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1、 3.3 电子在库仑场中的运动（氢原子、类氢原子）考虑一个电子在一个带正电的核所产生的电场中运动，核的电荷数为Ze，取核为坐标原点，电子受核的库仑吸引势能为： 2/102 )4( , eerZeU ss rZeH s2222 哈密顿算符为：本征值方程为： ErZe s )2( 222 ErZerrrr s 2222222 sin1)(sinsin1)(12应用分离变量法解此方程，设方程的解为 ),()(),( YrRr R(r )是r的径向函数。Y(, )是, 的函数。0)(21)(1 2222222 rZeELrrrrr 22222 sin1)(sinsin1 L利用 将试解代入薛定谔方程，
2、0)(2 )1()(1 2222222 RYrZeERYLrYRrrrr 0)(2)(1)(1 22 2222 rZeErYLYRrrrR )(2)(1 22 22 rZeErRrrrR YLY 221 YYL 22即角动量平方算符的本征值方程，l(l+1), 代入径向方程 )(2)()(1 22 22 rZeErRrrrrR0)1()(2)(1 22222 RrllRrZeERrrrrE0， 体系能量为连续谱，电子已电离，可运动到无限远处。E0， 具有分立谱，电子的状态是束缚态。 为了简化方程，作变换rrurR )()( 得到u(r )所满足的方程：0)1()(2 22222 urllrZe
3、Edrud s作代换： r 0)1(41 222 ulld ud 2/1222/12 )2(2 ,)8( EZeZeE ss 令 当， 04122 ud ud取 u() 的形式如下：)()( 2 feu 代入方程，得到f()所满足的方程：0)1( 222 fllddfd fd f 可由幂级数展开0 ,)( 00 bbf s rrurR )()( 为了保证在r=0处有限，s必须不小于1。 bllss sb )1()1)(1 由 s+1的系数等于零，得到bv 所满足的关系式波函数的有限性要求f()为中断多项式 00 rnss rns以nr代替 另外，幂级数是从0开始的，所以b10， 因为b0 0s
4、(s -1)=l(l+1)得到s1=l+1, s2=-l (舍去)将sl+1代入0 rns nnl r 1nr称为径向量子数, n 称为主量子数或总量子数，n =1,2,3, 代入下面的关系式： 2/1222/12 )2(2 ,)8( EZeZeE ss 能量本征值：. ,3 ,2 ,1 ,2 22 42 nneZE sn束缚态的波函数),()( lmnlnlm YrRnlm与三个量子数都有关，而能量只与量子数n有关，所以能级En是简并的 对应一个n， l 0, 1, 2, , n-1， 共n个值，对应一个l， m可以取2l+1个值。)exp()(42)( 02/300010100 aZraZ
5、YrR 基态波函数220 sea 为玻尔半径 氢原子当Z1，得到氢原子的能级为. ,3 ,2 ,1 ,2 224 nneE sn当n=1, eVE 60.13 1 当n, E =0, 电离能 E E113.6 eV 例题 1 在一个无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数：)()( xaAxx 描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。解：dxxaxAdxxaAx a 0 2222 )()( 1)2(0 43222 dxxaxxaA a 530aA )(30)( 5 xaxax 因为任一个波函数都可由一维无限深势阱中的定态波函数展开 n nncx )( a
6、a nn dxxaAxxanadxxxc 00 * )(sin2)()( 一维无限深势阱中的能量的本征值及本征函数为xanamanE nn sin2 ,2 2222 )1(1)( 602 3 nn 能量的平均值为：dxxpxE )(2)( 2 粒子取能量为En的几率密度为262 )1(1)(240 nn nc a dxxaxdxdxaxAm 0 2222 )()(2 11222 014.1105 EEma 例题2. 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 ar arrU ,0 ,)(求粒子的基态能级和波函数解： 因为势能是球对称性的，因而波函数为 ERRrURrlldrdRrdrRdm )()1(22 2222),( lmnlnlm YR 0)1(2 22 rllE令rrrR /)()( （1）阱内对于基态，l=0，并令)0( ,/2 EEk利用边界条件0)()0( a . ,2 ,1 , nnka 22222 anEn 得krr sin)(能量的本征值为能量的归一化本征函数为 41sin2),()( 00000 r arnaYrRnn 习题：P102 3.9, 3.10
电子在库仑场中的运动氢原子类氢原子
