大学物理--分子动理论.pptx

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1、 第 九 章 气 体 动 理 论 主 要 内 容 1 热 力 学 系 统 的 状 态 及 其 描 述 2 理 想 气 体 物 态 方 程 3 统 计 规 律 性 概 率 4 理 想 气 体 的 压 强 公 式 和 温 度 的 微 观 意 义 5 能 量 均 分 定 理 6 麦 克 斯 韦 速 率 分 布 律 7 玻 耳 兹 曼 分 布 8 真 实 气 体 10 电 势 分 子 的 平 均 碰 撞 频 率 和 平 均 自 由 程 第 九 章 气 体 动 理 论 第 九 章 气 体 动 理 论 9 .1 .1 热 力 学 系 统 的 宏 观 描 述 与 微 观 描 述 一 、 研 究 对 象单 个

2、 分 子 无 序 、 具 有 偶 然 性 、 遵 循 力 学 规 律研 究 对 象 特 征整 体 （ 大 量 分 子 组 成 的 系 统 ） 服 从 统 计 规 律 宏 观 量 ： 表 示 大 量 分 子 集 体 特 征 的 物 理 量 ， 如 等 。, ,p V T微 观 量 ： 描 述 个 别 分 子 运 动 状 态 的 物 理 量 ， 如 分 子 的 等 。,m v热 力 学 系 统 ： 简 称 系 统 大 量 的 作 无 规 则 热 运 动 的分 子 所 组 成 的 气 体 。 系 统外 界 边 界 第 九 章 气 体 动 理 论 宏 观 量微 观 量 统 计 平 均 二 、 研 究

3、方 法1. 热 力 学 宏 观 描 述通 过 观 察 和 实 验 研 究 热 现 象 ， 给 出 宏 观 量 之 间 的 关系 和 规 律 ， 具 有 高 度 的 普 遍 性 和 可 靠 性 。2. 气 体 动 理 论 微 观 描 述从 物 质 的 微 观 结 构 出 发 ， 应 用 力 学 规 律 和 统 计 方 法 来阐 明 物 质 的 宏 观 性 质 。 第 九 章 气 体 动 理 论 , ,p V T1 . 气 体 压 强 ： 作 用 于 容 器 壁 上 单 位 面 积的 正 压 力 （ 力 学 描 述 ）p 单 位 ： 21Pa 1N m 2 . 体 积 ： 气 体 所 能 达 到

4、的 最 大 空 间 （ 几 何 描 述 ） V 3 3 3 31m 10 L 10 dm 单 位 ： 51atm 1.013 10 Pa 标 准 大 气 压 ： 纬 度 海 平 面 处 ， 时 的 大 气 压 。45 0 C3 . 温 度 : 气 体 冷 热 程 度 的 量 度 （ 热 学 描 述 ）T 273.15T t 单 位 ： （ 开 尔 文 ）K 9 .1 .2 状 态 参 量 平 衡 态一 、 状 态 参 量 第 九 章 气 体 动 理 论 二 、 平 衡 态 一 定 量 的 气 体 ， 在 不 受 外 界 的 影 响 下 ， 经 过 一 定 的 时间 ， 系 统 达 到 一 个

5、稳 定 的 ， 宏 观 性 质 不 随 时 间 变 化 的状 态 称 为 平 衡 态 。1） 单 一 性 （ 处 处 相 等 ） ;2） 状 态 的 稳 定 性 与 时 间 无 关 ；3） 动 态 平 衡 。 p,1. 平 衡 态 的 特 点2. 非 平 衡 态系 统 状 态 不 稳 定 ， 在 任 一 时 刻 ， 系 统 没 有 确 定 的 压 强和 温 度 。 第 九 章 气 体 动 理 论 一 、 热 平 衡ABAB 绝 热 板导 热 板 A、 B 两 系 统 互 不 影 响 ， 仍 然 处于 各 自 的 平 衡 态 。A、 B 两 系 统 由 于 接 触 时 交 换 能量 而 达 到

6、共 同 的 平 衡 状 态 （ 热 平衡 ） ， 两 系 统 有 共 同 的 宏 观 性 质结 论 ： 处 于 热 平 衡 的 多 个 系 统 具 有 相 同 的 温 度 。相 同 的 温 度9 .1 .3 热 平 衡 热 力 学 第 零 定 律 第 九 章 气 体 动 理 论 热 力 学 第 零 定 律 ： 若 A 和 B分 别 与 C 的 同 一 状态 处 于 热 平 衡 ， 则 A 和 B 一 定 热 平 衡 。 A BC 绝 热 板 导 热 板9 .1 .4 热 力 学 温 标不 依 赖 于 物 质 的 具 体 测 温 属 性 的 温 标 理 想 温 标 。热 力 学 第 三 定 律

7、： 热 力 学 零 度 （ 绝 对 零 度 ） 是 不 能 达到 的 ！ 第 九 章 气 体 动 理 论 第 九 章 气 体 动 理 论理 想 气 体 物 态 方 程 ： 理 想 气 体 平 衡 态 宏 观 参 量 间 的 函数 关 系 。 1 18.31J mol KR 摩 尔 气 体 常 量 mpV RTM 理 想 气 体 ： 在 任 何 情 况 下 都 遵 守 玻 意 耳 定 律 、 盖 吕 萨克 定 律 和 查 理 定 律 的 气 体 。 它 是 各 种 实 际 气 体 在 压 强趋 近 于 零 时 的 极 限 情 况 。 （ 一 种 理 想 化 的 模 型 ）.pV const一 定

8、 量 的 气 体 0(1 )VV V t 0(1 )pp p t 第 九 章 气 体 动 理 论 A/m NmM N mn N Vm Rp TV M p nkT玻 尔 兹 曼 常 数 23 1A 1.38 10 J KRk N mpV RTM理 想 气 体 物 态 方 程理 想 气 体 物 态 方 程 2ANm R TV N m 第 九 章 气 体 动 理 论 例 9 .2 -1 体 积 为 1 m3 钢 筒 内 储 有 供 气 焊 用 的 氧 气 假 定 气焊 时 ， 氧 气 的 温 度 保 持 3 0 0 K不 变 当 压 强 计 中 指 针 指 示出 筒 内 氧 气 的 压 强 由 4

9、.9 1 0 6 Pa降 为 9 .8 1 0 5 Pa时 ， 试问 共 用 去 了 多 少 氧 气 ？解 ： 根 据 理 想 气 体 状 态 方 程mpV RTM 0 pVMm RT 使 用 前 的 质 量 p VMm RT使 用 后 的 质 量 用 去 的 质 量0 ( )37.68kgm m mVM p pRT 第 九 章 气 体 动 理 论 第 九 章 气 体 动 理 论 9 .3 .1 统 计 规 律 性大 量 偶 然 事 件 总 体 具 有 的 规 律 性 ， 称 为 统 计 规 律 性 。 例 ： 伽 尔 顿 板定 义 ： 某 一 事 件 i 发 生 的 概 率 为 pi Ni

10、- 事 件 i 发 生 的 次 数 N - 各 种 事 件 发 生 的 总 次 数 lim ii N Np N 第 九 章 气 体 动 理 论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .伽 尔 顿 板 实 验1 . 单 个 小 球 落 入 哪个 狭 槽 具 有 偶 然 性 ；2 . 大 量 小 球 在 狭 槽内 的 分 布 具 有

11、 统 计规 律 性 第 九 章 气 体 动 理 论 lim ii N Np N 1ii iii i NNp N N 归 一 化 条 件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 设 ： Ni 为 第 i 格 中 的 小 球 数iiN N小 球 总 数9 .3 .2 概 率 概 率 分 布 函 数 的 归 一 化 条 件 第 九 章 气 体 动 理 论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x1. pi的 大 小 与 狭 槽 的 位 置 有关 ， 故 引 入 与 位 置 有 关 的 函数 ；( )if x ix2. pi的 大 小 与 狭 槽 的 宽 度 成 正 比 。 x( )i ip f x x dd ( )dNp f x xN 若 ， 落 入 的 概 率 为 ：0 x dx x x 概 率 分 布 函 数( )d 1f x x 归 一 化 条 件 第 九 章 气 体 动 理 论 第 九 章 气 体 动 理 论 9 .4 .1 理 想 气 体 的 微 观 模 型气 体 动

13、理 论 关 于 理 想 气 体 的 基 本 模 型 分 为 两 个 部 分 ： 1. 对 单 个 分 子 的 力 学 性 质 的 假 设(1 ) 分 子 可 视 为 质 点 ； 线 度 间 距 ,m10 10d rdr m10 9(2 ) 除 碰 撞 瞬 间 ， 分 子 间 无 相 互 作 用 力 ；(4 ) 分 子 的 运 动 遵 从 经 典 力 学 的 规 律 。(3 ) 弹 性 质 点 （ 碰 撞 均 为 完 全 弹 性 碰 撞 ） ； 第 九 章 气 体 动 理 论 2. 对 大 量 分 子 组 成 的 气 体 系 统 的 统 计 假 设 ：dV-体 积 元 （ 宏 观 小 ， 微 观

14、 大 ）(2 ) 分 子 的 速 度 各 不 相 同 ， 并 且 由 于 碰 撞 不 断 变 化 着 ；ddN Nn V V (1 ) 平 衡 态 时 分 子 按 位 置 的 分 布 是 均 匀 的 ， 即 分 子 数 密度 到 处 一 样 ， 不 受 重 力 影 响 ；(3 ) 平 衡 态 时 分 子 的 速 度 按 方 向 的 分 布 是 各 向 均 匀 的 。即 分 子 速 度 在 各 个 方 向 上 分 量 的 平 方 的 平 均 值 相 等 。 第 九 章 气 体 动 理 论 方 法 ：把所有分子按速度区间分为若干组，在每一组内的分子速度大小、方向都差不多。假 设 第 i 组 分 子

15、 的 速 度 在 区 间 内 di i iv v v总 的 分 子 数 密 度 为 i inn以 ni 表 示 第 i 组 分 子 的 分 子 数 密 度ii Nn V宏 观 ： 器 壁 单 位 面 积 所 受 的 气 体 施 加 的 压 力微 观 ： 大 量 气 体 分 子 频 繁 碰 撞 器 壁 对 器 壁 单 位 面 积 的 平 均 冲 力推 导 思 路 1ii ii i iN Nn N nV V V 9 .4 .2 理 想 气 体 压 强 公 式 第 九 章 气 体 动 理 论一 次 碰 撞 单 分 子 动 量 变 化 2mvix在 dt 时 间 内 与 dA 碰 撞 的 分 子 数斜

16、 柱 体 体 积 设 dA 法 向 为 x 轴dt 时 间 内 传 给 dA 的 冲 量 为 : d d (2 ) i ix ixn A t mv v2( 0)d 2 d dix i ixiI mn A t v v dA 考 虑 在 速 度 区 间 di i iv v v内 的 分 子di tv xd ix tv d di ixn A tv 分 析 第 九 章 气 体 动 理 论 2 21d 2 d d d d2 i ix i ixi iI mn A t mn A t v v 22 i ixix nn vv2d dd d d i ixiF Ip m nA t A v 2 213xnm nm v

17、 v 22 1( )3 2n m v分 子 平 均 平 动 动 能 因 为 与 的 分 子 数 目 应 该 一 样 多 ， 各 占 分子 总 数 的 一 半 ，0ix v 0ix v在 单 位 时 间 内 、 单 位 面 积 上 的 力 即 为 压 强 ： k23p n 第 九 章 气 体 动 理 论 k23p n 统 计 关 系 式压 强 的 物 理 意 义宏 观 可 测 量 量 微 观 量 的 统 计 平 均 值 压 强 是 大 量 分 子 对 时 间 、 对 面 积 的 统 计 平 均 结 果 .问 为 何 在 推 导 气 体 压 强 公 式 时 不 考 虑 分 子 间 的 碰 撞 ？分

18、 子 平 均 平 动 动 能 2k 12m v 第 九 章 气 体 动 理 论 宏 观 可 测 量k23p n 理 想 气 体 压 强 公 式 p nkT理 想 气 体 物 态 方 程 2微 观 量 的 统 计 平 均 值分 子 平 均 平 动 动 能 2k 1 32 2m kT v9 .4 .3 理 想 气 体 的 温 度 第 九 章 气 体 动 理 论 温 度 的 物 理 意 义3） 在 同 一 温 度 下 ， 各 种 气 体 分 子 平 均 平 动 动 能 均 相 等热 运 动 与 宏 观 运 动 的 区 别 ： 温 度 所 反 映 的是 分 子 的 无 规 则 运 动 ， 它 和 物

19、体 的 整 体 运动 无 关 ， 物 体 的 整 体 运 动 是 其 中 所 有 分 子的 一 种 有 规 则 运 动 的 表 现 。1） 温 度 是 分 子 平 均 平 动 动 能 的 量 度 （ 反 映 热运 动 的 剧 烈 程 度 ） k T 注 意2） 温 度 是 大 量 分 子 的 集 体 表 现 ， 个 别 分 子 无 意 义2k 1 32 2m kT v 第 九 章 气 体 动 理 论 例 9.4-1 试 证 理 想 气 体 的 道 尔 顿 分 压 定 律 ： 在 一 定 温 度下 ， 混 和 气 体 的 总 压 强 ， 等 于 相 混 和 的 各 种 气 体 的 分压 强 之

20、和 p1 + p2 + p3 +证 ： 设 给 定 的 容 器 中 装 有 几 种 气 体 ，其 分 子 数 密 度 分 别 为 1 2 1 2N Nn n nV 则 单 位 体 积 中 总 分 子 数 密 度 为 ：1 21 2, ,N Nn nV V 第 九 章 气 体 动 理 论 在 同 一 温 度 下 ， 分 子 的 平 均 平 动 动 能 为 ：2k 1 32 2m kT v 与 气 体 种 类 无 关由 气 体 压 强 公 式 可 得 总 压 强 为 ： k23p n道 尔 顿 分 压 定 律 ， 与 试 验 结 果 相 一 致 。21 22 1( )( )3 2n n m v2

21、21 2 1 22 1 2 1( ) ( )3 2 3 2n m n m p p v v 第 九 章 气 体 动 理 论 第 九 章 气 体 动 理 论 9 .5 .1 自 由 度自 由 度 ： 确 定 一 个 物 体 在 空 间 的 位 置 时 ， 需 要 引 入 的独 立 坐 标 的 数 目 ， 用 符 号 i 表 示 。( x, y, z )单 原 子 分 子平 动 自 由 度 ： t = 3 三 个 平 动 自 由 度 ， 两 个 转 动自 由 度 ： t = 3 ， r = 2x yz刚 性 双 原 子 分 子O C bg ( x, y, z ) 第 九 章 气 体 动 理 论三 个

22、 平 动 自 由 度 ， 三 个 转 动自 由 度 ： t = 3 ， r = 3刚 性 多 原 子 分 子x y zO 注 意 ： 一 般 在 常 温 下 ，气 体 分 子 都 近 似 看 成 是刚 性 分 子 ， 振 动 自 由 度可 以 不 考 虑 。j 第 九 章 气 体 动 理 论 i t r 平动 转动刚 性 分 子 的 自 由 度单 原 子 分 子 3 0 3双 原 子 分 子 3 2 5多 原 子 分 子 3 3 6t r i分 子 自 由 度 平 动 转 动 总小 结 ： 刚 性 分 子 的 自 由 度 第 九 章 气 体 动 理 论 理 想 气 体 的 内 能 ： 分 子

23、热 运 动 的 动 能 之 和 .2 2i iE N NkT RT mol 理 想 气 体 的 内 能 气 体 处 于 平 衡 态 时 ， 分 子 任 何 一 个 自 由 度 的 平 均 能 量都 相 等 ， 均 为 ， 这 就 是 能 量 按 自 由 度 均 分 定 理 .12kT 分 子 的 平 均 能 量 2i kT 9 .5 .2 能 量 均 分 定 理9 .5 .3 理 想 气 体 的 内 能 第 九 章 气 体 动 理 论 解 ： 当 容 器 突 然 停 止 时 ， 气 体 分子 作 定 向 运 动 的 动 能 通 过 碰 撞 转化 为 分 子 热 运 动 的 动 能 ， 气 体

24、温度 就 升 高 了 ， 即212 2im R T v2 2 3 22 10 100 0.481k5 8.31m MT i R iR v v 又 V 不 变 ， 故 压 强 增 大mpV R TM 3 3 34100 10 8.31 0.4812 10 10 102 10 Pamp R TMV 例 9 .5 -2 一 绝 热 密 封 容 器 体 积 为 1 0 -3 m3 ， 以 1 0 0 m/s 的 速度 匀 速 直 线 运 动 ， 容 器 内 有 1 0 0 g的 氢 气 ， 当 容 器 突 然 停止 时 氢 气 的 温 度 、 压 强 各 增 加 多 少 ？ mpV RTM由 第 九

25、章 气 体 动 理 论 第 九 章 气 体 动 理 论 具 有 各 种 速 率 的 分 子 数 各 占 总 分 子 数 的 百 分 比 为 多少 ， 这 种 说 明 方 法 就 叫 给 出 分 子 按 速 率 的 分 布 。设 总 分 子 数 N， 其 中 速 率 分 布 在 v v+dv 速 率 区 间内 的 分 子 数 dNv 表 示 ： 速 率 在 v 附 近 的 单位 速 率 区 间 内 的 分 子 数 占总 分 子 数 的 百 分 比 。1 . 将 分 子 按 照 速 率 区 间 进 行 分 组dNN v 速 率 分 布 函 数表 示 ： 速 率 在 v 附 近 的 dv速 率 区

26、间 内 的 分 子 数 占 总分 子 数 的 百 分 比 。 ( )df v v 9 .6 .1 速 率 分 布 函 数 第 九 章 气 体 动 理 论分 子 速 率 分 布 的 概 率 密 度 d ( )dN fN v v v用 “ 概 率 ” 来 解 释dNNv 一 个 分 子 的 速 率 在 v 附 近 dv 区 间 内 的 概 率f (v) 一 个 分 子 的 速 率 在 v 附 近 单 位 速 率 区 间 内的 概 率 0 0d ( )d 1N N fN v v v 归 一 化 条 件对 所 有 速 率 区 间 ( )进 行 积 分 ， 即0概 率 意 义 ： 分 子 速 率 的 概

27、 率 密 度 对 所 有 可 能 的 速 率 积 分 就 是 一个 分 子 具 有 不 管 什 么 速 率 的 概 率 即 分 子 速 率 的 总 概 率 （ = 1 ） 。 第 九 章 气 体 动 理 论 9 .6 .2 麦 克 斯 韦 速 率 分 布麦 克 斯 韦 速 率 分 布 律 ： 在 平 衡 态 下 ， 气 体分 子 速 率 在 v 到 v + dv 区 间 内 的 分 子 数 占总 分 子 数 的 百 分 比 为 ： 23/2 2 /2d 4 d2 m kTN m eN kT vv v v麦 克 斯 韦 速 率 分 布 函 数 23/2 2 /2( ) 4 2 m kTmf ek

28、T vv v 一 、 麦 克 斯 韦 速 率 分 布 函 数 与 分 子 质 量 和温 度 有 关麦 克 斯 韦 第 九 章 气 体 动 理 论 N ： 分 子 总 数 为 速 率 在 区 间 的 分 子 数 。dN d v v vd( ) dNf Nv vO vv dv vdSd d ( )d NS f N v v 表 示 速 率 在 区 间 的 分 子数 占 总 数 的 百 分 比 。 d v v v 二 、 麦 克 斯 韦 速 率 分 布 曲 线 第 九 章 气 体 动 理 论 曲 线 下 的 总 面 积 曲 线 下 所 有 窄 条 矩 形 面 积 的 总 和 0 ( )d 1f v v

29、dd NS S N v( )f vO v dv vdS d ( )d dN f SN v v 曲 线 从 坐 标 原 点 出 发 ， 随 速 率 增 大 开 始 上 升 ， 经 过一 个 极 大 值 后 下 降 ， 并 渐 近 于 横 坐 标 轴 。 这 表 明 气 体 分子 速 率 可 取 大 于 零 的 一 切 可 能 的 有 限 值 。 曲 线 的 特 征 第 九 章 气 体 动 理 论 一 、 平 均 速 率 v 0d dN NN N vv v 0 ( )df v v v8 1.60RT RTM M v d ( )dN fN v v8kTm9 .6 .3 三 种 速 率二 、 方 均

30、根 速 率 2v 20 ( )df v v v22 0 dNN vv 3kTm2rms 3 3 1.73kT RT RTm M M v v 第 九 章 气 体 动 理 论 v ( )f vOpv三 、 最 概 然 速 率 pd ( ) 0df v vvvp 2 1.41kT kTm m v p 1.41 RTM v A A,M mN R N k 根 据 分 布 函 数 求 得 气 体 在 一 定 温 度 下 分 布 在 最概 然 速 率 附 近 单 位 速 率 间隔 内 的 相 对 分 子 数 最 多 。pv maxf pv 2p v v v 第 九 章 气 体 动 理 论同 一 温 度 下

31、不 同 气 体的 速 率 分 布 v ( )f voN2 分 子 在 不 同 温 度 下 的速 率 分 布p1v p2v v( )f vo p 2RTMv 2H2O 2pOv 2pHv 1 300KT 2 1200KT 麦 克 斯 韦 速 率 分 布 曲 线 的 变 化 第 九 章 气 体 动 理 论 第 九 章 气 体 动 理 论 对 于 重 力 场 中 的 气 体 分 子 ， 分 子 按 空 间 位 置 的 分 布 规 律玻 耳 兹 曼 分 布 zzz+dz p+dpp 在 重 力 场 中 ， 等 温 气 体 的 压 强 随 高 度 的 变 化由 力 平 衡 条 件 有 ：( d ) (

32、) dp p z g z p d ( ) dp z g z 0 0d dp zp p mg zp kT 0( ) exp( )mgp z p zkT Nm nmV p nkTpmkT 得0 ( )n n z 第 九 章 气 体 动 理 论 0( ) exp( )mgn z n zkT p0exp( )En n kT p( )mgz E z分 子 按 势 能 的 分 布玻 尔 兹 曼 分 布 是 一 个 重 要 的 统 计 规 律 ， 对 物 质 微 粒在 各 种 保 守 力 场 中 的 运 动 情 形 都 适 用 。zzz+dz p+dpp 第 九 章 气 体 动 理 论 第 九 章 气 体

33、动 理 论 热 运 动 分 子 之 间分 子 的 运 动 路 径频 繁 碰 撞曲 折 复 杂 第 九 章 气 体 动 理 论简 化 模 型1. 分 子 为 刚 性 小 球 ；2. 分 子 有 效 直 径 为 （ 分 子 间 距 平 均 值 ） ；d 分 子 平 均 自 由 程 ： 每 两 次 连 续 碰 撞 之 间 ， 一个 分 子 自 由 运 动 的 平 均 路 程 。 分 子 平 均 碰 撞 频 率 ： 单 位 时 间 内 一 个 分 子 和其 它 分 子 碰 撞 的 平 均 次 数 。z 平 均 自 由 程 分 子 平 均 速 率z v v 1z 平 均 自 由飞 行 时 间3. 其 它

34、 分 子 静 止 ， 某 一 分 子 以 平 均 速 率 相 对 其 他 分 子 运 动 u 第 九 章 气 体 动 理 论 第 九 章 气 体 动 理 论单 位 时 间 内 平 均 碰 撞 次 数 2z d un 曲 折 圆 柱 体 的 体 积 ： 2d u t 平 均 碰 撞 次 数 ： 2d u tn 第 九 章 气 体 动 理 论 分 子 平 均 碰 撞 频 率22z d n v 平 均 自 由 程 212z d n vp nkT 22kTd p 一 定 时 1p 一 定 时 T pT 2z d un考 虑 其 他 分 子 的 运 动 2u v 第 九 章 气 体 动 理 论22kTd p 23 81 10 2 51.38 10 273 m 6.9 10 m2 (3.50 10 ) 1.013 10 232 10 2 41.38 10 273 m 52m2 (3.50 10 ) 1.333 10 例 试 估 计 下 列 两 种 情 况 下 空 气 分 子 的 平 均 自 由 程 ：(1 ) 2 7 3 K、 时 ； (2 ) 2 7 3 K、 时 。 51.013 10 Pa 41.333 10 Pa （ 空 气 分 子 有 效 直 径 ： ）103.50 10 md 解 ：