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1、2022-2023学年广东省东莞市高一下学期第二次检测数学试题一、单选题1已知复数满足，则（）ABCD【答案】A【分析】利用复数的乘法化简复数，利用共轭复数的定义可得出.【详解】由已知可得，因此，.故选：A.2在中，已知，则角的度数为（）ABC或D【答案】B【分析】根据大边对大角得到角，利用正弦定理求得，结合角的范围求得角的度数.【详解】由，得，于是，由正弦定理得，故选：B.3某学校高一年级有300名男生，200名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为50，男生平均成绩为120分，女生平均成绩为110分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（）A110分B115分C
2、116分D120分【答案】C【分析】根据分层抽样求出应抽取男生和女生的人数，求出平均数即可.【详解】由题意，应抽取男生（人），应抽取女生（人），所以推测高一年级学生的数学平均成绩约为（分）故选：C4如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（）ABCD【答案】C【分析】将平移到与相交，求所成的角，即异面直线所成的角.【详解】正方体中，所以与所成的角即异面直线与所成的角，因为为正三角形，所以与所成的角为，所以异面直线与所成的角为.故选：C.5设为所在平面内一点，则（）ABCD【答案】A【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解作答.【详解】在中，.故选：A6若向量，则向量在向量上的投影向量为（
3、）AB（，）C（，）D（4，2）【答案】B【分析】根据向量的数量积及向量在向量上的投影向量计算即可.【详解】向量在向量上的投影向量为，故选：B7已知一个直三棱柱的高为1，如图，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则该三棱柱的表面积为（）ABCD【答案】C【分析】根据斜二测画法还原底面平面图，然后由直三棱柱的表面积公式可解.【详解】由斜二测画法还原底面平面图如图所示，其中，所以，所以此直三棱柱的底面积为，高为1，故直三棱柱表面积为.故选：C8在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑在鳖臑中平面BCD，且，则鳖臑外接球的表面积为（）ABCD【答案】C【分析】如图，取的中点为，
4、连接，可证为三棱锥外接球的球心，故可求外接球的表面积.【详解】如图，取的中点为，连接，因为平面BCD，平面，故，同理.因为的中点为，故.而，平面，故平面，而平面，故，故，所以为三棱锥外接球的球心，又，故，所以，故三棱锥外接球半径为，故其外接球的表面积为.故选：C.二、多选题9设直线、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，、不平行，则与不垂直【答案】CD【分析】根据选项中的已知条件，判断出面面位置关系，可判断ABC选项；利用反证法可判断D选项.【详解】对于A选项，若，则、平行或相交（不一定垂直），A错；对于B选项，若，则、平行或相交，B错；
5、对于C选项，若，则，故，C对；对于D选项，假设，又因为，则，这与题设矛盾，假设不成立，故与不垂直，D对.故选：CD.10已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）ABC若，则在复平面内对应的点位于第四象限D若（是虚数单位）是关于的方程的根，则【答案】AD【分析】利用复数的四则运算可判断A选项；利用任何两个虚数不能比较大小可判断B选项；利用复数的乘法化简复数，再利用复数的几何意义可判断C选项；利用韦达定理可判断D选项.【详解】对于A选项，A对；对于B选项，任何两个虚数都不能比较大小，B错；对于C选项，因为，所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限，C错；对于D选项，因为（是虚数单位）
6、是关于的方程的根，则该方程的另一个虚根为，由韦达定理可得，可得，因此，D对.故选：AD.11某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，5名女生的成绩分别为88，93，93，88，93下列说法一定正确的是（）A这种抽样方法是分层抽样B这5名男生成绩的20%分位数是87C这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差D该班男生成绩的平均数一定小于该班女生成绩的平均数【答案】BC【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及平均数、百分位数和方差的公式及样本与总体的关系逐项判断即可【详解】解
7、：由于抽样比不同，故不是分层抽样，故A错误，5名男生成绩的20%分位数是87，故B正确，5名男生成绩的平均数为，5名女生成绩的平均数为，5名男生成绩的方差为，5名女生成绩的方差为，由于从这五名学生的成绩得不出该班的男生成绩和女生成绩的平均分，故C正确，D错误.故选：BC12在中，内角，所对的边分别为，则下列说法正确的是（）A若，一定有B若，那么一定是钝角三角形C一定有成立D若，那么一定是等腰三角形【答案】ABC【分析】对于、根据正、余弦定理对边角进行合理转化，就可以判断. 对于、除了根据正、余弦定理对边角进行合理转化，还要结合两角和差以及二倍角公式进行验证.【详解】对于A项：因为在三角形中，所
8、以，根据正弦定理：，所以，所以正确；对于B项：因为，所以，故是钝角三角形，所以正确；对于C项：，根据正弦定理，所以正确；对于D项：，即，解得或，所以错误.故选：.三、填空题13总体是由编号为的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 .【答案】19【分析】根据随机数表选取编号的方法求解即可.【详解】随机数表第1行的第5列和第6列数字为15，则选取的5个个体依次为：15，故选出来的第5个个体的编号为19.故答案为:19.14已知向量，若，则实数k的值为 【答案】8【分析】根据向量的坐标
9、运算，结合平行满足的坐标关系即可求解.【详解】由题意可知，由可得，故答案为：815小赵想利用正弦定理的知识测量某钟塔的高度，他在该钟塔塔底点的正西处的点测得该钟塔塔顶点的仰角为，然后沿着东偏南的方向行进了后到达点（，三点处于同一水平面），且点在点北偏东方向上，则该钟塔的高度为 （参考数据：取）【答案】【分析】先利用正弦定理求出，再由锐角三角函数求出【详解】如图，则由正弦定理，得，所以故答案为：16如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的上底面上的一个动点（含边界），分别是棱，上的中点，有以下结论：在平面上的投影图形的面积为定值；平面截该正方体所得的截面图形是五边形；的最小值是；若保持，则点在上底
10、面内运动路径的长度为其中正确的是 .（填写所有正确结论的序号）【答案】【分析】根据正方体的性质，结合题意作出对应的图形，逐项进行分析验证即可判断.【详解】在平面上的投影图形为底为2高为2的三角形，故投影图形的面积为定值2，故正确；如图，取的四等分点，则，平面截该正方体所得的截面图形是，为四边形，故错误；如图，延长，使得，连接交上底面于点，则，当，三点共线时，其和最小为，且，的最小值是，故正确；如图，建立空间直角坐标系，则，即，化简得圆：，如图，点在上底面内运动路径的长度为劣弧，记为，故正确.故答案为：.四、解答题17已知复数，(1)若是纯虚数，求的值；(2)若复数在复平面内对应的点在直线上，求
11、a的值【答案】(1)；(2)或【分析】（1）求得，根据纯虚数的定义求得，再根据模长公式求解即可；（2）求得，从而可得，求解即可.【详解】（1）因为，要使是纯虚数，需满足，解得，所以，（2）因为，所以复数在复平面内对应的点为又因为复数在复平面内对应的点在直线上，所以整理得解得或故a的值为或182022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某校为了提高学生对体育运动的兴趣，举办了一场体育知识答题比赛活动，共有1000名学生参加了此次答题活动.为了解本次比赛的成绩，从中抽取了100名学生
12、的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这100名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组（单位：分），得到如下的频率分布直方图.(1)求图中的值，并估计此次竞赛活动学生得分的中位数；(2)根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖.（以每组中点作为该组数据的代表）【答案】(1)，中位数为82.5(2)，有520名学生获奖【分析】（1）根据频率和为1可求，利用频率为0.5时对应的横坐标可得中位数；（2）利用区间中点值估计平均数，结合得分不低于平均数的频率可得获奖人数.
13、【详解】（1）由频率分布直方图知：，解得，设此次竞赛活动学生得分的中位数为，因数据落在内的频率为0.4，落在内的频率为0.8，从而可得，由得：，所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为82.5.（2）由频率分布直方图及（1）知：数据落在，的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，此次竞赛活动学生得分不低于82的频率为，则，所以估计此次竞赛活动得分的平均值为82，在参赛的1000名学生中估计有520名学生获奖.19已知平面向量，满足，（）.(1)若向量，的夹角为，且，求的值；(2)若的最小值为，求向量，的夹角大小.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据得，展开求解即可.（2）对两边平方，求出最
14、小值即可求出向量，的夹角大小.【详解】（1）因为，所以，即 ，所以 ，代入，得，故 .（2）设，夹角为，由得，故当时，有最小值 ，由题意，解得，又，所以或.20已知的内角的对边分别为，向量，且.(1)求角A；(2)若的周长为，且外接圆的半径为1，判断的形状，并求的面积.【答案】(1)(2)等边三角形，【分析】（1）由，可得，后由正弦定理结合即可得答案；（2）由（1），的周长为，且外接圆的半径为1，可得，后由余弦定理可得，解出b,c即可得答案.【详解】（1）因为，所以，即.由正弦定理得，因为，所以.因为，所以，所以.因为，所以.（2）设外接圆的半径为，则.由正弦定理，得.因为的周长为，所以.由余
15、弦定理，得，即，所以.则.所以为等边三角形，的面积.21如图，已知三角形是等腰三角形，分别为，的中点，将沿折到的位置如图2，且，取线段的中点为.(1)求证：平面；(2)求点到面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形得，从而证得平面；（2）等积转化法，由求得点到面的距离.【详解】（1）证明：取中点，连接，为的中点，则， 又，分别为，的中点，则，四边形为平行四边形，则. 平面，平面，平面； （2）由条件知：，,，,又，面，面，又面，为直角三角形，；，为直角三角形. , ，点到面的距离为，设点到面的距离为，则，即，.22如图，四棱锥中，平面，过点作直
16、线的平行线交于为线段上一点(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）证明出AB平面PAD，由CFAB，得到CF平面PAD，故而得证；（2）作出辅助线，找到BED为平面与平面所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小即可.【详解】（1）因为平面，AB平面ABCD，所以PAAB，因为，所以AD，因为PAAD=A，平面PAD，所以AB平面PAD，因为CFAB，所以CF平面PAD，因为CF平面CFG，所以平面CFG平面PAD；（2）连结，过点B作BEPC于点E，连接DE，如图，平面，AD，AC平面ABCD，所以PAAD，PAAC，因为，由勾股定理得：，则ADB=30，同理可得，CDB=30，故ADC=60，所以三角形ACD为等边三角形，故，在BCP中，由余弦定理得：，则，在CDP中，由余弦定理得：，在CDE中，因为，所以DEPC，所以BED为平面与平面所成二面角的平面角，由余弦定理得：.
2022-2023学年广东省东莞市高一下学期第二次检测数学试题【含答案】
