圆心角、弧、弦、弦心距

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1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系-知识讲解(基础)【学习目标】1. 了解圆心角、圆周角的概念；2. 理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它 两组量对应相等，及其它们在解题中的应用【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系1. 圆心角定义如图所示，ZAOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.2.定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等3.推论： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等 在同圆或等圆中，如果两

2、条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等要点诠释：(1) 一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2) 注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中ZAEB、ZADB、ZACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2. 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半3. 圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 90的圆周角所对的弦是直径要点诠释：(1) 圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上；角的两边都和圆相交(2) 圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4. 圆内

3、接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）5. 弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量 相等，（例如圆心角相等），那么其它各组量也分别相等（即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别 相等）.*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用/ 朋=AC, :.= AC, :. ZB =ZC = 70Z,4 = 180o-（Z5 + ZC）= 40

4、o.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所 对的弦也相等举一反三：【变式】如图所示，0。中弦AB=CD，求证：AD=BC.答案】证法2：如图，连接OA, OD, OB, 0C,AB=CD,.山(在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等):.AOB -ZDOB = ZCOD-ZDOB 即厶 OD = BOCAD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等)类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角?思路点拨】判断圆周角必须同时满足两条：顶点在圆上；两边都和圆相交答案与解析】(a) Z1顶点在0O内，两边与圆相交，

5、所以Z1不是圆周角；(b) Z2顶点在圆外，两边与圆相交，所以Z2不是圆周角；(c) 图中Z3、Z4、ZBAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以Z3、Z4、ZBAD是圆周角.(d) Z5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以Z5不是圆周角；(e) Z6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知Z6不是圆周角.总结升华】 紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角.如图所示，AB为00的直径，动点P在00的下半圆，定点Q在00的上半圆，设ZPOA=x,ZPQB=y，当P点在下半圆移动时，试求y与x之间的函数关系式.答案与解析】解法 1：如图所示， AB 为00 的直径，ZA0P=x Z

6、POB=180 -x =(180-x)又-.-ZPQB =lzPOB 二 |(180- ：.y = 90- 瓦其中0 x 180) 解法2：如图所示，连结AQ,则 ZAQP = |zAOP又TAB是00的直径， .ZAQB=90：.ZPQB = 90-ZAQP = (90-|x)y二就一整（其中0乜【总结升华】考查圆周角定理的应用.如图，AB是00的直径，BD是00的弦，延长BD到C,使AC=AB, BD与CD的大小有什么关系？为什么？B【思路点拨】连结AD,易证ZADB=90，即AD是等腰三角形 ABC的高.再由三线合一的性质得出BD与CD的大小关系.【总结升华】BD=CD，因为AB=AC，所以这个ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD,证明AD是高或是ZBAC的平分线即可.举一反三：【变式】如图，已知00的弦AB、CD相交于点E, T的度数为60,用:的度数为100，则ZAEC等于）A. 60 B. 100 C. 80 D. 130【答案】C.