平面向量基本定理及坐标表

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1、 5.2 平 面 向 量 基 本 定 理 及 坐 标 表 示要 点 梳 理1.两 个 向 量 的 夹 角 （ 1） 定 义 已 知 两 个 向 量 a和 b,作 =a， =b， 则 AOB= 叫 做 向 量 a 与 b的 夹 角 . (2)范 围 向 量 夹 角 的 范 围 是 ,a与 b同 向 时 ， 夹 角 = ;a与 b反 向 时 ， 夹 角 = .OAOB 非 零 0 180 1800基 础 知 识 自 主 学 习 (3)向 量 垂 直 如 果 向 量 a与 b的 夹 角 是 ， 则 a与 b垂 直 ,记 作 .2.平 面 向 量 基 本 定 理 及 坐 标 表 示 （ 1） 平 面

2、向 量 基 本 定 理 定 理 ： 如 果 e1,e2是 同 一 平 面 内 的 两 个 向 量 ，那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 意 向 量 a, 一 对 实数 1, 2,使 a= . 其 中 ， 不 共 线 的 向 量 e 1,e2叫 做 表 示 这 一 平 面 内 所 有向 量 的 一 组 . 90 a b不 共 线有 且 只 有1e1+ 2e2基 底 (2)平 面 向 量 的 正 交 分 解把 一 个 向 量 分 解 为 两 个 的 向 量 ， 叫 做 把 向 量正 交 分 解 .(3)平 面 向 量 的 坐 标 表 示 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 分 别 取

3、与 x轴 、 y轴 方 向 相 同的 两 个 单 位 向 量 i,j作 为 基 底 ， 对 于 平 面 内 的 一 个 向量 a,有 且 只 有 一 对 实 数 x,y,使 a=xi+yj,把 有 序 数 对 叫 做 向 量 a的 坐 标 ， 记 作 a= ， 其 中 叫 a在 x轴 上 的 坐 标 ， 叫 a在 y轴 上 的 坐 标 . 设 =xi+yj， 则 向 量 的 坐 标 （ x,y)就 是 ， 即 若 =（ x,y） ， 则 A点 坐 标 为 ,反 之 亦 成 立 .（ O是 坐 标 原 点 ）(x,y) xy(x,y)OA OAOA 终点 A的 坐 标（ x,y） 互 相 垂 直

4、 3.平 面 向 量 的 坐 标 运 算 （ 1） 加 法 、 减 法 、 数 乘 运 算 . （ 2） 向 量 坐 标 的 求 法 已 知 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ， 则 =(x2-x1,y2-y1),即 一 个 向 量 的 坐 标 等 于 该 向 量 的 坐 标 减 去 的 坐 标 . (3)平 面 向 量 共 线 的 坐 标 表 示 设 a=(x 1,y1),b=(x2,y2),其 中 b 0,则 a与 b共 线 a= . AB终 点始 点 b x1y2-x2y1=0 基 础 自 测1.（ 2008 辽 宁 文 ， 5） 已 知 四 边 形 ABCD的 顶 点 A

5、（ 0， 2） 、 B（ -1， -2） 、 C（ 3， 1） ,且 = 2 则 顶 点 D的 坐 标 为 （ ） A. B. C.(3,2) D.(1,3) 解 析 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1), =(3,1)-(-1,-2)=(4,3). 设 D（ x， y), =(x,y-2), =2 , (4,3)=(2x,2y-4). x=2,y= . BC,AD A)27,2( )21,2( BC BC ADAD 27 2.已 知 a=(4,2),b=(x,3),且 a b， 则 x等 于 （ ）A.9 B.6 C.5 D.3 解 析 a b， 12-2x=0， x=6.3.已 知

6、 两 点 A（ 4， 1） ， B（ 7， -3） ， 则 与 同 向的 单 位 向 量 是 （ ） A. B. C. D. 解 析 A（ 4， 1） ， B（ 7， -3） ， =（ 3， -4） ， 与 同 向 的 单 位 向 量 为 BAB)54,5( )54,5( )5,54( )5,54( AB AB ).5,53(| ABABA 4.（ 2008 安 徽 理 ， 3） 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， AC为 一 条 对 角 线 ， 若 =（ 2， 4） ， =（ 1， 3） ，则 等 于 （ ） A.（ -2， -4） B.（ -3， -5） C.（ 3， 5） D.（ 2

7、， 4） 解 析 如 图 所 示 ， （ -1， -1） ， 所 以 （ -3， -5） . BABBD ABACBCAD ABADBD AC 5.已 知 向 量 a=（ 8, x） ， b=(x,1)， 其 中 x 0， 若 (a- 2b) (2a+b)， 则 x的 值 为 . 解 析 a-2b=（ 8-2x, x-2） ， 2a+b=(16+x,x+1), 由 已 知 (a-2b) (2a+b),显 然 2a+b 0， 故 有 （ 8-2x, x-2） = (16+x,x+1) 8-2x= (16+x) x-2= (x+1) 421 2121 x=4 (x 0).21 题 型 一 平 面

8、向 量 基 本 定 理【 例 1】 如 图 所 示 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， M， N分 别 为 DC， BC的 中 点 ， 已 知 =c， =d， 试 用 c， d表 示 ， . 直 接 用 c、 d表 示 、 有 难 度 ， 可 换 一个 角 度 ， 由 、 表 示 、 ， 进 而 解 方 程 组 可求 、 .思 维 启 迪 AMAN AB ADAB ADAB AD AM ANAB AD 题 型 分 类 深 度 剖 析 解 方 法 一 设 =a， =b，则 a= =d+（ b） b= =c+( a) 将 代 入 得 a=d+( ) ,代 入 得AB ADNBAN 21MD

9、AM 21 21 )21( ac cda 3234 .3234)3234()21( dccdcb 方 法 二 设 =a， =b.因 M， N分 别 为 CD， BC的 中 点 ，所 以 b， a， c=b+ a a= (2d-c) d=a+ b b= (2c-d),即 = （ 2d-c） ， = （ 2c-d） .AB AD21BN 21DM因 而 2121 3232AB 32 AD 32 平 面 向 量 基 本 定 理 从 理 论 上 说 明 平 面 内 任何 一 个 向 量 都 可 以 用 一 组 基 底 表 示 .这 就 是 说 、 一 定 能 用 c、 d表 示 .本 题 用 方 程

10、的 思 想 使 问 题 得以 解 决 . AB AD探 究 提 高 知 能 迁 移 1 如 图 所 示 ， 在 ABC中 ， 点 O是 BC的 中 点 ， 过 点 O的 直 线 分 别 交 直 线 AB、 AC于 不 同 两 点 M、 N， 若 则 m+n的 值 为 . 解 析 设 =a， =b， （ a+b） - , ANnACAMmAB AB AC 21 AMAOMO,21)121(1 baa mm 同 理 由 得 = 整 理 得 m+n=2. 答 案 2 ba )121(21 nNO MO NO NOMO即 21)121( 21121 nm 题 型 二 向 量 的 坐 标 运 算【 例

11、2】 已 知 点 A（ 1， 0） 、 B（ 0， 2） 、 C（ -1， - 2） ， 求 以 A、 B、 C为 顶 点 的 平 行 四 边 形 的 第 四 个顶 点 D的 坐 标 . “ 以 A、 B、 C为 顶 点 的 平 行 四 边 形 ” 可以 有 三 种 情 况 ： （ 1） ABCD； （ 2） ADBC；（ 3） ABDC. 解 设 D的 坐 标 为 （ x,y） . (1)若 是 ABCD， 则 由 得 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y), 即 (-1,2)=(-1-x,-2-y), -1-x=-1, -2-y=2.思 维 启 迪 DCAB x=0,y=-4.

12、 D点 的 坐 标 为 （ 0， -4） （ 如 图 中 的 D1） .（ 2） 若 是 ADBC， 则 由 得（ x， y） -（ 1， 0） =（ 0， 2） -（ -1， -2） ，即 (x-1,y)=(1,4).解 得 x=2,y=4. D点 坐 标 为 （ 2， 4） （ 如 图 中 的 D2） .（ 3） 若 是 ABDC， 则 由 得（ 0， 2） -（ 1， 0） =（ x,y） -(-1,-2),即 (-1,2)=(x+1,y+2).解 得 x=-2,y=0. D点 的 坐 标 为 （ -2， 0） （ 如 图 中 的 D 3） .综 上 所 述 ， 以 A、 B、 C为 顶

13、 点 的 平 行 四 边 形 的 第 四 个顶 点 D的 坐 标 为 （ 0， -4） 或 （ 2， 4） 或 （ -2， 0） . CBADCDAB 探 究 提 高 （ 1） 要 加 强 对 向 量 的 坐 标 与 该 向 量 起点 、 终 点 的 关 系 的 理 解 ， 以 及 对 坐 标 运 算 的 灵 活 应用 . （ 2） 向 量 的 坐 标 运 算 是 向 量 运 算 的 数 量 表 达 形 式 ，更 能 利 用 代 数 知 识 解 决 ， 也 是 向 量 被 广 泛 应 用 的 基础 . 知 能 迁 移 2（ 2009 辽 宁 文 ， 13） 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy

14、中 ， 四 边 形 ABCD的 边 AB DC， AD BC.已 知A（ -2， 0） ， B（ 6， 8） ， C（ 8， 6） ， 则 D点 的 坐标 为 . 解 析 设 D点 的 坐 标 为 （ x,y） ,由 题 意 知 , 即 （ 2， -2） =(x+2,y)， 所 以 x=0,y=-2, D(0,-2). (0,-2) ADBC 题 型 三 平 行 向 量 的 坐 标 运 算【 例 3】 （ 12分 ） 平 面 内 给 定 三 个 向 量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回 答 下 列 问 题 ： （ 1） 若 （ a+kc） (2b-a)， 求 实 数 k;

15、(2)设 d=(x,y)满 足 (d-c) (a+b)且 |d-c|=1,求 d. （ 1） 由 两 向 量 平 行 及 两 向 量 平 行 的 条 件得 出 关 于 k的 方 程 ， 从 而 求 出 实 数 k的 值 . （ 2） 由 两 向 量 平 行 及 |d-c|=1得 出 关 于 x,y的 两 个 方程 ， 解 方 程 组 即 可 得 出 x,y的 值 ， 从 而 求 出 d.思 维 启 迪 解 （ 1） （ a+kc） （ 2b-a） ，又 a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 2分 2 (3+4k)-(-5) (2+k)=0, 4分 k=- . 6分（ 2）

16、d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又 (d-c) (a+b)且 |d-c|=1, 4(x-4)-2(y-1)=0 (x-4) 2+(y-1)2=1, 8分1316 12分 向 量 平 行 的 坐 标 公 式 实 质 是 把 向 量 问 题 转化 为 实 数 的 运 算 问 题 .通 过 坐 标 公 式 建 立 参 数 的 方程 ， 通 过 解 方 程 或 方 程 组 求 得 参 数 ， 充 分 体 现 了 方 程思 想 在 向 量 中 的 应 用 .探 究 提 高解 得 .5521 5545521 554 yxyx 或 10分).5 525,5 520()5 525,5 520(

17、 dd 或 知 能 迁 移 3 已 知 点 O（ 0， 0） ， A（ 1， 2） ， B（ 4，5） 且 （ 1） 求 点 P在 第 二 象 限 时 ， 实 数 t的 取 值 范 围 ； （ 2） 四 边 形 OABP能 否 为 平 行 四 边 形 ？ 若 能 ， 求 出相 应 的 实 数 t;若 不 能 ， 请 说 明 理 由 . 解 O（ 0， 0） ， A（ 1， 2） ， B（ 4， 5） ， =（ 1， 2） ， =（ 4-1， 5-2） =（ 3， 3） . （ 1） 设 P（ x， y） ， 则 =（ x， y） ， 若 点 P在 第 二象 限 ， x 0 y 0 ,ABtOA

18、OP OA AB OP则 且 (x,y)=(1,2)+t(3,3), x=1+3t 1+3t 0 y=2+3t 2+3t 0,（ 2） 因 为 =（ 1， 2） ， （ 3-3t， 3-3t） ，若 四 边 形 OABP为 平 行 四 边 形 ， 则 3-3t=1 3-3t=2,无 解 ， 四 边 形 OABP不 可 能 为 平 行 四 边 形 . , .3132 t OA OPOBPB .PBOA 方 法 与 技 巧1.坐 标 的 引 入 使 向 量 的 运 算 完 全 代 数 化 ， 成 了 数 形 结合 的 载 体 ， 也 加 强 了 向 量 与 解 析 几 何 的 联 系 .2.中 点

19、 坐 标 公 式 ： P1（ x1,y1） ,P2(x2,y2),则 P1P2中 点P的 坐 标 为 在 ABC中 ， 若 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ， C（ x 3， y3） ， 则 ABC的 重 心 G的 坐 标 为).2,2( 2121 yyxx ,3( 321 xxx ).3 321 yyy 思 想 方 法 感 悟 提 高 失 误 与 防 范1.要 区 分 点 的 坐 标 与 向 量 的 坐 标 的 区 别 ， 尽 管 在 形 式上 它 们 完 全 一 样 ， 但 意 义 完 全 不 同 ， 向 量 的 坐 标 中同 样 有 方 向 与 大 小 的 信 息 .2.

20、在 处 理 分 点 问 题 比 如 碰 到 条 件 “ 若 P是 线 段 AB的 分点 ， 且 |PA|=2|PB|” 时 ， P可 能 是 AB的 内 分 点 ， 也可 能 是 AB的 外 分 点 ， 即 可 能 的 结 论 有 ： 或3.数 学 上 的 向 量 是 自 由 向 量 ， 向 量 x=(a,b)经 过 平 移后 得 到 的 向 量 的 坐 标 仍 是 （ a,b） . .2 PBAP.2 PBAP 一 、 选 择 题1.（ 2009 湖 北 文 ， 1） 若 向 量 a=(1,1),b=(-1,1), c=(4,2),则 c= （ ） A.3a+b B.3a-b C.-a+3b

21、 D.a+3b 解 析 设 c=xa+yb,则 (4,2)=x(1,1)+y(-1,1), 4=x-y, x=3. 2=x+y. y=-1.定 时 检 测 B 故 c=3a-b. 2.若 a=(2cos ,1),b=(sin ,1), 且 a b， 则 tan 等 于 （ ） A.2 B. C.-2 D. 解 析 a b， 2cos 1=sin . tan =2. 21 21A 3.已 知 向 量 a=(1,2),b=(0,1),设 u=a+kb,v=2a-b， 若 u v， 则 实 数 k的 值 为 （ ） A.-1 B. C. D.1 解 析 u=（ 1， 2） +k（ 0， 1） =（

22、1， 2+k） ， v=（ 2， 4） -（ 0， 1） =（ 2， 3） ， 又 u v， 1 3=2（ 2+k） ， 得 k= . B21 2121 4.（ 2009 重 庆 文 ， 4） 已 知 向 量 a=(1,1),b=(2,x).若 a+b与 4b-2a平 行 ， 则 实 数 x的 值 是 （ ） A.-2 B.0 C.1 D.2 解 析 a+b=(3,1+x),4b-2a=(6,4x-2),a+b与 4b-2a平 行 ， 则 4x-2=2(1+x), x=2. D 5.已 知 向 量 =（ 1， -3） ， =（ 2， -1） ， =（ m+1， m-2） ， 若 点 A、 B、

23、 C能 构 成 三 角 形 ， 则 实数 m应 满 足 的 条 件 是 （ ） A.m -2 B.m C.m 1 D.m -1 解 析 若 点 A、 B、 C不 能 构 成 三 角 形 ， 则 只 能 共 线 . (2， -1)-（ 1， -3） =(1， 2)， （ m+1， m-2） -（ 1， -3） =（ m， m+1） . 假 设 A、 B、 C三 点 共 线 ， 则 1 (m+1)-2m=0,即 m=1. 若 A、 B、 C三 点 能 构 成 三 角 形 ， 则 m 1.21 OA OB OC OAOBAB OAOCCA C 6.已 知 O为 原 点 ， A、 B是 两 定 点 ，

24、 =a， =b， 且 点P关 于 点 A的 对 称 点 为 Q， 点 Q关 于 点 B的 对 称 点 为 R，则 等 于 （ ） A.a-b B.2（ a-b） C.2（ b-a） D.b-a 解 析 设 =a=（ x1， y1） ， =b=（ x2， y2） ， 则 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） . 设 P（ x， y） ， 则 由 中 点 坐 标 公 式 可 得 Q（ 2x 1-x,2y1-y） ,R(2x2-2x1+x,2y2-2y1+y). (2x2-2x1,2y2-2y1) =2(x2,y2)-2(x1,y1),即 =2（ b-a） . OA OBPROA OB O

25、PORPR PR C 二 、 填 空 题7.（ 2009 广 东 理 ， 10） 若 平 面 向 量 a， b满 足|a+b|=1,a+b平 行 于 x轴 ， b=(2， -1),则 a= . 解 析 |a+b|=1,a+b平 行 于 x轴 ， 故 a+b=(1,0)或（ -1， 0） , a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或 a (-1,0) -（ 2， -1） =（ -3， 1） .8.已 知 向 量 a=(2x+1,4),b=(2-x,3)， 若 a b， 则 实 数x的 值 等 于 . 解 析 由 a b得 3(2x+1)=4(2-x),解 得 x= .(-1,1)或 （ -3

26、， 1） 21 21 9.已 知 向 量 集 合 M=a|a=（ 1， 2） + （ 3， 4） ， R， N=b|b=（ -2， -2） +（ 4， 5） ， R，则 M N= . 解 析 由 (1,2)+ 1(3,4)=(-2,-2)+ 2(4,5), M N=(-2,-2). (-2,-2) ,015242 4231 2121 21 解 得得 ， 三 、 解 答 题10.已 知 A(1,-2),B（ 2， 1） ， C（ 3， 2） ， D（ -2， 3） ， 以 ， 为 一 组 基 底 来 表 示 . 解 =(1， 3)， =(2， 4)， =(-3， 5)， =（ -4， 2） ，

27、=（ -5， 1） ， （ -3， 5） +（ -4， 2） +（ -5， 1）=（ -12， 8).AB AC ADCDBDAB AC ADBD CD CDBDAD 根 据 平 面 向 量 基 本 定 理 ， 必 存 在 唯 一 实 数 对 m,n使 得 （ -12， 8） =m（ 1， 3） +n（ 2， 4） . -12=m+2n, 8=3m+4n, ACnABmCDBDAD 得 m=32， n=-22. .2232 ACABCDBDAD 11.已 知 A(-2， 4),B（ 3， -1） ,C（ -3， -4） .设 =a， =b， =c， 且 =3c， =-2b， （ 1） 求 ：

28、3a+b-3c； （ 2） 求 满 足 a=mb+nc的 实 数 m,n. 解 由 已 知 得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2) mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), -6m+n=5 m=-1 -3m+8n=-5, n=-1. 解 得AB BC CA CM CN 12.在 ABC中 ， a、 b、 c分 别 是 角 A、 B、 C的 对 边 ，已 知 向 量 m=（ a， b） ， 向 量 n=（ cos A， cos B） ， 向 量 p= 若 m n,p2=9, 求 证 ： ABC为 等 边 三 角 形 . 证 明 m n， acos B=bcos A. 由 正 弦 定 理 ， 得 sin Acos B=sin Bcos A， 即 sin(A-B)=0. A、 B为 三 角 形 的 内 角 ， - A-B . A=B. p 2=9， 8sin2 +4sin2A=9. 22( )sin2,2sin ACB2CB 4 1-cos（ B+C） +4（ 1-cos2A） =9. 4cos2A-4cos A+1=0， 解 得 cos A= .又 0 A , A= . ABC为 等 边 三 角 形 . 213 返 回