流体力学四章节流体运动学

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1、流 体 力 学 退 出中 国 科 学 文 化 出 版 社 第 一 篇 流 体 力 学 基 础 绪 论 场 论 与 正 交 曲 线 坐 标 流 体 静 力 学 流 体 运 动 学第 一 章第 二 章第 三 章第 四 章 退 出 返 回 一 、 微 团 运 动 和 整 体 运 动 流 体 运 动 的 全 部 范 围 叫 “ 流 场 ” ， 经 过 管 道 或 明 渠 流 动 的 流 场 叫“ 通 道 流 场 ” 或 “ 径 流 流 场 ” ， 绕 过 物 体 流 动 的 流 场 叫 “ 绕 流 流 场 ” 。从 微 观 的 角 度 来 看 ， 充 满 流 场 的 是 流 体 的 分 子 。 但 流

2、 体 动 力 学 不 讨 论微 观 的 分 子 运 动 ， 只 讨 论 宏 观 的 质 点 和 微 团 运 动 。 所 谓 流 体 的 质 点 ，是 指 流 场 中 极 小 的 单 元 ， 在 这 个 单 元 中 流 体 的 运 动 参 量 是 相 同 的 。 严格 来 讲 ， 流 体 和 固 体 不 同 ， 由 于 流 体 分 子 之 间 的 作 用 力 较 固 体 小 ， 它占 有 一 定 的 空 间 ， 但 可 以 不 保 持 一 定 的 形 状 ， 并 可 以 互 相 移 位 ， 所 以运 动 中 的 流 体 ， 其 分 子 之 间 的 运 动 参 量 并 不 相 同 。 由 无 数

3、分 子 组 成 的流 体 质 点 其 参 量 也 不 会 相 同 ， 但 是 可 以 认 为 其 中 参 量 的 差 别 非 常 小 ，可 以 看 成 是 相 同 的 。 流 体 微 团 是 由 质 点 组 成 的 ， 其 中 质 点 的 流 动 参 量的 差 别 趋 于 微 量 ， 这 样 在 讨 论 流 场 中 参 量 变 化 规 律 时 ， 从 微 团 出 发 便于 进 行 数 学 处 理 。 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 一 节 流 体 运 动 的 描 述 第 1页 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 一 节 流 体 运 动 的 描 述 第 2页流

4、 场 的 整 体 运 动 由 许 许 多 多 的 微 团 运 动 所 组 成 ， 各 个 微 团 的 流 动 参 量 并 不相 同 ， 因 此 在 整 体 运 动 中 各 处 的 运 动 参 量 是 不 同 的 ， 而 且 相 当 复 杂 。 流 体动 力 学 的 基 本 理 论 都 是 从 流 体 微 团 运 动 出 发 而 推 导 出 来 的 。 对 于 整 体 运 动 ，采 用 参 量 的 平 均 值 （ 如 平 均 流 速 、 平 均 密 度 等 ） 来 描 述 ， 并 加 以 必 要 的 修正 ， 然 后 通 过 试 验 验 证 ， 最 后 用 于 指 导 实 践 。 计 算 流 体

5、 力 学 则 是 通 过 数 值计 算 途 径 直 接 将 微 团 理 论 应 用 到 整 体 运 动 中 ， 解 决 整 体 运 动 的 各 种 计 算 问题 。二 、 研 究 流 体 运 动 的 两 种 方 法在 描 述 流 体 质 点 运 动 时 ， 通 常 采 用 两 种 方 法 。 一 种 叫 拉 格 朗 日 法 ， 一 种 叫欧 拉 法 。 按 笛 卡 尔 正 交 坐 标 系 统 特 性 ， 两 者 区 别 如 下 ：（ 一 ） 拉 格 朗 日 法拉 格 朗 日 法 是 研 究 流 场 内 个 别 流 体 质 点 在 不 同 时 刻 其 位 置 、 流 速 、 压 力 的变 化 。

6、 也 就 是 用 不 同 质 点 的 运 动 参 量 随 时 间 的 变 化 来 描 述 流 体 的 运 动 。 用这 种 方 法 可 以 表 示 和 了 解 流 体 个 别 质 点 的 各 种 参 量 随 时 间 的 变 化 情 况 。 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 一 节 流 体 运 动 的 描 述 第 3页因 为 拉 格 朗 日 法 描 述 每 一 个 流 体 质 点 的 运 动 ， 所 以 必 须 把 流 场 中 连 续 存在 的 质 点 加 以 区 别 。 取 某 一 起 始 时 刻 时 质 点 的 空 间 坐 标 位 置 （ a， b，c） 作 为 区 别 该

7、 质 点 的 标 识 ， 称 为 拉 格 朗 日 变 数 。 质 点 在 流 场 中 是 连 续 存在 的 ， 所 以 拉 格 朗 日 变 数 在 坐 标 系 中 也 是 连 续 存 在 的 。 质 点 的 空 间 位 置既 随 不 同 质 点 而 异 ， 又 随 时 间 不 同 而 变 化 ， 也 就 是 说 质 点 的 空 间 位 置 （ x，y， z） 是 拉 格 朗 日 变 数 （ a， b， c） 和 时 间 t 的 函 数0tt tcbazz tcbayy tcbaxx , , ,例 如 tbax 12ctby （ 4.1） ctbaz 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返

8、回 第 一 节 流 体 运 动 的 描 述 第 4页当 00 tt 时 ， 质 点 的 坐 标 位 置 为 （ a， b， c） 。 0tt 到 其 它 位 置 ， 但 是 与 （ a， b， c） 有 关 ， 这 样 就 可 以 区 别 不 同 的 质 点 及 其运 动 情 况 。 时 ， 该 质 点 运 动由 （ 4.1） 式 可 知 ， 质 点 的 运 动 速 度 也 是 （ a， b， c） 与 t 的 函 数 tcbaztztzw tcbaytytyw tcbaxtxtxwzyx ,dd ,dd ,dd （ 4.2）这 是 因 为 a， b， c不 随 时 间 变 化 ， 所 以 0

9、ta 、 0tb 、 0tc 、 txtx dd 、tyty dd 、 tztz dd 。 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 一 节 流 体 运 动 的 描 述 第 5页同 样 ， 质 点 的 加 速 度 也 是 拉 格 朗 日 变 数 与 时 间 的 函 数 tcbaztztwa tcbaytytwa tcbaxtxtwa zz yy xx , , ,22 2222不 同 质 点 的 流 体 其 压 力 和 密 度 也 同 样 是 （ a， b， c） 与 t的 函 数（ 4.3） tcbapp , （ 4.4） tcba , （ 4.5） 第 四 章 流 体 运 动 学

10、退 出 返 回 第 一 节 流 体 运 动 的 描 述 第 6页 由 此 可 见 ， 用 拉 格 朗 日 法 可 以 描 述 各 个 质 点 在 不 同 时 刻 的 参 量 变 化 。因 为 拉 格 朗 日 法 是 追 踪 个 别 质 点 的 描 述 方 法 ， 所 以 用 它 可 以 研 究 流 体 运动 的 轨 迹 和 轨 迹 上 各 流 动 参 量 的 变 化 。 但 是 用 这 种 方 法 研 究 整 个 流 场 的特 性 是 不 方 便 的 。 因 而 ， 除 个 别 情 况 （ 如 研 究 流 体 的 波 动 和 振 荡 等 ） 外 ，都 不 采 用 拉 格 朗 日 法 。（ 二

11、） 欧 拉 法 欧 拉 法 是 研 究 整 个 流 场 内 不 同 位 置 上 的 流 体 质 点 的 流 动 参 量 随 时 间的 变 化 。 也 就 是 用 同 一 瞬 时 的 全 部 流 体 质 点 的 流 动 参 量 来 描 述 流 体 的 运动 。 用 这 种 方 法 不 能 表 示 个 别 质 点 从 起 始 到 终 了 的 全 部 运 动 过 程 。 因 为空 间 内 的 同 一 个 位 置 ， 在 此 时 刻 为 一 个 质 点 所 占 据 ， 在 另 外 时 刻 ， 则 可能 为 另 外 一 个 质 点 所 占 据 。 它 不 象 拉 格 朗 日 法 那 样 ， 只 要 是

12、同 一 个 拉 格朗 日 变 数 （ a， b， c） ， 不 管 在 任 何 时 刻 都 表 示 同 一 个 质 点 。 但 是 欧 拉 法可 以 表 示 同 一 瞬 时 整 个 流 场 的 参 量 ， 这 在 工 程 实 际 上 是 非 常 有 用 的 。 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 一 节 流 体 运 动 的 描 述 第 7页既 然 欧 拉 法 是 描 述 流 场 内 不 同 位 置 的 质 点 的 流 动 参 量 随 时 间 的 变 化 ， 所以 流 动 参 量 是 空 间 坐 标 （ x， y， z） 和 时 间 t 的 函 数 ， 对 速 度 、 压 力 和

13、 密度 为 222 , , , zyx zyxzz yy xx wwww www tzyxww tzyxww tzyxww kjiw （ 4.6） tzyxpp , （ 4.7） tzyx , （ 4.8） 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 一 节 流 体 运 动 的 描 述 第 8页 zwwywwxwwtwtw zwwywwxwwtwtw zwwywwxwwtw tzzwtyywtxxwtwtw zzzyzxzz yzyyyxyy xzxyxxx xxxxxdddddd同 样因 为 质 点 在 流 场 内 是 连 续 的 ， 所 以 流 体 加 速 度 的 各 分 量 为

14、（ 4.9）写 成 矢 量 形 式 wwwwwa tt （ 4.10） 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 一 节 流 体 运 动 的 描 述 第 9页上 式 中 tw 称 为 流 体 运 动 的 局 部 加 速 度 ， 或 称 时 变 加 速 度 ， 它 是 由 速 度ww 加 速 度 ， 它 是 由 速 度 场 的 不 均 匀 性 引 起 的 。 质 点 的 总 加 速 度 等 于 两 者 之 和 。场 随 时 间 的 变 化 引 起 的 ； 称 为 流 体 运 动 的 迁 移 加 速 度 ， 或 称 位 变 流 体 质 点 的 物 理 量 对 于 时 间 的 变 化 率

15、称 为 该 质 点 物 理 量 的 导 数 ，简 称 质 点 导 数 。 任 一 物 理 量 B 对 时 间 的 变 化 率 可 写 成把 加 速 度 分 解 成 局 部 和 迁 移 两 部 分 的 做 法 ， 可 以 推 广 到 其 它 物 理 量 如 p、 等 。zwywxwtt zyx BBBBBDD BwBwB tt （ 4.11）（ 三 ） 两 种 描 述 方 法 的 关 系拉 格 朗 日 法 和 欧 拉 法 两 种 表 达 式 可 以 互 换 。 例 如 ， 从 拉 格 朗 日 法 的 坐 标位 置 表 达 式 （ 4.1） ， 可 以 求 出 用 x， y， z， t 表 示 的

16、 拉 格 朗 日 变 数 a， b，c 的 关 系 式 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 一 节 流 体 运 动 的 描 述 第 10页 tzyxfc tzyxfb tzyxfa , , ,321将 式 （ a） 代 入 式 （ 4.2） ， 即 可 得 到 欧 拉 法 的 表 达 式 （ 4.6） 。 反 之 ， 将欧 拉 法 的 质 点 速 度 表 达 式 （ 4.6） 代 入 式 （ 4.2） ， 可 得 到 （ a） tzyxwtzw tzyxwtyw tzyxwtxw zz yy xx , , , （ b） 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 一 节

17、 流 体 运 动 的 描 述 第 11页将 （ b） 式 进 行 积 分 ， 则 tCCCFz tCCCFy tCCCFx , , , 3213 3212 3211式 中 C1， C2， C3为 积 分 常 数 。 因 为 按 拉 格 朗 日 法 ， 当 0tt （ 起 始 时 刻 ） 时 ，ax 、 by 、 cz ， 所 以 （ c） 03213 03212 03211 , , , tCCCFc tCCCFb tCCCFa据 此 可 以 求 出 用 a、 b、 c表 示 的 C1， C2， C3的 表 达 式 033 022 011 , , , tcbaC tcbaC tcbaC （ e）

18、（ d） 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 一 节 流 体 运 动 的 描 述 第 12页将 （ e） 式 代 人 （ c） 式 ， 即 可 得 到 拉 格 朗 日 表 达 式 （ 4.1） 。 由 于 两 种 方 法 的 互 换 性 ， 故 它 们 在 流 体 动 力 学 的 研 究 中 都 可 采 用 。但 欧 拉 法 比 较 简 便 ， 在 讨 论 整 体 流 场 的 运 动 特 性 时 大 多 采 用 该 方 法 。 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 二 节 迹 线 、 流 线 、 流 管 第 1页 除 了 研 究 流 体 质 点 的 流 动 参 量

19、 随 时 间 的 变 化 情 况 外 ， 为 了 使 整 个流 场 形 象 化 ， 从 而 得 到 不 同 流 场 的 运 动 特 性 ， 还 要 研 究 同 一 瞬 时 质 点 与质 点 间 或 同 一 质 点 在 不 同 时 刻 流 动 参 量 的 关 系 ， 也 就 是 质 点 参 量 的 综 合特 性 。 前 者 称 为 流 线 研 究 法 ， 后 者 称 为 迹 线 研 究 法 。一 、 迹 线 迹 线 就 是 流 体 质 点 运 动 的 轨 迹 线 。 在 一 般 情 况 下 ， 只 有 以 拉 格 朗日 法 表 示 流 体 质 点 运 动 时 才 能 作 出 迹 线 。 迹 线

20、的 特 点 是 ： 对 于 每 一 个 质点 都 有 一 个 运 动 轨 迹 ， 所 以 迹 线 是 一 族 曲 线 ， 而 且 迹 线 只 随 质 点 不 同 而异 ， 与 时 间 无 关 。 在 以 欧 拉 法 表 示 流 体 运 动 特 性 时 ， 可 以 用 欧 拉 法 与 拉格 朗 日 法 的 互 换 求 出 描 述 迹 线 的 方 程 式 。 例 如 ， 一 个 流 场 的 欧 拉 表 达 式为 tzyxww xx , tzyxww yy , tzyxww zz , 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 二 节 迹 线 、 流 线 、 流 管 第 2页由 于 txwx

21、 dd tywy dd tzwz dd则 twzwywx zyx dddd 这 就 是 质 点 的 轨 迹 微 分 方 程 式 ， 即 迹 线 微 分 方 程 式 ， 其 中 t是 独 立 变 量 。 （ 4.12）例 题 4.1 设 有 一 流 场 ， 其 欧 拉 表 达 式 为txtx dd tyty dd 0dd tz求 此 流 场 的 迹 线 方 程 式 。 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 二 节 迹 线 、 流 线 、 流 管 第 3页解 求 解 上 述 微 分 方 程 ， 得 到1 tAex t 1 tBey t Cz 当 0tt 时 ， ax ， by ， c

22、z ， 代 入 上 式 得 到0 10tetaA 0 10tetbB cC 将 A， B， C值 代 入 前 式 得 到1100 teetax tt 1100 teetby tt cz 这 就 是 流 场 中 的 迹 线 方 程 式 ， 也 就 是 质 点 空 间 坐 标 的 拉 格 朗 日 表 达 式 ， 它表 示 一 迹 线 族 。 若 某 一 个 质 点 ， 当 00 t 时 其 起 始 位 置 1a ， 2b 3c则 这 个 质 点 的 迹 线 方 程 式 为 12 tex t 13 tey t ， ，3z 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 二 节 迹 线 、 流 线

23、 、 流 管 第 4页 若 将 连 续 的 不 同 时 间 t代 入 上 式 ， 得 到 一 系 列 空 间 坐 标 （ x， y， z） ， 由此 可 描 绘 出 该 质 点 的 轨 迹 。二 、 流 线 任 一 时 刻 t， 流 场 中 每 一 点 均 可 沿 该 点 速 度 方 向 作 一 微 元 线 段 ， 这些 线 段 的 连 线 构 成 一 簇 曲 线 ， 这 些 曲 线 中 的 每 一 条 均 称 为 流 线 。 所 以流 线 上 任 意 一 点 的 切 线 方 向 就 是 该 点 的 流 速 方 向 。 根 据 上 述 流 线 的 特 性 可 以 推 导 出 流 线 方 程 式

24、 。 设 流 线 上 任 一 点 M（ x， y， z） 的 速 度 为 w， 坐 标 轴 上 的 三 个 分 速 度 wx， wy， wz， w的 方 向余 弦 为 wwxw x,cos ， wwyw y,cos ， wwzw z,cos而 在 M点 的 切 线 T与 坐 标 轴 之 间 夹 角 的 余 弦 为 lxxT dd,cos ， lyyT dd,cos ， lzzT dd,cos 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 二 节 迹 线 、 流 线 、 流 管 第 5页ld 是 在 M点 流 线 上 的 微 元 弧 长 ， xd ， yd ， zd 为 ld由 于 流 线

25、 的 切 线 T与 速 度 w重 合 ， 所 以 两 者 与 坐 标 轴 的 夹 角 余 弦 应 相 等 ， 即lxwwx dd ， lywwy dd ， lzwwz dd 在 坐 标 轴 方 向 上 的 分 量 。由 此 可 得 zyx wzwywxwl dddd 这 就 是 流 线 微 分 方 程 式 。 积 分 上 式 时 ， t 保 持 不 变 ， 可 得 到 两 个 曲 面 方 程 ，（ 4.13）它 们 的 交 线 即 为 时 刻 t 的 流 线 方 程 。例 题 4.2 设 有 流 场 ， 其 速 度 矢 为 jiw xty 3)2( ， 求 0t时 通 过 点 （ 1， 1，

26、1） 的 流 线 方 程 。 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 二 节 迹 线 、 流 线 、 流 管 第 6页解 ： 此 流 场 中 的 流 线 微 分 方 程 式 为0d3d)2( d zxytyx 保 持 t不 变 ， 积 分 上 式 得 到 12223 Ctyyx 2Cz t=0时 ， x=1， y=1， z=1， 则 C1=1/2， C2=1。 代 入 上 式 得 到 所 求 的 流 线 1 123 22z yx 方 程 式 为 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 二 节 迹 线 、 流 线 、 流 管 第 7页 迹 线 和 流 线 都 是 流 场

27、中 的 曲 线 族 ， 都 与 流 体 运 动 有 关 ， 但 它 们 代表 了 不 同 的 概 念 。 流 线 表 示 在 某 一 瞬 时 流 场 中 各 流 动 质 点 的 运 动 倾 向 ，既 反 映 质 点 在 当 时 的 流 速 大 小 ， 又 反 映 其 流 动 方 向 ， 即 反 映 了 流 动 速 度向 量 。 速 度 向 量 是 随 时 间 改 变 的 ， 流 线 也 必 然 随 时 间 改 变 。 迹 线 是 某 个流 体 质 点 在 一 段 时 间 内 经 过 的 路 程 。 质 点 是 沿 着 迹 线 运 动 的 ， 并 不 沿 着流 线 运 动 。 从 流 线 与 迹

28、 线 方 程 也 可 以 看 出 通 过 某 质 点 的 流 线 与 该 质 点 的迹 线 是 不 同 的 。 迹 线 方 程 以 时 间 t为 自 变 量 ， 流 线 方 程 中 时 间 t是 给 定 量 ，t不 同 ， 流 线 方 程 也 不 同 。 对 于 稳 定 流 动 ， 流 场 中 任 何 点 的 流 动 参 量 不随 时 间 改 变 ， 流 线 和 迹 线 是 一 致 的 。 因 为 这 时 流 线 已 经 不 随 时 间 而 改 变 ，也 就 是 说 ， 不 管 任 何 时 刻 ， 质 点 都 是 沿 着 流 线 在 运 动 ， 所 以 流 线 也 就 是迹 线 。 第 四 章

29、 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 二 节 迹 线 、 流 线 、 流 管 第 8页三 、 流 管 l 图 4.1 流 管在 流 场 内 取 任 意 封 闭 曲 线 l（ 图 4.1）， 通 过 曲 线 l上 每 一 点 连 续 地 作 流 线， 则 流 线 族 构 成 一 个 管 状 曲 面 ， 叫做 流 管 。 因 为 流 管 是 由 流 线 组 成 的， 所 以 流 管 上 各 点 的 流 速 都 沿 其 切线 方 向 ， 而 不 穿 过 流 管 表 面 。 所 以流 体 不 能 由 外 面 进 入 流 管 ， 也 不 能由 流 管 向 外 流 出 。 流 管 就 象 刚 体 管壁

30、 一 样 ， 把 流 体 的 运 动 局 限 在 流 管之 内 （ 或 流 管 之 外 ） 。 实 际 管 道 流动 中 ， 紧 贴 管 壁 的 那 一 层 流 体 也 构成 流 管 。 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 三 节 环 量 和 旋 度 、 通 量 和 散 度 的 物 理 意 义 第 1页一 、 环 量 和 旋 度如 图 4.2所 示 ， 在 流 场 内 取 任 意 封 闭 曲 线 l， 曲 线 上 任 一 点 B的 速 度 w沿 曲 线切 线 方 向 的 分 速 度 为 wl， 靠 近 B点 取 微 元 弧 长 为 沿 曲 线ld ， 则 称 l l lwdL

31、的 环 量 ， 以 表 示 l l lwd （ 4.14）计 算 环 量 的 积 分 方 向 是 按 逆 时 针 方 向 为 正 ， 因 此 环 量 也 可 以 按 右 手 法则 决 定 其 正 负 。 如 果 用 向 量 表 示 ， 则 ll lw dcosd lw （ 4.15）zyx www kjiw ， zyx dddd kjil 在 直 角 坐 标 系 中所 以 l zyx zwywxw ddd （ 4.16） 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 三 节 环 量 和 旋 度 、 通 量 和 散 度 的 物 理 意 义 第 2页n dl wlM o图 4.2 环 量 和

32、 旋 度A B wl在 流 场 内 取 一 点 M（ 图 4.2） ， 曲 面 A包 含 M点 ，为 曲 面 在 M点 的 法 线 单 位 向 量 ， 曲 面 的 周 线为 l， 则 环 量 与 旋 度 有 下 列 关 系nwA rotdlim0 A lwl l当 n与 wrot 的 方 向 一 致 时 ， 有wA rotdlim0 A lwl l （ 4.17）此 式 说 明 在 流 场 中 一 点 取 与 该 点 旋 度 方 向 一 致 的 微 元 曲 面 ， 则 该 曲 面 单位 面 积 的 环 量 与 曲 面 趋 近 点 的 旋 度 的 绝 对 值 相 等 。 表 示 沿 l 的 平

33、均 角 速 度 。 当 A0时 ， M与 o重 合 ， M点 的 旋 度 等于 周 线 l上 各 点 对 M点 角 速 度 平 均 值 的 两 倍 ， 或 者 说 某 一 点 的 角 速 度 等于 该 点 旋 度 的 一 半 。 这 样 便 建 立 了 流 场 的 旋 度 与 该 点 角 速 度 的 关 系 。 旋度 仅 与 流 场 中 位 置 有 关 ， 即 视 流 速 特 性 而 定 ， 与 质 点 的 迹 线 无 关 。 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回第 三 节 环 量 和 旋 度 、 通 量 和 散 度 的 物 理 意 义 第 3页下 面 讨 论 旋 度 的 物 理 意

34、 义 。 当 A0时 ， 曲 面 A趋 近 于 平 面 ， 可 以 认 为2 rA ， 则 nnl l rrrA lw 22dlim 20 A （ 4.18）式 中 n二 、 通 量 和 散 度在 流 场 内 取 任 意 曲 面 A（ 图 4.3） ， n为 其 法 线 。 单 位 时 间 内 流 过 A的 流体 体 积 叫 做 曲 面 A的 通 量 或 流 量 ， 以 Q表 示 。 A zyxA yxwzxwzywAQ dddddddnw （ 4.19） 如 果 在 流 场 中 封 闭 曲 面 A包 围 的 体 积 为 ， 则 当 0时 ， 单 位 体 积 的 通 量叫 做 M点 的 散 度

35、 ， 以 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回第 三 节 环 量 和 旋 度 、 通 量 和 散 度 的 物 理 意 义 第 4页wdiv 图 4.4 六 面 体 微 团 xyz o 表 示 xxww xx dxw zwzzww zz d yyww yy d yw A Adlimdiv 0 nww (4.20） zyxzwzyxywzyxxw yxwzzww zxwyywwzywxxwwQ zyx zzz yyyxxx ddddddddd ddd ddddddd 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 三 节 环 量 和 旋 度 、 通 量 和 散 度 的 物 理 意 义

36、 第 5页按 式 （ 4.20） 的 定 义 zwywxwzyx QQ zyx dddddddiv w （ 4.21） 这 就 是 散 度 在 直 角 坐 标 系 中 的 计 算 式 。上 面 推 导 中 ， 包 含 M点 的 封 闭 曲 面 形 状 是 任 意 的 ， 而 在 推 导 式 （ 4.21）时 ， 包 含 M点 的 微 小 六 面 体 的 方 位 也 是 任 意 的 ， 所 以 散 度 只 与 M点 位 置 有关 ， 即 仅 是 坐 标 （ x， y， z） 的 函 数 。 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回 第 四 节 微 元 流 体 线 的 运 动 第 1页 在

37、研 究 流 体 运 动 特 性 时 ， 除 了 分 析 流 线 和 流 束 外 ， 还 必 须 了 解 流 动 参量 与 流 体 运 动 方 式 的 关 系 。 流 体 的 运 动 方 式 ， 除 了 有 和 刚 体 运 动 相 同 的 平移 运 动 和 旋 转 运 动 外 ， 还 有 形 状 变 化 和 体 积 变 化 。 微 团 的 形 状 变 化 叫 切 变运 动 ， 微 团 体 积 的 变 化 叫 膨 胀 运 动 。 所 以 流 体 微 团 有 上 述 四 种 可 能 的 运 动 。这 四 种 运 动 都 可 以 通 过 流 动 参 量 表 示 出 来 。 在 研 究 流 体 微 团

38、运 动 之 前 ， 先研 究 微 元 流 体 线 的 运 动 。在 某 时 刻 t， 在 流 场 中 任 取 一 段 微 元 流 体 线 ABr （ 图 4.5） 。zyx kjir该 微 元 流 体 线 上 各 质 点 的 运 动 速 度 并 不 相 同 ， 若 A点 的 运 动 速度 为 wx、 wy、 wz， 则 B点 的 运 动 速 度 为 zzwyywxxww xxxx zzwyywxxww zzzz 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回第 2页 第 四 节 微 元 流 体 线 的 运 动 图 4.5 微 元 流 体 线 的 运 动 o wxAz xy B wx+wxwy+

39、wywz+wzwywz r zzwyywxxww yyyy显 然 流 体 线 的 变 形 包 含 着 伸 缩 和 转 动 ，现 讨 论 如 下 。一 、 微 元 流 体 线 的 线 变 形 速 率定 义 ： 单 位 时 间 内 微 元 流 体 线 的 相对 伸 长 率 称 为 线 变 形 速 率 。由 于 zyx kjir故 可 按 定 义 分 别 写 出 x 、 y、 z的 线 变 形 速 率 ， 并 分 别 以 xx 、yy、zz 表 示 。 x 的 线 变 形 速 率 可 写 成 xwtx twtxxww xxxxtxxx 00lim （ 4.22） 第 四 章 流 体 运 动 学 退

40、出 返 回第 3页 第 四 节 微 元 流 体 线 的 运 动 同 理 可 写 出 y、 z方 向 的 线 变 形 速 率 ：ywyyy （ 4.23） zwzzz （ 4.24）二 、 微 元 流 体 线 的 转 动 速 率定 义 ： 微 元 流 体 线 的 转 动 角 速 度 称 为 转 动 速 率 。 一 条 微 元 流 体 线 段 可 以 有 两 个 转 动 自 由 度 ， 例 如 既 可 以 在 xoz平 面 内 绕 y轴 转 动 ， 又 可 以 在 xoy平 面 内 绕 z轴 转 动 。 xx、z 在 xoz平 面 内 的 转 动 为 例 ， 如 图 4.6所 示 ， 按 定 义

41、，x绕 y轴 向 z轴 方 向 转 动 的 角 速 度 xz 为以 xwtx twtxxww zzzztxxz 00lim （ 4.25） 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回第 4页 第 四 节 微 元 流 体 线 的 运 动 图 4.6 微 元 流 体 线 的 转 动 o wx x z xwzz xxww zz 同 理 z 绕 y轴 向 x轴 方 向 转 动 的 角 速 度 zx 为zwxzx 同 样 可 得 到 其 它 平 面 内 的 相 应 微 元 流 体线 的 转 动 角 速 度 xwyxy （ 4.27）ywxyx （ 4.28）ywzyz （ 4.29）zw yzy （

42、 4.30） zzww xx （ 4.26） 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回第 1页 第 五 节 流 体 微 团 的 运 动一 、 平 均 转 动 速 率定 义 ： 过 某 流 体 质 点 M的 所 有 流 体 线 的 转 动 速 度 的 平 均 值 称 为 该 质 点的 平 均 转 动 速 率 。以 xoy平 面 为 例 ， 过 质 点 M作 半 径 为 dr的 圆 ， 圆 周 线 上 的 速 度 如 图 4.7所示 。 沿 圆 周 上 的 速 度 环 量 为 l xxxyyy lyywxxwwlyywxxww dsindddcosdd 式 中 ddd rl ，cosdd r

43、x ， sindd ry ， 且 有 0sincos xy ww代 入 上 式 得 ddsinddcossin ddcossinddcos 222 222 rywrxw rywrxw xxl yy 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回第 2页 第 五 节 流 体 微 团 的 运 动M dr 图 4.7 流 体 微 团 平 均 转 动 速 率 o wxxy dxwydy dll d yywxxww yyy dd 由 于 xwx 、 ywx 、 xwy 、 ywy与 rd、 d 无 关 ， 且 rd 与 d无 关 ， 则 上 式 积 分 结 果 为 ywxwr xy2d由 （ 4.18）

44、 式 可 知 A z2而 2)(drA ， 所 以 得 到 ywxw xyz 21同 理 可 得 到 绕 x、 y轴 的 平 均 转 动 速 率 为绕 z轴 的 平 均 转 动 速 率 为 zwyw yzx 21 xwzw zxy 21 yywxxww xxx dd 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回第 3页 第 五 节 流 体 微 团 的 运 动由 此 得 到 流 体 微 团 的 整 体 平 均 转 动 速 率 为 wkji rot21212121 ywxwxwzwzwyw xyzxyz （ 4.31）wrot因 为 只 是 流 场 中 某 点 （ 即 微 团 极 点 M） 的

45、坐 标 和 时 间 的 函 数 ， 所 以 微团 的 旋 转 速 度 也 只 是 极 点 坐 标 和 时 间 的 函 数 ， 其 数 值 等 于 极 点 M附 近 的 点对 M点 的 旋 转 速 度 的 平 均 值 。 如 果 微 团 内 各 点 的 旋 转 速 度 都 等 于 wrot21则 微 团 只 有 转 动 ， 不 发 生 变 形 ； 否 则 微 团 除 去 转 动 外 ， 还 会 发 生 变 形 ， 即 发 生 切 变 运 动 。二 、 角 变 形 速 率 切 变 速 率 微 团 的 角 变 形 是 由 于 微 团 内 各 点 对 M点 的 旋 转 角 速 度 不 均 匀 引 起

46、的 。单 位 时 间 的 角 变 形 叫 做 切 变 速 率 或 角 变 形 速 率 ， 通 常 以 线 相 对 转 动 速 率表 示 。 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回第 4页 第 五 节 流 体 微 团 的 运 动图 4.8 流 体 微 团 的 角 变 形 o wx xy xwyyM z yyww xx xxww yy 以 xoy平 面 内 的 微 元 流 体 线 x 、 y为 例 （ 图 4.8） ， x 向 y轴 转 动 ， y向 x轴 转 动 的 绝 对 转 动 角 速 度 为xwyxy ， ywxyx M 点 的 旋 转 角 速 度 为 ywxw xyz 21 第

47、四 章 流 体 运 动 学 xwywywxwyw yxxyxzyxyx 2121 退 出 返 回第 5页 第 五 节 流 体 微 团 的 运 动 ywxwywxwxw xyxyyzxyxy 2121x 、 y 相 对 M点 的 转 动 角 速 度 为同 理 ， 其 它 两 个 平 面 内 的 流 体 线 的 相 对 转 动 角 速 度 为 zwxw xzxz 21 xwzw zxzx 21 zwyw yzyz 21 ywzw zyzy 21 可 见 ， yxxy ， zyyz ， xzzx ， 即 线 相 对 转 动 速 率 具 有 对 称 性 。 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返

48、回第 6页 第 五 节 流 体 微 团 的 运 动上 述 六 式 可 写 成 zyxjijijwiw ijij ,21 ij 为 正 时 ， 微 元 体 角 变 形 减 小 ， 称 为 收 缩 切 变 ； 为 负 时 ， 微 元 体 角 变形 增 大 ， 称 为 扩 展 切 变 。微 团 的 切 变 速 率 可 写 成 kji ywxwxwzwzwyw xyzxyz 212121 （ 4.32）和 旋 转 速 度 相 同 ， 微 团 的 切 变 速 率 也 只 是 M点 的 坐 标 和 时 间 的 函 数 。三 个 线 变 形 速 率 和 六 个 角 变 形 速 率 构 成 一 个 二 阶 对

49、 称 张 量 zzzyzx yzyyyx xzxyxxij 式 （ 4.33） 中 ， 当 ji 时 为 线 变 形 速 率 张 量 ； 当 ji 时 为 角 变 形 速 率 张 量 。（ 4.33） 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回第 7页团 的 体 积 为 第 五 节 流 体 微 团 的 运 动三 、 体 积 膨 胀 速 率定 义 ： 单 位 时 间 内 微 元 流 体 团 的 体 积 膨 胀 称 为 体 积 膨 胀 速 率 。在 t时 刻 ， 微 元 流 体 团 的 体 积 为 zyxV 在 tt 时 刻 ， 微 元 流 体 tzzwztyywytxxwxVV zyx按 上

50、 述 定 义 ， 体 积 膨 胀 速 率 为 iizyxt zwywxwtV VVV wdivlim00v （ 4.34）可 见 ， 体 积 膨 胀 速 率 等 于 线 变 形 速 率 之 和 。 对 于 不 可 压 缩 流 体 ， 流 体 的体 积 不 会 发 生 变 化 ， 因 此 对 应 的 体 积 膨 胀 速 率 为 零 ， 即 0div iizyx zwywxw w （ 4.35） 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回第 8页 第 五 节 流 体 微 团 的 运 动此 时 ， 虽 然 流 体 的 线 变 形 速 率 可 以 不 等 于 零 ， 但 三 个 微 元 线 段 的

51、 线 变 形速 率 之 和 等 于 零 。四 、 流 体 微 团 速 度 分 解 定 理如 图 4.5所 示 ， 流 场 中 任 取 一 微 元 流 体 线 段 zyx kjirA、 B的 速 度 差 为 （ 略 去 高 阶 微 量 ） zzwyywxxw xxxAB iww zzwyywxxw yyyj zzwyywxxw zzzk （ 4.36）， 其 端 点由 于 流 体 微 团 整 体 转 动 引 起 的 相 对 运 动 速 度 为 zyxzyx kjikjir yywxwzxwzw xyzx21i zzwywxywxw yzxy21j xxwzwyzwyw zxyz21k （ 4.3

52、7） 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回第 9页 第 五 节 流 体 微 团 的 运 动式 （ 4.36） 可 写 成 zyxwww zyxzyxB kjikjikjiw zxwzwyxwywxxw zxyxx 2121i zywzwyywxywxw zyyxy 2121j zzwyzwywxzwxw zyzxz 2121k zyx zxyxxxA irw zyxzyx zzyzxzzyyyxy kj rrww 21A这 就 是 流 体 微 团 速 度 分 解 定 理 ， 又 称 速 度 分 解 公 式 。 （ 4.38） 上 式 中 右 侧 各 项 可 在 图 4.9中 分 别

53、表 示 出 来 。 图 4.9（ a） 表 示 上 式 右侧 的 第 一 项 ， 它 是 由 于 平 移 运 动 引 起 的 速 度 ； 图 4.9（ b） 表 示 上 式 右 侧的 第 二 项 ， 它 是 由 于 整 体 转 动 引 起 的 相 对 速 度 ； 图 4.9（ c） 表 示 上 式 右侧 的 第 三 项 ， 它 是 由 于 线 变 形 速 率 引 起 的 相 对 速 度 ； 图 4.9（ d） 表 示 上式 右 侧 的 第 四 项 ， 它 是 由 于 角 变 形 速 率 引 起 的 相 对 速 度 。第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回第 10页第 五 节 流 体 微

54、 团 的 运 动为 了 讨 论 上 述 速 度 分 解 公 式 的 意 义 ， 现 以 平 面 流 动 （ 0,0 zwz由 上 式 可 得 到 B点 的 速 度 为 xyyxxyww xyyxyyxxzzyxB jijijijiw ） 为 例 ，式 （ 4.38） 可 以 这 样 解 释 ： 由 于 微 元 流 体 线 r 可 以 分 解 为 x 、 y 、z ， 由 x 、 y 、 z 组 成 微 元 流 体 团 ， 微 元 流 体 线 是 该 微 元 流 体 团 的 对 角 线 。r于 是 微 元 流 体 线 末 端 的 运 动 可 以 看 成 由 下 列 四 种 运 动 组 成 ： 整 体 的 平移 运 动 （ 图 4.9（ a） ） ； 整 体 的 转 动 （ 图 4.9（ b） ） ； 体 积 膨 胀 运 动 （ 图4.9（ c） ） ； 切 变 运 动 （ 图 4.9（ d） ） 。r 第 四 章 流 体 运 动 学 退 出 返 回第 11页 第 五 节 流 体 微 团 的 运 动图 4.9 速 度 分 解 iwx+jwyxwyy x y xy xyzxzy-izy +jzx ixxx+jyyyxxxyyy xyxyxyiyxy+jxyx（ a） 平 移 （ b） 转 动 （ c） 体 变 形 （ d） 角 变 形 wx