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1、应用空间向量解立体几何之用平面法向量求空间距离 B Aa MN nab一 、 求 异 面 直 线 的 距 离 n nABnABABd ,cos方 法 指 导 : 作 直 线 a、 b的方 向 向 量 a、 b， 求 a、 b的 法向 量 n， 即 此 异 面 直 线 a、 b的 公 垂 线 的 方 向 向 量 ； 在 直 线 a、 b上 各 取 一 点A、 B， 作 向 量 AB； 求 向 量 AB在 n上 的 射 影d， 则 异 面 直 线 a、 b间 的 距离 为方 法 指 导 作 直 线 、 的方 向 向 量 、 ， 求 、 的 法向 量 ， 即 此 异 面 直 线 、的 公 垂 线 的
2、 方 向 向 量 ； 在 直 线 、 上 各 取 一 点、 ， 作 向 量 ； 求 向 量 在 上 的 射 影， 则 异 面 直 线 、 间 的 距离 为 练 习 :如 图 , 的 距 离 。与， 求距 离 为 的到 面， 点所 成 的 角 为面 与， 且面是 正 方 形 ， SDAC ABCDSABCD SAABCDSBABCD1 45 ASC DBx yz | | | | sin| | nPAn PAn PAnPAPAPOd 如 图 点 P为 平 面 外 一 点 ， 点 A为 平 面 内 的 任一 点 ， 平 面 的 法 向 量 为 n,过 点 P作 平 面 a的 垂线 PO， 记 PA和
3、 平 面 a所 成 的 角 为 ， 则 点 P到 平 面 的 距 离na APO 二 、 求 点 到 平 面 的 距 离 例 3、 已 知 正 方 形 ABCD的 边 长 为 4，CG 平 面 ABCD， CG=2,E、 F分 别 是 AB、AD的 中 点 ， 求 点 B到 平 面 GEF的 距 离 。DA B CGF Ex y z 练 习 : 的 距 离 。到 平 面求 ， ，平 面 SCDA aADaBCABSA ABCDABABCDSA ,2 90 SB C DAx yz na APO n nPAd 三 、 求 直 线 与 平 面 间 距 离 例 4、 已 知 正 方 形 ABCD的 边
4、 长 为 4， CG 平 面 ABCD，CG=2,E、 F分 别 是 AB、 AD的 中 点 ， 求 直 线 BD到 平 面GEF的 距 离 。 DA B CGF Ex y zn nPAd 三 、 求 直 线 与 平 面 间 距 离 例 5、 在 边 长 为 1的 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ， M、 N、E、 F分 别 是 棱 A1B1、 A1D1、 B1C1、 C1D1的 中 点 ， 求平 面 AMN与 平 面 EFDB的 距 离 。A B CDA1 B1 C1D1MN EFx yzn nPAd 四 、 求 平 行 平 面 与 平 面 间 距 离 小 结 ：1、 怎 样 利
5、用 向 量 求 距 离 ？ 点 到 平 面 的 距 离 ： 连 结 该 点 与 平 面 上 任 意 一 点 的 向 量在 平 面 定 向 法 向 量 上 的 射 影 （ 如 果 不 知 道 判 断 方 向 ，可 取 其 射 影 的 绝 对 值 ） 。 点 到 直 线 的 距 离 ： 求 出 垂 线 段 的 向 量 的 模 。 直 线 到 平 面 的 距 离 ： 可 以 转 化 为 点 到 平 面 的 距 离 。 平 行 平 面 间 的 距 离 ： 转 化 为 直 线 到 平 面 的 距 离 、 点 到平 面 的 距 离 。 异 面 直 线 间 的 距 离 ： 转 化 为 直 线 到 平 面 的 距 离 、 点到 平 面 的 距 离 。 也 可 运 用 闭 合 曲 线 求 公 垂 线 向 量 的 模或 共 线 向 量 定 理 和 公 垂 线 段 定 义 求 出 公 垂 线 段 向 量 的模 。 结 论 1 an PA OMNPA nd n 结 论 2 B Aa MN nAB nd n a b
应用空间向量解立体几何之
