《线性代数》模拟试卷卷

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1、厦门大学网络教育 2008-2009学年第一学期线性代数模拟试卷（ A ）卷一、单项选择题（每小题3 分，共24分）2.a2a0a a1211右 1112 = 6，则a2a0a a222121 220-21A. 12;B.12;的值为（1.C. 18；设 A、 B 为同阶方阵，则下面各项正确的是 （).).D. 0.A.若 AB = 0,贝U A = 0 或 B = 0 ；B.若 |AB = 0，则 |A| = 0 或 B = 0 ；C. A2 - B2 = (A - B)(A + B)；D.若 A、B 均可逆，则(AB)-1 = A_iB-1.3.（1若方程组2,3(x )1x2Ix丿3=0

2、的基础解系含有两个解向量，则（ 0丿).4.A2;已知方程组Ax = b对应的齐次方程组为Ax = 0 ,).5.ABCDB4；C6；D8.则下列命题正确的是若Ax = 0只有零解，则Ax = b 一定有唯一解;若Ax = 0有非零解，则Ax = b 一定有无穷解;若Ax = b有无穷解，则Ax = 0 一定有非零解;若Ax = b有无穷解，则Ax = 0 一定只有零解.设u , u是非齐次线性方程组Ax = b的两个解,2则以下结论正确的是).Au + u是Ax = b的解;12B. u u 是 Ax = b 的解;12Cku是Ax = b的解（k丰1 ）；1Du -u 是 Ax =0的解.

3、126.设a ,a ,a线性相关，则以下结论正确的是（）.123A. a , a 一定线性相关;B. a , a 一定线性相关1 2 1 3C. a , a 一定线性无关;使得 k a + k a + k a 二 0.11 2 2 3 3_2 0 0_2 0 0 _7. 若 A =0 0 1与B =0 1 001 x0 0 -1D.存在不全为零的数k ,k ,k123相似，则x =(A-1；B0；).C1；D2.& 二次型 f(x,x,x)二 X2 + 3x2 + 3x2 + 12x x 是().1231232 3A. 正定的； B. 半正定的； C. 负定的； D. 不定的.二、填空题(每小

4、题 4分，共 24 分)8021. 设 A =020，A *为A的伴随矩阵，则A *3012.非齐次线性方程组Amxnx = b有唯一解的充分必要条件是x + x + 2 x = 11233. 设方程组 x + x = 2，当a取时，方程组无解.135 x + 3 x + (a + 8) x = 81234. 设向量组a = (1,-3,k)，a = (1,0,0)，a = (1,3,-2)线性相关，则k =1235. 二次型 f (x , x , x ) = x 2 + x 2 + 5x 2 + 2tx x 一 2x x + 4x x 为正定二次型，则 t1231231 21 32 3的取值

5、范围是.6. 3阶方阵A的特征值分别为1, -2，3,则(A2)-1的特征值为.三、计算题(共38分).31-1251341-(10分)计算行列式D =201-11-5 3-33、1的逆矩阵A -1.3 J1 22. (10 分)求 A = 2 23 43. (10 分)求向量组a = (2,1,1,1),a = (-1,1,7,10),a = (3,1,-1,-2),a = (8,5,9,11)的1234一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.1 1 14. (8分)已知A = 1 3 -1 ,求A的特征值.1 1 1四、证明题(每小题 7分,共 14 分).1. 设列矩

6、阵X二(x ,x ,x)T满足XtX二1, E为n阶单位阵，H二E 2XXt,12 n证明：H是对称阵，且HHt = E.2. 证明二次型 f 二5x2 6y2 4z2 + 4xy + 4xz 是负定的.答案：. 1. A2. Ba2a01211a2aa2a0(1)12c 112221a2a0 2 122 21由矩阵的理论可得选项Baaaa212112 1112 12aaaa222121223. C基础解系含有两个解向量二3- r(A) = 2 n r(A) = 1,12 3、1 23、A2 4 tT00 t 6 0，= 1 12 01 v t V 1，t 11|A| = t1142 = 5

7、2t 2t 1 5t 2 4 05t 2 + 4t 0 t 05116.丁，A的特征值为1， -2， 3， A2的特征值为1， 4， 9,4911(A2)-1的特征值为1,4,9三 1解：131213121312c o c1 21534 r 2r10846 r + 5r-A108460211021102115133513301627131213121312r or 0q3211r + 4r20211r 8r -420211084600810008100162701627001015D13210r + r48 210=1X 2 X 8 X 5 = 402解法 1：|A| = 2丰0，知A可逆。经

8、计算可得:A = 2, A = 6, A = 4， A = 3,A = 6,A 1132= 5, A = 2, A = 2, A = 2.23 3313_ AAA 一一 264_112131AAA=365122232AAA2221323331-21311222264A*2因此 A1A*LAI =3632r 一 (2) (10解法 2：r 123100 r 2rr123100 E )=2210102102521043001 ,r 3r、026301,1r + rr102110 r 2rr100132、1213025210020365r r、001111,r 5 r、001111 ,322 所以A

9、-1 =3233解：_ 2138 -1115 -r 2r0 11115 _1115r吕r12T213821T031217191719r r31r r410624110211110211_0936 _A =413111510111533r + 2r32T3r + 3r42r 一 (3)2T1_3r r12T13因此ai，a 2,a的一个极大线性无关组,41且 a 二 a a a 二33 13 2413a +13九-111九-111九-110I 九 E A l=1九-31=0九-22-九=0九-20=(九-1)(九-2)211九一11 1九一111 九一24.解：矩阵A的特征多项式为32所以A的特征值为.X1二1,九2二2-四.=E 2XXt = H，所以H是对称阵。1.证明：Ht 二(E 2XXt)t 二 Et 2(XXt)tHHt 二 H2 二(E 2XXt)2 二 E 4XXt + 4(XXt)(XXt)二 E 4XXt + 4X(XtX)Xt 二 E 4XXt + 4XXt = E5222.证明：f的矩阵是A =2601 20-4 Jaa52A的各阶主子式为：a=5 0 ,11a21a2226A - (一5)(-6)(-4)一2-(一6)-2一2-2-(4) = _80 0。所以 f 是负定的。