数与式1课实数及其运算

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1、第 一 章 数 与 式第 1课 实 数 及 其 运 算 实 数 无 理 数 无 限 不 循 环 小 数整 数分 数 负 整 数 自 然 数有 限 小 数 或 无 限 循 环 小 数1.实 数 的 分 类 按 实 数 的 定 义 分 类 ： 要 点 梳 理正 无 理 数 负 无 理 数 有 理 数 正 整 数 零 正 分 数 负 分 数 根 据 需 要 ， 我 们 也 可 以 按 符 号 进 行 分 类 ， 如 ： 实 数 2 实 数 的 有 关 概 念 (1)数 轴 ： 规 定 了 ， 和 的 直 线 叫 做 数 轴 数 轴 上 所 有 的 点 与 全 体 实 数 一 一 对 应 (2)相 反

2、 数 ： 只 有 _不 同 ， 而 _相 同 的 两 个 数 称 为 互 为 相 反 数 若 a、 b互 为 相 反 数 ， 则 a b _. (3)倒 数 ： 1除 以 一 个 不 等 于 零 的 实 数 所 得 的 _， 叫 做 这 个 数 的 倒 数 若 a、 b互 为 倒 数 ， 则 ab _.原 点 正 方 向 单 位 长 度 符 号 绝 对 值 0 商 1 正 实 数负 实 数零 (4)绝 对 值 ： 在 数 轴 上 ， 一 个 数 对 应 的 点 离 开 原 点 的 叫做 这 个 数 的 绝 对 值 距 离a 0 a |a|是 一 个 非 负 数 ， 即 |a|_.0 |a| (

3、a0)(a=0)(a0) (5)科 学 记 数 法 ， 近 似 数 ， 有 效 数 字 ： 科 学 记 数 法 就 是 把 一 个 数 表 示 成 的形 式 ； 一 个 近 似 数 ， 到 哪 一 位 ， 就 说 这 个 数 精 确 到 哪 一 位 ，这 时 ， 从 左 边 第 一 个 不 是 零 的 数 字 起 ， 到 末 位 数 字 止 ， 所 有 的数 字 都 叫 做 这 个 近 似 数 的 有 效 数 字 (6)平 方 根 ， 算 术 平 方 根 ， 立 方 根 ： 如 果 x2 a， 那 么 x叫 做 a的 平 方 根 ， 记 作 _； 正 数 a的 正 的 平 方 根 ， 叫 做

4、这 个 数 的 算 术 平 方 根 ； 如 果 x 3 a， 那 么 x叫 做 a的 立 方 根 ， 记 作 _ a 10n(1a 10,n是 整 数 )四 舍 五 入 3.零 指 数 幂 ， 负 整 数 指 数 幂 ： 任 何 非 零 数 的 零 次 幂 都 等 于 1， 即 ； 任 何 不 等 于 的 数 的 p次 幂 ， 等 于 这 个 数 p次 幂 的 倒 数 ， 即 4.实 数 的 大 小 比 较 ： _大 于 零 ， _小 于 零 ， _大 于 一 切 负 数 ； 在 数 轴 上 表 示 的 两 个 数 ， 右 边 的 点 所 表 示 的 数 总 比 _的 点 所 表 示 的 数

5、_ 差 值 法 比 较 ： a b 0 a b a b 0 a b a b 0 a b a0 1(a0) a p (a0， p为 正 整 数 ) 正 数 负 数 正 数 左 边 大 5.实 数 的 运 算 ： 实 数 的 运 算 顺 序 是 先 算 ， 再 算 ， 最 后 算 _ 如 果 有 括 号 ， 先 算 _， 再 算 _， 最 后 算 _ 同 级 运 算 应 .乘 方 和 开 方 乘 除 加 减 小 括 号 中 括 号 大 括 号 从 左 到 右 ,按 顺 序 进 行 难 点 正 本 疑 点 清 源 1 正 确 理 解 实 数 相 关 的 概 念在 实 数 范 围 内 ， 由 于 对

6、数 学 概 念 的 理 解 不 清 楚 ， 导 致 出 现 各 种判 断 和 列 式 错 误 这 些 概 念 包 括 ： 正 数 、 负 数 、 有 理 数 、 无 理数 、 实 数 、 相 反 数 、 倒 数 、 平 方 根 、 算 术 平 方 根 、 立 方 根 、 绝对 值 、 数 轴 、 零 指 数 、 负 整 数 指 数 等 2 注 意 基 本 技 能 的 掌 握 及 正 确 的 运 算在 实 数 范 围 内 ， 由 于 对 基 本 技 能 掌 握 不 熟 练 ， 导 致 出 现 一 系 列变 形 和 计 算 错 误 这 些 技 能 包 括 ： 分 数 的 通 分 与 约 分 、 运

7、 算 的灵 活 应 用 、 实 数 的 运 算 、 实 数 的 大 小 比 较 、 近 似 数 的 表 示 、 用科 学 记 数 法 表 示 数 等 3 利 用 数 形 结 合 的 数 学 思 想 直 观 地 解 决 问 题 数 本 身 是 无 形 的 、 抽 象 的 ， 而 点 、 线 等 图 形 却 是 直 观 的 数 轴正 是 在 有 形 的 直 线 上 按 由 小 到 大 的 顺 序 把 无 形 的 数 表 示 出 来 ，把 “ 数 ” 与 “ 形 ” 有 机 地 结 合 起 来 ， 从 而 便 于 学 习 和 研 究 4 运 用 分 类 讨 论 思 想 ， 全 面 解 答 问 题 在

8、 学 习 相 反 数 、 绝 对 值 和 有 理 数 乘 方 运 算 的 符 号 法 则 时 ， 应 把实 数 分 成 正 实 数 、 零 、 负 实 数 三 类 分 别 研 究 ， 运 用 分 类 讨 论 的思 想 ， 在 一 些 看 上 去 较 复 杂 的 计 算 题 中 ， 可 通 过 分 类 讨 论 ， 全面 地 把 代 数 式 的 值 一 一 求 出 来 ， 如 ： 已 知 abc0， 且 M ， 根 据 a、 b、 c的 不 同取 值 ， M有 ( ) A 唯 一 确 定 的 值 B 三 种 不 同 的 值 C 四 种 不 同 的 值 D 八 种 不 同 的 值 B 基 础 自 测

9、1 (2011金 华 )有 四 包 真 空 小 包 装 火 腿 ， 每 包 以 标 准 克 数 (450克 )为基 准 ， 超 过 的 克 数 记 作 正 数 ， 不 足 的 克 数 记 作 负 数 ， 以 下 数 据是 记 录 结 果 ， 其 中 表 示 实 际 克 数 最 接 近 标 准 克 数 的 是 ( ) A 2 B 3 C 3 D 4 解 析 ： 四 个 选 项 中 2的 绝 对 值 最 小 ， 故 最 接 近 标 准 A 2 (2011衢 州 )数 2的 相 反 数 为 ( ) A 2 B. C 2 D 解 析 ： 一 个 数 的 相 反 数 就 是 在 这 个 数 前 面 加

10、“ ” 号 3 (2011义 乌 ) 3的 绝 对 值 是 ( ) A 3 B 3 C D. 解 析 ： | 3| 3， 一 个 负 数 的 绝 对 值 是 它 的 相 反 数 AA 4 (2011宁 波 )下 列 各 数 中 ， 是 正 整 数 的 是 ( ) A 1 B. 2 C 0.5 D. 解 析 ： 选 项 中 只 有 2既 是 正 数 ， 又 是 整 数 5 (2011陕 西 )我 国 第 六 次 人 口 普 查 显 示 ， 全 国 人 口 为 1370536875 人 ， 将 这 个 总 人 口 数 (保 留 三 个 有 效 数 字 )用 科 学 计 数 法 表 示 为 ( )

11、A 1.37 10 9 B 1.37 107 C 1.37 108 D 1.37 1010 解 析 ： 1370536875 1.370536875 1091.37 109. BA 题 型 分 类 深 度 剖 析题 型 一 实 数 的 分 类 【 例 1】 (1)在 0,1, 2, 3.5这 四 个 数 中 ， 是 负 整 数 的 是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3.5 解 析 ： 负 整 数 既 是 负 数 ， 又 是 整 数 ， 这 里 只 有 2符 合 (2)在 实 数 0,1, ,0.1235中 ， 无 理 数 的 个 数 为 ( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 解

12、 析 ： 无 理 数 是 无 限 不 循 环 小 数 ， 开 不 尽 方 ， 是 无 限 不 循 环 小 数 CB 探 究 提 高 判 断 一 个 数 是 不 是 无 理 数 ， 关 键 就 看 它 能 否 写 成 无 限 不 循环 小 数 初 中 常 见 的 无 理 数 共 分 三 种 类 型 ： (1)含 根 号 且 开 不 尽 方 的 数 ； (2)化 简 后 含 (圆 周 率 )的 式 子 ； (3)有 规 律 但 不 循 环 的 无 限 小 数 掌 握 常 见 无 理 数 类 型 有 助于 识 别 无 理 数 知 能 迁 移 1 (1)下 列 五 个 实 数 ： ， 0， tan 4

13、5 ， | 3|， ( ) 1.其 中 正 数 的 和 为 ( ) A 4 B 5 C 6 D 7 解 析 ： (3 )0 tan45 ( ) 1 1 1 2 4， 这 三 个 正 数 的和 等 于 4， 选 A. (2)下 列 四 个 数 中 ， 在 0到 3之 间 的 无 理 数 是 ( ) A. B. C D 1 解 析 ： 0 bc， 那 么 a b c _.解 析 ： 由 |a| 1， |b| 2， |c| 3， 得 a 1， b 2， c 3. 又 abc.可 以 a 1， b 2， c 3， 所 以 a b c 1 ( 2) ( 3) 2， 或 a b c ( 1) ( 2) (

14、 3) 0.2或 0 (2)设 |a| 4， |b| 2， 且 |a b| (a b)， 试 求 a b所 有 值的 和 解 ： |a| 4， |b| 2， a 4， b 2， 又 |a b| (a b)0， a b0， 则 的 值 等 于 _ 解 析 ： 由 ab0， 得 a0且 b0或 a0且 b0， 于 是 1 1 1 1 或 ( 1) ( 1) 1 3.1或 3 题 型 五 与 数 轴 联 系 【 例 5】 (1)如 图 ， 若 A是 实 数 a在 数 轴 上 对 应 的 点 ， 则 关 于 a， a,1的 大 小 关 系 ， 表 示 正 确 的 是 ( ) A a1 a B a a1

15、 C 1 aa D aa1 解 析 ： 如 图 ， 在 数 轴 上 找 出 a所 对 应 的 位 置 ， 易 知 a1 a， 选 A. A (2)观 察 图 中 的 数 轴 ， 用 字 母 a， b， c依 次 表 示 点 A、 B、 C所 对 应 的 数 ， 则 、 、 的 大 小 关 系 是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 由 所 给 的 数 轴 表 示 ， 可 以 表 示 1a ， b1 0 1， ， b a1， 1 3 ， |a|1,0|b| ， 0|ab|3， 3 . . 选 C. C 探 究 提 高 数 形 结 合 借 助 数 轴 找 到 数 的 位 置 ， 或 由 数

16、 找 到 在 数 轴 上 点 的位 置 ， 及 其 相 反 数 的 位 置 再 根 据 数 轴 上 右 边 的 数 大 于 左 边 的 数 ，确 定 各 数 的 大 小 知 能 迁 移 5 (1)(2011宜 昌 )如 图 ， 数 轴 上 A、 B两 点 分 别 对 应 实 数 a、 b， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( ) A. a b D ab 0 解 析 ： 因 为 a0， bb.C (2)有 理 数 a、 b满 足 a0， 且 |a|b|， 试 用 “ ”号 把 a、 b， a、 b连 接 起 来 ： _. 解 析 ： 据 题 意 ， 把 有 理 数 a、 b表 示 在 数 轴

17、 上 ， 并 把 a、 b也表 示 在 同 一 条 数 轴 上 ， 如 图 ， 易 得 a bb a.a bb a 易 错 警 示1 实 数 概 念 中 的 常 见 错 误试 题 若 一 个 实 数 的 (1)倒 数 ； (2)绝 对 值 ； (3)平 方 数 ； (4)立 方 ； (5)平 方 根 ； (6)算 术 平 方 根 ； (7)立 方 根 等 于 它 的 本 身 ， 则 这 个 数 分 别 为 ： (1) (2) (3)_(4)_(5)_(6)_(7)_学 生 答 案 展 示 (1)1； (2)正 数 ； (3)1； (4)1或 1； (5)1； (6)0； (7)1和 1.剖 析

18、 实 数 概 念 理 解 往 往 似 是 而 非 或 不 够 全 面 ， 出 现 一 些 不 该 有 的 错误 上 述 给 出 的 答 案 不 完 整 ， 漏 掉 了 一 些 符 合 条 件 的 数 ， 产 生 错 误 的 原 因 是 忽 略 了 引 进 负 数 对 数 的 范 围 扩 展 不 适 应 试 题 若 一 个 实 数 的 (1)倒 数 ； (2)绝 对 值 ； (3)平 方 数 ； (4)立 方 ； (5)平 方 根 ； (6)算 术 平 方 根 ； (7)立 方 根 等 于 它 的 本 身 ， 则 这 个 数 分 别 为 ： (1) (2)_(3)_(4)_(5)_(6)_(7)

19、_正 解 (1)1和 1； (2)正 数 和 0(或 非 负 数 )； (3)1和 0； (4) 1、 0和 1；(5)0； (6)0和 1； (7) 1、 0和 1.批 阅 笔 记 本 题 考 查 了 实 数 的 基 本 概 念 ， 有 的 同 学 对 所 学 的 倒 数 、 绝对 值 、 平 方 与 平 方 根 等 概 念 没 有 全 面 理 解 ， 因 而 造 成 错 误 思 想 方 法 感 悟 提 高方 法 与 技 巧 1 重 视 实 数 概 念 的 学 习 ， 理 解 实 数 与 数 轴 上 的 点是 一 一 对 应 的 2 注 意 实 数 乘 方 概 念 的 理 解 ， 防 止 概

20、 念 之 间 的 混淆 3 可 借 助 数 轴 ， “ 数 形 结 合 ” ， 找 到 数 与 点 的 关 系 ，根 据 对 称 性 质 找 出 互 为 相 反 数 的 位 置 ， 再 比 较 大 小 失 误 与 防 范 引 进 负 数 ， 使 数 的 概 念 得 以 扩 展 ， 实 现 了 算 术 数 到 有 理 数的 飞 跃 ， 许 多 小 学 形 成 的 认 识 被 推 翻 了 ： 1 “ ” “ ” 除 了 仍 表 示 运 算 符 号 外 ， 还 可 以 看 作 一个 数 的 性 质 符 号 ； “ ” 还 可 以 用 来 表 示 原 数 的 相 反 数 ， 即 在一 个 数 前 面

21、添 上 “ ” 号 ， 可 得 到 原 数 的 相 反 数 2 减 法 可 以 转 化 为 加 法 ， 在 小 学 里 ， 加 法 与 减 法 是 两 回事 ， 但 引 进 负 数 后 ， 减 法 就 不 再 作 为 独 立 的 运 算 而 存 在 ， 而 是把 减 法 转 化 为 加 法 3 原 来 的 一 些 结 论 不 再 成 立 ， 如 “ 差 一 定 小 于 或 等 于 被减 数 ” 这 个 结 论 就 是 不 一 定 正 确 了 4 数 “ 0” 被 赋 予 新 的 含 义 ， 具 有 独 特 的 性 质 ， 思 考 相 关问 题 要 全 面 ， 否 则 的 话 ， 极 易 落 入

22、 “ 0” 设 置 的 陷 阱 完 成 考 点 跟 踪 训 练 1 搞 清 实 数 的 分 类 标 准 ， 尤 其 要 弄 懂 无 理 数 的三 种 常 见 形 式 ： ； 无 限 不 循 环 小数 ， 如 0.1010010001； 开 方 开 不 尽 的数 ， 如 等 。 绝 对 值 的 性 质 要 注 意 正 确 区 分 数 的 三 种情 况 ， 尤 其 是 负 数 去 掉 绝 对 值 应 变 为 其 相 反数 。 实 数 的 大 小 比 较 应 重 点 掌 握 作 差 法 和 作 商 法 ，才 能 更 好 地 有 的 放 矢 。060;2 tg 2.有 关 实 数 的 非 负 性 ：

23、;01 2 a ;02 a ).0(03 aa若 几 个 非 负 数 的 和 等 于 0,那 么 这 几 个 非 负 数 都 0.例 、 若 ,0)34(43 2 ba 求 的 值 。a b解 ： 由 3a+4 + (4b-3)2 = 0得 3a+4 = 0 且 (4b-3) 3a+4 = 0 且 4b-3 a=-4/3， b=3/4 ab=(-4/3) (3/4)=-1 有 理 数 集 合 ： ； 课 时 训 练1、 把 下 列 各 数 填 在 相 应 的 大 括 号 内 ：,1 ,75 , ,14.3 ,0 ,333.3 ,3 0tan30 ,60cos 0 ,643 2.10100100

24、01 .整 数 集 合 ： ； 分 数 集 合 ： ； 无 理 数 集 合 ： 。 -1， 0， 3 6475 , 3.14, 333.3 , cos60-1， ， 3.14， 0， ， cos60 ， 75 3 64 333.3, -3, tan30, 2.1010010001 2、 下 列 说 法 中 ， 错 误 的 个 数 是 （ ） 无 理 数 都 是 无 限 小 数 ； 无 理 数 都 是 开 方 开 不 尽 的 数 ； 带 根 号 的 都 是 无 理 数 ； 无 限 小 数 都 是 无 理 数 。 A.1个 ； B.2个 ； C.3个 ； D.4个 。3、 数 轴 上 的 点 与

25、（ ） 一 一 对 应 。 A.整 数 ； B.有 理 数 ； C.无 理 数 ； D.实 数 。4、 下 列 运 算 正 确 的 是 （ ）5151 A. B. 2)2( C. D. 93 2 81)21( 3 CD A 7、 的 绝 对 值 等 于 ， 的 平 方 根 等 于 ， 的 倒 数 是 。 （ 黄 冈 2004年 中 考 题 ）3 213 94 372 328.(海 淀 区 2004) 2的 相 反 数 是 （ ）A B C -2 D 2 21 219.(重 庆 市 北 碚 区 2004 ) 的 相 反 数 是 （ ）A. B. C. -2 D. 222 210.(青 海 省 湟 中 县 实 验 区 2004 ) 的 相 反 数 的 倒 数 是 . 21 C A