力没有影响。这些斜截面上的应力对应于由主应力 1 和 2 所画的应力圆圆周上各点的坐标。1 1 23 同理，在平行于 2 的各个斜截面上，其应力对应于由主应力 1 和 3 所画的应力圆圆周上各点的坐标。 1 1 2 23 3 1 23 在平行于 1 的各个斜截面上，其应力对应于由主应力 2 和 3 所画的应力圆圆周上各点的坐标。 1 1 2 23 3 1 23 1 23 这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆圆周上各点的坐标来表示。 1 23 至于与三个主方向都不平行的任意斜截面，弹性力学中已证明，其应力

9、n和n可由图中阴影面内某点的坐标来表示。 在三向应力状态情况下： max 1 1 2 3 max 作用在与2平行且与1和3的方向成45角的平面上，以1，3表示 min 3 max 1 32 例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。 30 202 30 202 40 5224222 2 . MPa解： 50MPa max . 1 32 472MPa 132 例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。 123 MPaMPaMPa MPa 505050 2 501 3max CL10TU33解： 例：求图示应力状态的主应力和最大剪应力（应力单位为MPa）。 12

10、0 402 120 402 30 130302 2 MPa解： max 1 32 80MPa 30MPa 123 10-5 广义胡克定律纵向应变： E横向应变： E 1 23下面计算沿方向的应变：11引起的应变为 2 3、引起的应变为 1 2 E 1 3 E当三个主应力同时作用时： 1 1 2 31 E（） 1 1 E 广义胡克定律： 1 1 2 32 2 3 13 3 1 2111 EEE（）（）（） 1 2 1 1 22 2 13 1 211 EEE( )( )( )对于二向应力状态： 1 23下面考虑体积变化：a b cV a b c0 V a b c1 1 2 31 1 1 ( ) (

11、 ) ( ) abc( )1 1 2 3 单位体积的体积改变为: V VV1 00也称为。体积应变 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 E ( ) 31 2 31 2 3( ) E mK式中：体积弹性模量K E m 31 2 31 2 3( ) 当时， 05 0. 10-6 复杂应力状态下的变形比能 P l l P拉压变形能：U P l P PlEA P lEA 12 12 2 2变形比能：u U V P lEA Al E 2 22 2 12 1 23 变形比能：u 12u 12 12 121 1 2 2 3 3 变形比能：u 12 12 121 1 2 2 3 3 1 1 2 32

12、2 3 13 3 1 2111 EEE（）（）（） 12 212 22 32 1 2 2 3 3 1E ( ) 1 23 m m m 1 m 2 m 3 m变形比能=体积改变比能+形状改变比能 u=uv+uf m 1 2 33 31 2 31 2 3( )E Km u E 12 212 22 32 1 2 2 3 3 1 ( )uv 31 22 2( ) E m 1 26 1 2 3 2 E ( )u u uf v 16 1 2 2 2 3 2 3 1 2 E ( ) ( ) ( ) 1 23 m m m 1 m 3 m 10-7 强度理论的概念材料破坏的形式主要有两类： maxmax 流动破

13、坏断裂破坏 10-8 常用的四种强度理论材料破坏的基本形式有两种：流动、断裂相应地，强度理论也可分为两类：一类是关于脆性断裂的强度理论；另一类是关于塑性屈服的强度理论。一、关于脆断的强度理论 1.最大拉应力理论（第一强度理论）它假定：无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的主应力1 达到单向拉伸断裂时的极限应力u，材料即破坏。在单向拉伸时，极限应力 u =b失效条件可写为 1 b 1 bn第一强度强度条件： 试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，

14、这些都与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响。 2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）它假定，无论材料内各点的应变状态如何，只要有一点的最大伸长线应变1达到单向拉伸断裂时应变的极限值 u，材料即破坏。所以发生脆性断裂的条件是 1 u若材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内工作，则 1 1 2 31 E E Eu u b（）, 由此导出失效条件的应力表达式为： 1 2 3 ( ) b bn 1 2 3 ( ) 第二强度条件： 煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向，这与第二强度理论的结果相近。 二、关

15、于屈服的强度理论 1.最大剪应力理论（第三强度理论）它假定，无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的最大剪应力max达到单向拉伸屈服剪应力S时，材料就在该处出现明显塑性变形或屈服。屈服破坏条件是： max s 用应力表示的屈服破坏条件： max , 1 32 2s s 1 3 s sn 1 3 第三强度条件： 第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广泛的应用。该理论没有考虑中间主应力2的影响，其带来的最大误差不超过15，而在大多数情况下远比此为小。 2.形状改变比能理论(第四强度理论)它假定，复杂应力状态下材料的形状

16、改变比能达到单向拉伸时使材料屈服的形状改变比能时，材料即会发生屈服。屈服破坏条件是：u u f u u Ef 16 1 2 2 2 3 2 3 1 2 ( ) ( ) ( ) 简单拉伸时：u Eu s 16 2 2 1 2 3 0 s , 12 1 2 2 2 3 2 3 1 2( ) ( ) ( ) s 12 1 2 2 2 3 2 3 1 2( ) ( ) ( ) 屈服破坏条件是：第四强度条件： 这个理论和许多塑性材料的试验结果相符，用这个理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确的。 四个强度理论的强度条件可写成统一形式： r r rrrr1 12 1 2 33 1 34 1 2 2 2 3 2

17、 3 1 212 ( )( ) ( ) ( )称为相当应力 一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度理论。影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如：低温能提高脆性，高温一般能提高塑性；在高速动载荷作用下脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。 无论是塑性材料或脆性材料： 在三向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的形式破坏，所以应采用最大拉应力理论； 在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑性变形，所以应该采用第三或第四强度理论。 10-9 莫尔强度理论 1 3 tc t r M tc 1 3 例：填空题。 冬

18、天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，其原因是冰处于 应力状态，而水管处于 应力状态。三向压二向拉 在纯剪切应力状态下：用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比 例：填空题。 解：在纯剪切应力状态下，三个主应力分别为 1 2 30 , ,第三强度理论的强度条件为： 1 3 2 ( ) 由此得： 2剪切强度条件为： 按第三强度理论可求得： 2 第四强度理论的强度条件为： 12 31 2 2 2 3 2 3 1 2( ) ( ) ( ) 由此得： 3剪切强度条件为： 按第三强度理论可求得： 3 在纯剪切应力状态下：用第三强度理论

19、可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比 例：填空题。 0.50.577 石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵截面裂开，这与第 强度理论的论述基本一致。例：填空题。二 一球体在外表面受均布压力p = 1 MPa作用，则在球心处的主应力 1 = MPa， 2 = MPa， 3 = MPa。例：填空题。111 三向应力状态中，若三个主应力都等于，材料的弹性模量和泊松比分别为E和 ，则三个 主应变为 。例：填空题。 1 1 2 32 2 3 13 3 1 2111 EEE（）（）（） 第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为r3及r4，

20、对于纯剪应力状态，恒有r3r4。例：填空题。 1 2 30 , , r3 1 3 2 ( ) r4 1 2 2 2 3 2 3 1 212 3 ( ) ( ) ( ) 危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料，应选用 强度理论进行计算，因为此时材料的破坏形式为 。例：填空题。第一脆性断裂 例：选择题。 纯剪切应力状态下，各向同性材料单元体的体积改变有四种答案：（A）变大（B）变小（C）不变（D）不确定 1 2 3 mK 例： 圆轴直径为d，材料的弹性模量为E，泊松比为 ，为了测得轴端的力偶之值，但只有一枚电阻片。 (1) 试设计电阻片粘贴的位置和方向； (2) 若按照你所定的位置和方向，已测得线应

21、变为 0，则外力偶？m m 解：(1)将应变片贴于与母线成45角的外表面上(2) max min 1 2 30 , , 1 1 2 31 E ( ) 1 E 1 16 3 E md 0m d E 3 0161( ) 例：钢制封闭圆筒，在最大内压作用下测得圆筒表面任一点的x1.5104。已知E=200G Pa，0.25，160MPa，按第三强度理论校核圆筒的强度。xy 解： y x2 x x yE 1 15 10 4( ) . x y由上两式可求得 x y 60 120MPa, MPa故 1 2120 60 0 MPa, MPa, 3 r3 1 3 120 MPa 故满足强度条件。 纯剪切应力状

22、态: ( , )0( , )0 补充：平面应变状态分析 这里所指的平面应变状态，实际上是平面应力所对应的应变状态，它与弹性力学中所说的平面应变状态不同。 由于最大应变往往发生于受力构件的表面，而表面上的点一般都可按平面应变状态进行分析。 伸长的线应变和使直角增大的剪应变规定为正 设构件内一点处的应变、和皆为已知量。现求和 x y xy x xd x xd cos 1 x xsddsin x cos sin y yd y yd sin 2 y ysddcos y sin cos xy xd xy xd sin 3 xy xsddcos xy cos2 d( d d dl x y xx y xy)

23、 cos sin sin d(dls ) x y xyxs ys xsdd dd ddcos sin sin x y xycos sin sin cos2 2 x y x y xy2 2 2 2 2cos sin x轴顺时针转动的角度： 1 2 3 x y xycos sin sin cos cos2 ( )cos sin cos x y xy 2y轴顺时针转动的角度： ( )cos sin sin x y xy 2 2 2 2( )cos sin (cos sin ) x y xy x y x y xyx y xy2 2 2 2 22 2 2 2 2cos sinsin cos x y x

24、y xx y x2 2 2 22 2 2cos sinsin cos 2 tanmaxmin 2 22 20 2 2 xx yx y x y x 2tan maxmin 2 2 2 20 2 2 xyx yx y x y xy 应变的实测：用应变仪直接测出三个选定方向、的线应变、， 1 23 1 2 3由下式 求出、 123 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 21 12 23 3 x y x y xyx y x y xyx y x y xyx y xy cos sincos sincos sin 90 450直角应变花：， x y 0 90由可求得 45 2 2 x y xy : xy 0 90 452 10. 一点处的应力状态如图所示，试用应力圆 求主应力。 11. 一点处的应力状态如图所示（应力单位为 MPa），试用应力圆求主应力及其作用平面。