2复平面上的点集

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1、一一.复平面上的曲线复平面上的曲线1.2 1.2 复变函数复变函数二二.平面点集的几个基本概念平面点集的几个基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院珞珈学院三三.复变函数的概念复变函数的概念1一一.复平面上的曲线复平面上的曲线1.1.复平面上的参数曲线复平面上的参数曲线 是实参变量实值函数，是实参变量实值函数，它们确定实平面上的一参数曲线它们确定实平面上的一参数曲线C；称称是是曲线曲线C的复表示式的复表示式，也称为，也称为复平面上的参数曲线复平面上的参数曲线C，及及 分别称为分别称为 C的端点的端点。若若 在在 上连续可微，且上连续可微，且则称曲线则称曲线C为为光滑曲线光滑曲线。1

2、.2 1.2 复平面上的点集复平面上的点集机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院珞珈学院2若有限段光滑曲线若有限段光滑曲线C1,C2,C n依次相接所得的连续曲线依次相接所得的连续曲线C若若 当当 成立时成立时，则称则称 为曲线为曲线C的一个的一个重合点重合点或或重点重点。称为称为分段光滑曲线分段光滑曲线，记为，记为C=C1+C2+Cn。若曲线若曲线C是无重点的连续曲线是无重点的连续曲线，则称则称 C 为为简单曲线简单曲线,也称为也称为Jordan(约当约当)曲线；曲线；称称 的简单曲线为的简单曲线为简单闭曲线简单闭曲线或或 Jordan 闭曲线闭曲线。机动 目录 上页 下页 返回 结束

3、 珞珈学院珞珈学院31.曲线的表示曲线的表示(1)参数方程参数方程实形式实形式复形式复形式例例1.2.1xyOa当当 时时,有有 ，所以曲线所以曲线 C 有重点有重点 。机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院珞珈学院4(2)(2)直角坐标方程直角坐标方程实形式实形式复形式复形式解解 令令 ，则将则将代入双曲线方程得代入双曲线方程得化简得双曲线的复方程化简得双曲线的复方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.2.21.2.2求其复方程。求其复方程。设双曲线方程设双曲线方程珞珈学院珞珈学院5例例1.2.31.2.3 求以求以z0为圆心为圆心,以以R为半径的圆周的曲线方程。为半径的圆周的

4、曲线方程。（1）直角坐标方程：直角坐标方程：实方程：实方程：复方程：复方程：（2）参数方程参数方程实方程：实方程：复方程：复方程：机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院珞珈学院6JordanJordan定理定理平面上的任意一条平面上的任意一条简单闭曲线简单闭曲线将平面分成两个无公共点将平面分成两个无公共点且共边界的区域。且共边界的区域。机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院珞珈学院平面上的任意一条平面上的任意一条两端无限延伸的简单曲线两端无限延伸的简单曲线将平面分成将平面分成两个无公共点且共边界的区域。两个无公共点且共边界的区域。7二二.平面点集的几个基本概念平面点集的几个基本概念

5、1.1.邻域，空心邻域邻域，空心邻域对于对于所确定的平面点集所确定的平面点集,称为以称为以z0 0为中心的为中心的 邻域邻域或或邻域邻域；所确定的平面点集所确定的平面点集,称为以称为以z0 0为中心的为中心的 空心邻域空心邻域 或或空心邻域空心邻域。机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院珞珈学院82.2.内点内点,外点外点对任意对任意 z0属于属于D,若存在若存在N(z0,),使该邻域内的所有点使该邻域内的所有点都属于都属于D,则称则称 z0是是D的的内点内点。外点外点D内点内点若存在若存在N(z0,)，使该邻域内的所有，使该邻域内的所有点都不属于点都不属于D,则称则称 z0是是D的的外

6、点外点。3.3.边界点边界点,边界边界 已知点已知点z属于属于C，若点，若点z的任何邻的任何邻域中都包含域中都包含 D中的点及不属于中的点及不属于D的点的点,则称则称 z 是是D的的边界点边界点。z边界点边界点D的全体边界点集称为的全体边界点集称为D的的边界边界。记为。记为 。机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院珞珈学院95.5.连通集连通集设设D是复平面上的点集是复平面上的点集,P1、P2 是是D中任意两点，若中任意两点，若可以用以可以用以P1、P2为端点且位于为端点且位于D内的折线连接起来，内的折线连接起来，则称集合则称集合D为为连通集连通集。4.4.开集开集若平面点集若平面点集D

7、内的每一点都是内点，则称内的每一点都是内点，则称D是是开集开集。内点内点6.6.区域区域若若D是连通的开集是连通的开集,则称则称 D是是区域区域。区域区域D与它的边界与它的边界 一起构成一起构成闭区域闭区域。机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院珞珈学院107.7.单连通区域，多连通区域单连通区域，多连通区域设设D是区域或闭区域是区域或闭区域,若在若在D内任作一条简单闭曲线内任作一条简单闭曲线,单连通区域单连通区域它的内部区域总是含于它的内部区域总是含于D内部内部,则称则称D是是单连通区域单连通区域；否则称否则称D是是多连通区域多连通区域。多连通区域多连通区域机动 目录 上页 下页 返回

8、 结束 珞珈学院珞珈学院118.8.有界集有界集,无界集无界集若存在若存在 ,对任意对任意 z D,均有均有则称则称D是是有界集有界集；否则是；否则是无界集无界集。OxyR有界区域有界区域Oxy无界区域无界区域机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院珞珈学院12例例1.2.4 指出不等式指出不等式 所所确定的区域确定的区域,并作图并作图;说明它是否有界说明它是否有界?是单连通还是多连通？是单连通还是多连通？解解 先讨论边界先讨论边界曲线曲线 。几何轨迹方法：几何轨迹方法：之差为之差为1.2的轨迹的轨迹,这是这是以以 和和 为焦点为焦点,实半实半0.8的双曲线下半支。的双曲线下半支。轴长为轴

9、长为0.6,虚半轴长为虚半轴长为此曲线是动点此曲线是动点 到两定点到两定点 的距离的距离代数方法代数方法:xyO令令 ,代入方程代入方程 ,并整理得并整理得机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院珞珈学院13再讨论区域再讨论区域分为两个不相交且以此曲线为公共边界的区域分为两个不相交且以此曲线为公共边界的区域,取不在取不在由由Jordan定理可知，曲线定理可知，曲线 将复平面将复平面曲线上的点曲线上的点 ,代入不等式得，代入不等式得，这是一个单连通无界区域。这是一个单连通无界区域。所以所以 所在的区域为所求的所在的区域为所求的xyO 区域，即下半支双曲线的上方。区域，即下半支双曲线的上方。机

10、动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院珞珈学院14三三.复变函数的概念复变函数的概念1.1.复变函数复变函数设设 是复平面上的非空集合，存在是复平面上的非空集合，存在 对应规则对应规则 使得使得与之对应，记为与之对应，记为 ，则称，则称注注 若对若对 ,对应唯一对应唯一 值，则称值，则称 是是单值函数单值函数；若存在若存在 对应多个对应多个 值，则称值，则称 是是多值函数多值函数。今后若无特别声明，所讨论的函数均为单值函数。今后若无特别声明，所讨论的函数均为单值函数。是复变数是复变数 的函数的函数(简称为简称为复变函数复变函数)，称，称 为为复复变变函数函数 的的定义域定义域，称，称为为

11、的的值域值域，称，称 为为自变量自变量，称，称 为为因变量因变量。珞珈学院珞珈学院152.2.复变函数与实二元函数的联系复变函数与实二元函数的联系设设则则所以所以例例1.2.51.2.5设设则则珞珈学院珞珈学院16例例1.2.6 1.2.6 设设代入代入整理化简得整理化简得解解设设则则珞珈学院珞珈学院173.3.映射映射在几何上，在几何上，复变函数复变函数w=f(z)可以看作可以看作：定义域定义域oxy(z)Dzouv(w)D*w=f(z)w 函数值域函数值域称称 为为 的的象象或或映象映象，而称而称 为为 的的原象原象。(z 平面平面)(w平面平面)的映射的映射珞珈学院珞珈学院18复变函数的

12、几何意义是一个映射（变换）复变函数的几何意义是一个映射（变换）A 在复变函数中用两个复平面上点集之间在复变函数中用两个复平面上点集之间A 以下不再区分函数与映射（变换）。以下不再区分函数与映射（变换）。直观直观.和理解复变函数问题时和理解复变函数问题时,可借助于几何可借助于几何(u，v)之间的对应关系，以便在研究之间的对应关系，以便在研究 的对应关系来表达两对变量的对应关系来表达两对变量(x，y)与与珞珈学院珞珈学院19例例1.2.71.2.7解解 关于实轴对称的一个映关于实轴对称的一个映射射机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxy(z)uv(w)o图图1-1x、uy、v(z)、(w)o图图

13、1-2见图见图1-11-2珞珈学院珞珈学院20 x、uy、v(z)、(w)o图图2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.2.8解解 旋转变换旋转变换(映射映射)见图见图2珞珈学院珞珈学院21例例1.2.9oxy(z)ouv(w)珞珈学院珞珈学院22oxy(z)ouv(w)R=2R=4图图3机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院珞珈学院23例例1.2.10 设设 z=w2,则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射。的反函数或逆映射。为多值函数为多值函数,2支支。4.4.反函数与逆映射反函数与逆映射 设设 w=f(z)的定义集合为的定义集合为D,函数的值域函数的值域 f(D)=D*机动

14、目录 上页 下页 返回 结束 则称则称 为为w=f(z)的反函数的反函数(逆映射逆映射)。珞珈学院珞珈学院24练习练习1 已知映射已知映射w=z3,求区域求区域 0 arg z 在平面在平面w 上的象上的象。练习练习2机动 目录 上页 下页 返回 结束 当函数（映射）当函数（映射）和其反函数（逆映射）和其反函数（逆映射）都是单值的，则称函数（映射）是都是单值的，则称函数（映射）是一一一一的，也称集合的，也称集合D和和D*是是一一对应一一对应的。的。珞珈学院珞珈学院25 作业作业 P 27 1.3.1(a)(c)(g);1.3.2(a)(c);1.4.3;1.4.4;机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院珞珈学院26再再 见见 ！机动 目录 上页 下页 返回 结束 珞珈学院珞珈学院27