无穷小与无穷大

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1、 第 五 节 无 穷 小 与 无 穷 大 一 、 无 穷 小 二 、 无 穷 大 三 、 无 穷 小 与 无 穷 大 的 关 系 四 、 小 结 一 、 无 穷 小1、 定 义 : 定 义 1 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 (不 论 它 多 么 小 ),总 存 在 正 数 (或 正 数 X),使 得 对 于 适 合 不 等 式 00 xx (或 x X)的 一 切 x ,对 应 的 函 数 值)(xf 都 满 足 不 等 式 )(xf , 那 末 称 函 数 )(xf 当 0 xx (或 x )时 为 无 穷 小 ,记 作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxf xxx 或

2、极 限 为 零 的 变 量 称 为 无 穷 小 . 例 如 , ,0sinlim0 xx .0sin 时 的 无 穷 小是 当函 数 xx,01lim xx .1 时 的 无 穷 小是 当函 数 xx,0)1(lim n nn .)1( 时 的 无 穷 小是 当数 列 nn n注 意 （ 1） 无 穷 小 是 变 量 ,不 能 与 很 小 的 数 混 淆 ;（ 2） 零 是 可 以 作 为 无 穷 小 的 唯 一 的 数 . 2、 无 穷 小 与 函 数 极 限 的 关 系 :证 必 要 性 ,)(lim0 Axfxx 设 ,)()( Axfx 令,0)(lim0 xxx则 有 ).()( x

3、Axf 充 分 性 ),()( xAxf 设 ,)( 0时 的 无 穷 小是 当其 中 xxx )(lim)(lim 00 xAxf xxxx 则 )(lim0 xA xx .A 定 理 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其 中 )(x 是 当 0 xx 时 的 无 穷 小 . 意 义 （ 1） 将 一 般 极 限 问 题 转 化 为 特 殊 极 限 问 题(无 穷 小 ); ).(,)( )(2 0 xAxf xxf 误 差 为式 附 近 的 近 似 表 达在） 给 出 了 函 数（ 3、 无 穷 小 的 运 算 性 质 :定 理 2 在 同 一 过 程 中 ,有 限 个 无

4、穷 小 的 代 数 和 仍是 无 穷 小 .证 ,时 的 两 个 无 穷 小是 当及设 x 使 得,0,0,0 21 NN ;21 时 恒 有当 Nx ;22 时 恒 有当 Nx,max 21 NNN 取 恒 有时当 ,Nx 22 ,)(0 x注 意 无 穷 多 个 无 穷 小 的 代 数 和 未 必 是 无 穷 小 .是 无 穷 小 ，时例 如 nn 1, .11 不 是 无 穷 小之 和 为个但 nn 定 理 3 有 界 函 数 与 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小 .证 内 有 界 ，在设 函 数 ),( 100 xUu . 0,0,0 101Mu xxM 恒 有 时使 得 当则

5、,0时 的 无 穷 小是 当又 设 xx . 0,0,0 202M xx 恒 有 时使 得 当 推 论 1 在 同 一 过 程 中 ,有 极 限 的 变 量 与 无 穷 小 的 乘积 是 无 穷 小 .推 论 2 常 数 与 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小 .推 论 3 有 限 个 无 穷 小 的 乘 积 也 是 无 穷 小 .,min 21 取 恒 有时则 当 ,0 0 xx uu MM , .,0 为 无 穷 小时当 uxx xxxxx 1arctan,1sin,0, 2时当例 如 都 是 无 穷 小 二 、 无 穷 大 定 义 2 设 函 数 )(xf 在 0 x 某 一 去 心

6、 邻 域 内 有 定 义 （ 或 x 大 于 某 一 正 数 时 有 定 义 ） 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 M(不 论 它 多 么 大 ),总 存 在 正 数 (或 正 数 X ),使 得 对 于 适 合 不 等 式 00 xx (或 x X )的 一 切 x,对 应 的 函 数 值)(xf 总 满 足 不 等 式 Mxf )( , 则 称 函 数 )(xf 当 0 xx (或 x )时 为 无 穷 大 ,记 作 ).)(lim()(lim0 xfxf xxx 或 绝 对 值 无 限 增 大 的 变 量 称 为 无 穷 大 . 特 殊 情 形 ： 正 无 穷 大 ， 负 无

7、穷 大 )(lim()(lim )()( 00 xfxf x xxx xx 或注 意 （ 1） 无 穷 大 是 变 量 ,不 能 与 很 大 的 数 混 淆 ;（ 3） 无 穷 大 是 一 种 特 殊 的 无 界 变 量 ,但 是 无界 变 量 未 必 是 无 穷 大 . .)(lim2 0 认 为 极 限 存 在） 切 勿 将（ xfxx xxy 1sin1., 1sin1,0, 但 不 是 无 穷 大是 一 个 无 界 变 量时当例 如 xxyx ),3,2,1,0(22 1)1( kkxk取 ,22)( kxy k .)(, Mxyk k 充 分 大 时当 ),3,2,1,0(21)2(

8、 kkxk取 , kxk 充 分 大 时当 kkxy k 2sin2)(但 .0 M 不 是 无 穷 大 无 界 ， .11lim1 xx证 明例证 .0 M ,11 Mx 要 使,11 Mx 只 要 ,1M取 ,110 时当 Mx .11 Mx 就 有 .11lim1 xx. )(,)(lim: 00的 图 形 的 铅 直 渐 近 线 是 函 数则 直 线如 果定 义 xfyxxxfxx 11 xy 三 、 无 穷 小 与 无 穷 大 的 关 系定 理 4 在 同 一 过 程 中 ,无 穷 大 的 倒 数 为 无 穷 小 ;恒 不 为 零 的 无 穷 小 的 倒 数 为 无 穷 大 .证 .

9、)(lim0 xfxx设 ,1)( 0,0,0 0 xf xx恒 有 时使 得 当 .)(1 xf即 .)(1,0 为 无 穷 小时当 xfxx .0)(,0)(lim, 0 xfxfxx 且设反 之 ,1)( 0,0,0 0Mxf xxM 恒 有 时使 得 当 .)(1 Mxf 从 而.)(1,0 为 无 穷 大时当 xfxx ,0)( xf由 于意 义 关 于 无 穷 大 的 讨 论 ,都 可 归 结 为 关 于 无 穷 小的 讨 论 . 四 、 小 结1、 主 要 内 容 : 两 个 定 义 ;四 个 定 理 ;三 个 推 论 .2、 几 点 注 意 :无 穷 小 与 无 穷 大 是 相

10、 对 于 过 程 而 言 的 .（ 1） 无 穷 小 （ 大 ） 是 变 量 ,不 能 与 很 小 （ 大 ） 的 数 混淆 ， 零 是 唯 一 的 无 穷 小 的 数 ；（ 2） 无 穷 多 个 无 穷 小 的 代 数 和 （ 乘 积 ） 未 必 是 无 穷 小 ；（ 3） 无 界 变 量 未 必 是 无 穷 大 . 思 考 题 若 0)( xf ， 且 Axfx )(lim ， 问 ： 能 否 保 证 有 0A 的 结 论 ？ 试 举 例 说 明 . 思 考 题 解 答不 能 保 证 .例 xxf 1)( ,0 x 有 01)( xxf )(lim xfx .01lim Axx 一 、 填

11、 空 题 : 1、 凡 无 穷 小 量 皆 以 _为 极 限 .)( ,_2 的 水 平 渐 近 线 是 函 数直 线条 件 下、 在 xfy cy .)0lim( ,)(_)(lim3 00 xxxx AxfAxf其 中、 ._ ,)(,4 是 无 穷 小则 是 无 穷 大若、 在 同 一 过 程 中 xf .10, 21,0: 4 yx x xyx 能 使应 满 足 什 么 条 件问是 无 穷 大 函 数时当二 、 根 据 定 义 证 明 练 习 题 .,0 ,1,0(1sin1这 个 函 数 不 是 无 穷 大时 但 当上 无 界在 区 间三 、 证 明 函 数 x xxy 一 、 1、 0； 2、 Cxfxx )(lim ； 3、 ； 4、 )(1xf . 二 、 210 10 4 x . 练 习 题 答 案