22.向量的正交标准正交基

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1、矩矩 阵阵 论论 电电 子子 教教 程程Department of Mathematics1Department of Mathematics内内内内 积积积积 空空空空 间间间间第第第第 二二二二 章章章章2Department of Mathematics教教 学学 内内 容容 和和 基基 本本 要要 求求1.理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系.3.理解酋空间的概念，会判定空间是否酋空间的方法，理解酋空间的概念，会判定空间是否酋空间的方法，2.了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交

2、变换的判定 方法方法.4.掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质 重点重点:内积空间的概念；内积空间的概念；正交基及子空间的正交关系正交基及子空间的正交关系难点难点:正交变换的判定方法正交变换的判定方法3Department of Mathematics定义定义2：长度为长度为1的向量称为的向量称为单位向量，单位向量，对于任何对于任何 一个非零的向量一个非零的向量 ，向量，向量 总是单位向量，称此过程为总是单位向量，称此过程为单位化单位化。一一,向量的正交与标准正交基向量的正交与标准正交基2.2 向量的正交标准正交基向量的正交标准正交基定义定义1：在酉空间在酉空间

3、 中，如果中，如果 ，则称，则称 与与 正交。记为正交。记为:4Department of Mathematics定义定义3：设设 为一组不含有零向量的向量组，如果为一组不含有零向量的向量组，如果 内的任意两个向量彼此正交，则称其为内的任意两个向量彼此正交，则称其为正交的向量组。正交的向量组。定义定义4：如果一个正交向量组中任何一个向量都是单如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为位向量，则称此向量组为标准的正交向量组。标准的正交向量组。例例1 在在 中向量组中向量组都是标准正交向量组都是标准正交向量组5Department of Mathematics定理定理1:标准正交

4、向量组必为线性无关向量组标准正交向量组必为线性无关向量组证明证明:设设 为标准正交向量组为标准正交向量组,即即:令令:,并和并和 做内积做内积:即即 线性无关线性无关,所以所以,是线性无关组是线性无关组6Department of Mathematics 维欧氏维欧氏(酉酉)空间中，由空间中，由 个向量构成的正交向个向量构成的正交向量组量组称为称为正交基正交基；由单位向量构成的正交基称为由单位向量构成的正交基称为标准正交基标准正交基.注：注：由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基正交基.定义定义5：（正交与标准正交基的定义）正交与标准正交基的定义

5、）维欧氏维欧氏(酉酉)空间空间V中的一组基中的一组基 为标准正交基为标准正交基(1)7Department of Mathematics定义定义6：设设 为一个为一个 阶复矩阵，如果其满足阶复矩阵，如果其满足则称则称 是是酉矩阵酉矩阵，一般记为，一般记为定义定义7：设设 为一个为一个 阶实矩阵，如果其满足阶实矩阵，如果其满足则称则称 是是正交矩阵正交矩阵，一般记为，一般记为 二二.酉矩阵正交矩阵酉矩阵正交矩阵8Department of Mathematics例例2.是一个正交矩阵是一个正交矩阵9Department of Mathematics是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个正交矩阵是一个

6、正交矩阵10Department of Mathematics酉矩阵与正交矩阵的性质：酉矩阵与正交矩阵的性质：设设 ，那么，那么11Department of Mathematics证明证明5:设设 是是 的特征值的特征值,则存在则存在 使得使得:12Department of Mathematics证明证明6:设设 ,由由 知知:所以所以,13Department of Mathematics这里这里(ii)(i)设设有有定理定理1 设设V是是 维欧氏维欧氏(酉酉)空间空间 为为V的一组标准正交基，则的一组标准正交基，则证明证明:因为因为14Department of Mathematics

7、定理定理2:维欧氏维欧氏(酉酉)空间空间V中的一组基中的一组基 为标准正交为标准正交基基当且仅当其度量矩阵当且仅当其度量矩阵 证明证明:不妨设不妨设 是酉空间是酉空间,为为 两组基两组基,为过渡矩阵为过渡矩阵,则有定理知则有定理知:推论推论:设设 为为酉酉(欧氏欧氏)空间空间,为为 的两组标准正交基的两组标准正交基,为过渡矩阵为过渡矩阵,在两组基下的坐标分别为在两组基下的坐标分别为 ,则则:15Department of Mathematics(定理定理1)维欧氏维欧氏(酉酉)空间中任一个正交向量组空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基都能扩充成一组正交基.三三.标准正交基的构造标准正交基

8、的构造 施密特施密特(Schmidt)正交化过程正交化过程 (定理定理2)设设 欧氏欧氏(酉酉)空间空间 的线性无关的线性无关组组,则在则在 中存在正交向量组中存在正交向量组 ,且且其中其中:为单位上三角阵为单位上三角阵.16Department of MathematicsSchmidt正交化过程正交化过程:化成正交向量组化成正交向量组先把线性无关的向量组先把线性无关的向量组17Department of Mathematics再单位化得标准正交向量组再单位化得标准正交向量组不难证明不难证明:是是V中正交向量中正交向量18Department of Mathematics例例1.把把 变成单

9、位正交的向量组变成单位正交的向量组.解：解：令令正交化正交化19Department of Mathematics再单位化再单位化即为所求即为所求20Department of Mathematics例例2.在在 中定义内积为中定义内积为 求求 的一组标准正交基的一组标准正交基(由基由基 出发作正交化出发作正交化)解解:取取正交化正交化21Department of Mathematics单位化单位化22Department of Mathematics于是得于是得 的标准正交基的标准正交基23Department of Mathematics由公式（由公式（3），有），有（7）把把A按列分块为按列分块为由（由（7）有）有（8）24Department of Mathematics25