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1、等积变换与共角定理我们的目标：掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型;学会构造出模型进行解题三角形等积变换模型(1)等底等高的两个三角形面积相等；(2)两个三角形高相等，面积比等于底之比；如左图 12:SSab(3)两个三角形底相等，面积比等于高之比；在一组平行线之间的等积变形，如右图；共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如下两图=(ABxAC):(ADxAE例 1.如图三角形 ABC 的面积为 1,其中 AE=3AB,BD=2BC,三角形 BDE 的面积是多少？例 2.如图，三角形 ABC 的面积是
2、 24,D、E 分别是 BC、AC 和 AD 的中点，求三角形 DEF的面积。例 3.如图，在角 MON 的两边上分别有 A、C、E 及 B、D、F 六个点，并且OAB、ABC.BCD.CDE.DEF 的面积都等于 1,则厶 DCF 的面积等于例 4.E、M 分别为直角梯形 ABCD 两边的点，且 DQ、CP、ME 彼此平行，若AD=5,BC=7,AE=5,EB=3.求阴影部分的面积例 5.如图，已知 CD=5,DE=7,EF=15,FG=6，线段 AB 将图形分成两部例 6.如图，正方形的边长为 10,四边形 EFGH 的面积为 5,那么阴影部分的面积是例 8.如图，平行四边形 ABCD,B
3、E=AB,CF=2BC,DG=3DC,HA=4AD,平行四边形 ABCD 的面积是 2,求平行四边形 ABCD 与四边形 EFGH 的面积比。等积变换与共角定理习题1.如图，在长方形 ABCD 中，Y 是 BD 的中点，Z 是 DY 的中点，如果 AB=24 厘米，BC=8 厘米,求三角形ZCY 的面积2.如图，点 D、E、F 在线段 CG 上，已知 CD=2 厘米，DE=8 厘米，EF=20 厘米，FG=4 厘米，AB 将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是 67 平方厘米，上边部分是 166 平方厘米,则三角形 ADG 的面积是多少平方厘米？3.如图，阴影部分四边形的外界图形是边长为 1
4、2 厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？4.如图，四边形 EFGH 的面积是 66 平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形 ABCD 的面积。5如图,ABC 中，延长 AB 至 D，是BD=AB，延长瓦至，使 CE=2BC，F是AC的中点,若厶 ABC 的面积是 2,贝 UDEF 的面积是多少？6如图，Lbc=1，BC=5BD,AC=4EC,dg=gs=se,af=fg,求Lgs7.如图，正方形 ABCD 的边长为 6,AE=1.5,CF=2,长方形 EFG 和的面积为8.如图，已知三角形 ABC 面积为 1,延长 AB 至 D,使 CE=2BC；延长
5、 CA 至 F,使 AF=3AC，求三角形 DEF 的面积。【崩】连接孑有込俪祈以BE=13&毗二冨摘烟为虬帖C所為避皿心皿盘“3DC的面积是山比血杞的一半、即24-2=12,AJfiFK是MX面和勺一半I12+2=6.倔 Q 的面机是罰0面枳的一牝所以MED的由权=Z2iM3因为笳DF/g%F#l所以DF0D:8r=9+Sl+=M:t=Sl+S=VJ*底巨蔓辭爭瞬呪晤曲於切艸商解里三WWWii-xx-Jxfxf-Jx(+fhU+呻冯朝如冯要如盹D疆重三和期沪田LS=5F乌二*石-鏗讎事辱华SV左甲电曰#睜嘤解3UJ孑殍増第涵蚀L吿附筆彩曲要坍/W毎尹H押忙fVJ(7却刃殆甜甲三和驸T 击簞七
6、蛆如翔桔卑耳册可堆辭爭必 e 號伽书古卯掰聊7&G则幻进華时哥谨塑阴鼻“裁够三军冲槪也卅蛍fl6jo图所示设初上的两个点分别为出耳.根摇三觥面稅比戕型氓写AOT醉稱,锯么M77F与胡册面稅刑二ACVF与胡册面积和,即等于胡的面积.而迦V的血駅为正方形曲面稅的一半S102x-=50AM与厕确酬之利与般矽的醉相比较淺了2个四边形拠的面出利明谿廿的面租为:50-5x2=40-7如圏丄处于M,朋丄酬于N.则四边形迥分为4个葩三觥廉中间的-代方形,斛的4个直角三角形分别与四边形血。周困的4个三觥相锹所壮们的面綁相彖而中间剛砥方闕面祝为3心6,疋冷门10 x10-3x2“所厦1*叫二+3x2-53.连接S
7、D根摒共角定理在厶做和期中a曲即与亭肚互补aSBE-F33J又因为 G 严1I所以工腕3.同理可得也円所以、F回=、3皿十山说十、注啦十、皿:F十二JMD=+15+3+2=36fl9Sg:5i4Jlc=(CrxCF)：(xCJ)=(lx3):(2K4)=S:RSAlirLSAirr=(JDkJF):(C)=(2x1):(Sk4)=1:6设也ir4饥则比应=4侏ha=4檢必你$30“4-4-4-9份，恰好是7平方厘采，所以比啟4平方厘采连搖別）由共角定理得f用）卩心打!）心即SlE=匕张同理2JM?sHF=-即iJHF=2、厶她所以=九KM+鼻）=胞阿：!；连接MI同理可以得到也IMG+赳JO=4血R=AJW十&4F十汕配十AtfT十舄&和8=亍舄和小所以為冷厂銀 3 曲平方米所以為冷厂解5如平方米4.本题题目本身很简草 r 但它把本阱的蘭个更要知识点融合到一起，啟可以看作是“当两个三角形有一个角相等或互补时这两个三角舷的直积比等于與这个角前两边长度的乘积比的反复运用，也可以看作暑找点，晨妙的量其中包含了找点的耳种情况一连接DE,DFf则长方屯EFGH的面积是三費总DEF面积的二倍.三歯形QEF的面积等于正方形的園枳漩去三个三鸯形的園祝、$3=6x6-1Jx6-5-2-2k6-5-2-4.5x4-2=16.5,所以长方MEFGH积为33.最后和心的面积为
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